1. 1. Возрастание и убывание ф-ции. Условия монотонности дифференцируемой ф-ции на интервале.

Возрастающая ф-я – функция y=f(x) возрастает на интервале X, если для любых  и  выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Убывающая ф-я – Функция y=f(x) убывает на интервале X, если для любых  и  выполняется неравенство . Другими словами – большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

2. 

2. Экстремумы функции. Необходимое и достаточные условия существования экстремума.

Экстремум функции - максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве.

Функция z = z (x, y) в точке , глобальная max (min) в области х, если z ( для всех точек M (x,y) ϵ x, если z ( для всех точек M (x,y) ϵ x.

Необходимое условие существования экстремума. Для Функции нескольких переменных. Если точки (, ) является точка локального экстремума функции z = z (x, y), то (=0; (=0 или хотя бы одна из них не существует.

Достаточные условия экстремума. Пусть ( критическая точка дифференциала функции z=z(x,y) и пусть функция z=z(x,y) в некоторой окрестности этой точки непрерывные частные производные 2-ого порядка в этой точке, тогда

Условия: 1) , >0, то точка () – точка локального min

2) , <0, то точка () – точка локального max

3) ) , то точка () – не является точкой локального экстремума.

4) , то дополнительные исследования.

3. Алгоритм нахождения точек локального экстремума

Условия: 1) , >0, то точка () – точка локального min

2) , <0, то точка () – точка локального max

3) ) , то точка () – не является точкой локального экстремума.

4) , то дополнительные исследования.

Непрерывная функция z=f (x, y) в определённой области Д:

1. Найти частные производные, прировнять их к нулю, найти критические точки.

2. Выбрать те критические точки, которые лежат внутри области.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.

4. Вычислить значение функции во всех найденных точках, выбрать наибольшее и наименьшее значение.

4. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

Непрерывная функция z=f (x, y) в определённой области Д:

1. Найти частные производные, прировнять их к нулю, найти критические точки.

2. Выбрать те критические точки, которые лежат внутри области.

3. Найти наибольшее и наименьшее значение функции на границах области.

4. Вычислить значение функции во всех найденных точках, выбрать наибольшее и наименьшее значение.

5. Достаточное условие выпуклости графика функции.

1) Если существует f ^‘’(x)>0 на (a, b), то график f(x) является выпуклым вниз на (a, b)

2) Если существует f ^‘’(x)<0, то график f(x) является выпуклым вверх.

6. Вертикальные, наклонные и горизонтальные асимптоты кривых.

Асимптотой функции y=f(x) называется пряма, обладающая тем свойством, что расстояние от точек графика до этой прямой стремиться к нулю при бесконечном удалении точек графика от начала координат. Различают вертикальные, горизонтальные и наклонные.

---

Вертикальные. Прямая х=х₀ является вертикальной асимптотой графика y=f(x), если функция определена в некоторой точке х₀.

Функция может иметь различные наклонные (горизонтальные) асимптоты при х→+∞ и х→ ∞

Горизонтальные асимптоты является частным случаем наклонной (х<0)

Если хотя бы один из пределов не существует или = ∞, то соответствующей наклонной асимптоты не существует.

7. Функции двух переменных, область определения, линии уровня. Предел и непрерывность функции двух переменных.

Число z из некоторого множества Z (z ϵ Z) по некоторому правилу f, то говорят, что на множестве х задана функция: z = f (n-переменных – называются независимыми переменными или аргументами. z-Зависимая переменная или функция множеств, x-область определения, Z – область значения функции.

Линия уровня. z = f(x,y) – линия удовлетворяющая уравнению f(x,y)=c

c = const

То есть линия уровня – линия, по которой функция принимает одно и тоже значение.

Число А – называется пределом (в точке ()). Если для любой найдена такая проколотая , что для всех точек М(х, у)ϵ() соответствует значение f(x,y)ϵ

– называется множество всех точек, располагающихся от точки меньше чем на б.

Функция z=f(x,y) называется прерывной в точке () (непрерывная по совокупности переменных), если она определена в этой точке и некоторой её окружности и

Точка ( называется точкой разрыва функции z=f(x, y), если это условие не выполняется.

8. Частные производные функции двух переменных, их геометрический смыслю

Частная производная функции двух переменных характеризирует скорость изменения функции при изменении только одной переменной, то есть движение вдоль координатных осей. Для характеристики скорости изменения функции в направлении заданного вектора вводится понятие производной по направлению.

Геометрический смысл. Значение частной производной в точке  равно тангенсу угла у составленного с осью  касательной, проведенной в точке  к линии пересечения поверхности  и плоскости у В этом заключается геометрический смысл частной производной.

9. Частные производные высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных

Частные производные и называются частными производными 1-ого порядка, они так же являются функцией 2 переменных. Частные производные от частных производных 1-ого порядка называются частными производными 2-ого порядка.

Частная производная 2-ого или более высокого порядков, взятые по различным переменным называются смешанными частными производными.

Если функция z=f(x,y) и её частные производные и определены в некоторой окрестности точки ( и непрерывна в этой точке, то = в точке (. Результат дифференцирования функции нескольких переменных не зависит от порядка дифференцирования по различным переменным.

10. Понятие дифференцируемости функции 2 переменных. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции 2 переменных

---

Функция z = z (x, y) называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение в этой точке представлено в виде Z=Ax+By+(x, y)x+(x,y)y, где А, В – некоторые числа (не зависит от x,y)

Необходимые условия. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке. Обратное не верно.

Если функция дифференцируема в некоторой точке, то в этой точке существую частные производные.

= А и = В. Обратное не верно

Достаточные условия. Если функция z=f(x,y) в некоторой окрестности точке (х₀, у₀) имеет частные производные и эти частные производные непрерывны в самой точке (х₀, у₀), то функция z=f(x, y) дифференцируема в самой точке (х₀, у₀).

11. Частные и полное приращение функции нескольких переменных. Дифференциал функции нескольких переменных

Пусть функция z=f(x, y) определена в некотором окрестности точки М₀ (х₀, у₀), полным приращением функции z=f(x, y) в точке (х₀, у₀) отвечающим приращением аргумента х и у называется z=f(x₀+x; y₀+y)-f(x₀, y₀)

Частные приращения

По Х

_хZ = f(x₀+x, y₀) - f(x₀, y₀)

По У

_yZ = f(x₀, y₀+y) - f(x₀, y₀)

12.Правило дифференцирования сложной функции нескольких переменных. Производные неявно заданной функции

((((((Правило диф-ния ф н.н

Производная смешанной функции по незов перем равна сумме произв. частных произв по промежут аргументом на произв этих аргументов по независимой переменной.

Т.Если ф u=u(x) и v=v(x) диф-мы в т. X₀ .ф. y=y(u,v) диф-ма в т. (U_0,V₀ ) причём U(x₀)=u₀ V(x₀)=V₀

То y=y(u(x),v(x)) в т. X₀ диф-ма и справедлива формула

dy/dx =)))))))

Производная сложной функции по независимой переменной = сумме произведений частных производных по промежуточным аргументам на произв этих аргументов по независ пер.

Теорема: Если ф-ии U=U(x) и V=V(x) диф. В т. X₀ ф-ия y=(u,v) диф в точке U₀ , V₀ , причём U(x₀)=U₀

V(x₀)=V₀ то сложная функция y=y(u(x)’,V(x)) диф в.т.X₀ и dy/dx=∂y/∂x*du/dx+∂y/∂v*dv/dx

Доказательство dy/dx=lim при x0 y/x

13.Линия уровня, градиент и производная по направлению функции двух переменных. Свойства градиента.

Частная производная ф.2 пер характер. скорость изменения ф при изменении только одной перем т.е движение вдоль коорд. осей

Для характеристики скорости изм ф. в направлении заданного вектора вводится понятие произв по направлению.

Произв ф z=F(x,y) т M₀ (x₀ ,y₀) по напр. вектора наз предел, если он сущ и конечен, отношения приращения ф. в данном напр к величине перемещения при условии, что величина перем  0.

∂z/∂e=lim_l0 _l z/l

Производная по направлению характеризует скорость функции по направлению.

Градиент ф.н.п наз вектор, координаты которого равны соотв частым производным

U=u(x,y,z),то u = ∂u/∂z*+∂u/∂y+∂u/∂z*

Свойства:

1. ∂u/∂l=∂u/∂x cos + ∂u/∂y cos + ∂u/∂z cos

∂u/∂l=u*,где 

|l⁰|=1

∂u/∂l = || |e⁰ | cos  , где  = (,u

∂u/∂l = | u| cos 

2. Следовательно произв по напр имеет наиб знач (при cos  = 1) т.е в напр градиента и причём ∂u/∂l =

= || если 

3)градиент хранит напр наискорейшего возр ф

4)Градиент перпендикул поверхности уровня (для ф 2 линии уровня ) проведённой в данной точке

---

14 Экстремумы функции двух переменных. Необходимое и достаточное условия существования экстремума.

ф z=z(x,y) имеет в т M₀ (x₀ ,y₀) глоб max (min) в обл X , если z(x_0, y₀) > z(x,y)

для всех т.M(x,y)пренадлеж X )……

т.1 необходим условие сущ лок экстр ф.н.п если т.(x_{0 ,} y₀ ) явл т.лок экстр ф.

z = z (x,y),

то

{_{z’y(x(0),y(0))=0}^{z’x(x(0),y(o))=0 //система} _ур

_{или хотя бы одна из них не сущ}

_{т.в которой произв = 0 или не сущ,то они наз критичными или стационарными}

_{Т.2 дост усл лок экстр диф-ой ф.2.п}

_{Пусть (x0,y0)-критич точка диф.ф z=z(x,y) и пусть ф. z=z(x,y) имеет в нём окр этой точки непрер частные производные 2-го порядка}

_{0=|Z’’xx(x0,y0) z’’xy(x0,y0)|}

_{|z’’xy (x0,y0) z’’yy(x0,y0)|}

_{составим определитель}

_тогда:

1. _{>0 ,z’’xx(x0,y0)>0 т. т (x0,y0)-т лок min}

2. _{>0, z’’xx(x0,y0) то т.(x0,y0)-т лок max}

3. _{<0, то т.(x0,y0) не явл т лок экстр}

4. _{i =0 ,то доп исследования}

15.Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных в области.

Для ф.н.п как и для ф 1 пер справедлива т Веййер –Штрассе.

Если ф.н.п непрерывна замкн огр области, то она ограниченна в этой области и достиг в ней наиб и наим зним в этой обл значений

Эти значения могут достигаться либо в крит т внутри обл. либо на границе обл.

АЛГОРИТМ НАХОЖДЕНИЯ НАИБ И НАИМ ЗНАЧ

Непрер ф z=f(x,y) в огр области D:

1)найти частные производные.Прировнять их к нулю, найти крит т.

2)выбрать те крит т,которые лежат внутри обл.

3)Найти наиб и наим знач функции на границах области

4)Вычислить знач ф во всех найд т. Выбрать наиб и наим знач

16.Первообразная и неопределённый интеграл.Основные свойства неопределённого интеграла.

F(x) наз первообразной для F(x) на нек промежутке,если для всех x из этого промежутка если F’(x)=F(x)

Т. Если F₁(x) и F₂(x) две различ первообразные ф для F(x) на нек промежутке, то F₁ (x)=F₂(x)+c для всех x из этого промежутка,где с-число.

Основные свойства неопред интеграла

1)( f(x) dx )’=f(x)

d(F(x)dx)=F(x)dx

2)dF(x)=F(x)+c

3) k f(x)dx = k f(x)dx , k=0

4)(f(x)+- g(x))dx =  f(x)dx +- g(x) dx

5)Любая ф-ия интегрирования сохр.свой вид если переменную интегрирования заменить любой диф-ой ф-ей

 f(x)dx =F(x)+c =>f(u)du = F(u)+c

17.Интегрирование по частям и заменой переменной в неопределённом интеграле.Примеры подстановок

Интегрирование по частям

(uv)’=u’v+uv’

(uv)’dx =  u’v dx +  uv’ dx

Uv+c=v du +u dv

u dv = uv -v du

Для применения этой формулы подынтегральное выр предст в виде произведения ф и диф dv. При перех к правой части du=u’dx v=dv

После 2-кратного прим интеграла по частям в первых двух интегр оба раза за и обознач ф одного типа

Интегр выраж из получ выражения

После однократного прим ф-мы интегр по частям и преобр исходный интеграл выраж из исходного ур-ния.

18.Интегрирование простейших рациональных дробей

Рациональной функцией или р.дробью наз ф.вида R(x)=Pn(x)/Qm(x),где Pn(x),Q(m) многочлены

Рац дробь называется правильной если степень числителя меньше знаменателя (n<m), если n>=m неправильная рациональная дробь

Простейшими или элементарными дробями наз правильные дроби след типоп:

---

1)A/x-a

2)A/(x-a)^k , Kпренадлежит N , K>=2

3)Mx+N/x²+px+g D=p²-4q=0

4)Mx+N/(x²+px+g) D=p²-4g=0 Kпреналеж N,K>=2

Одним из способов подходит инт вида Mx+N/x²+px+g dx* Mx+N/ dx*Mx+N/ax²+bx+c dx *

Mx+N/ dx =>явл выделение полного квадрата с пом замены t=x+b/2a

19.Алгоритм интегрирования рациональных дробей.

1)Если дробь неправильная (n>=m) выделить целую часть дроби разделив числитель на знаменатель про правилу деления многочленов уголком

2)Знаменатель правильной рациональной дроби разлодить на мн и квадр множители

Из осн т алгебры? Следует ,что всякий многочлен степени m имеет ровно m корней с учётом их кратности .Если -действ.корень лич? Кратности r ,то многочлены делятся на (x-)^r

Если многочлен с действ коэфиц. имеет комплексный корень =U+iV кратности r и =u-iv- кр r такие явл компл? Корнями причём многочлен в этом случае делится на ((x-)(-))^r=(x²-2ux+u+v²)^r

3)Т разложить прав рац дробь на сумму простейших дробей

Т.Всякую прав рац дробь со сзнаком (1) моно ед.обр разлодить на суммупрост дробей

4)найти коэф разложения (2)

5)Проинтегрировать получ сумму

20.Универсальная тригонометрическая подстановка.

T=tg x/2

Замечание:удобно исп универс тригоном подст для нахожд dx/sinx :dx/cosx

21.Интегралы вида sin^m cosⁿ xdx,где m и n-целые числа

.Интегралы вида sin^m cosⁿ xdx, m,n пренадлеж z, m,n>=0

Если m=2k+1 (нечётное) ,то t=cos x

Если n=2k+1 (нечётное) ,то t=sin x

m=2k,n=2k (чётное) то исп ф понижения степени

cos²x=(1-cos2x)/2

sin²x= 1-cos2x/2

22. Интеграл вида
x=t^s , где s- наим. общий знаменатель степеней

23.Интегралы вида

Выделяется полный квадрат и если то x=a*sin(t) или x=a*cos(t)

Если то x=a/cos(t) или x=a/sin(t)

Если то x=a*tg(t) или x=a*ctg(t)

24.Понятия и примеры неберущихся интегралов.

xe^{-x^2}dx

Т.Коши?: всякие ? непрерыв на [a;b] функция f(x) имеет первообразную F(X) явл элементарный функцией .Если первообразная ф f(x) не явл эл ф,то говорят,что f(x)dx не выраж через элементарные ф или что он не берущийся.

Другие примеры не берущихся интегралов

e^{-x^2}dx-инт Пуассона

cos x² dx – интеграл Френеля

25. Понятие определенного интеграла, его геом. Смысл. Условия интегрируемости функций.

Если сущ. предел (и конечен) интегр-ия сумм (Lim Sn) при измельчении изменения d_n->0 незовисимой ни от способа разбиения отр [a;b] на частичные отрезки, ни от выбора с, то этот предел наз определенным интегралом от f(x)по отрезку

Геом. Смысл: опред интеграл от неотрицат на отр [a;b]ф f(x) выражает площадь криволинейной трапеции. Ограниченной сверху y=f(x), сбоку [a;b] и снизу ОХ

Условия интегрируемости: необх условие: если f(x) интегр-ма на отр [a;b] то она определена на этом отрезке

Дост усл игтегри-сти: если f(x) непр-вна на [a;b] то она интегрируема на этом отрезке

Если f(x) определена на [a;b]и непрер на нем везде, кроме конечного числа точек разрыва 1 рода то она интегрируема на [a;b]

26. Основные свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теорема о среднем значении знач функции на отрезке.

Св-ва: 2)

Оценки интегралов: если f(x)≥0 на отр [a;b] то

---

Смотрите также файлы

• Pismenny_Matem.pdf

• shpora_po_matem.docx

• shpora_po_matem.docx

• Shpr.docx

• Shpr.docx