Файл: shpory_1.docx

49.Полярная система координат на плоскости

 Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой ), которая задаёт высоту точки над плоскостью. Положение точки М в сферической системе координат задается тройкой чисел  r,  φ  и  θ, где  r – расстояние от начала координат до точки  M;  φ – угол, образованный проекцией радиус-вектора на плоскость Оху с положительным направлением оси  Ох;  θ – угол между положительным направлением оси Ozи радиус-вектором точки М.

50.Криволинейный интеграл 1-го рода

Пусть кривая C описывается векторной функцией r=r(s), 0≤s≤S, где переменная s представляет собой длину дуги кривой

Свойства криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл I рода обладает следующими свойствами:

Интеграл не зависит от ориентации кривой;

Пусть кривая C1 начинается в точке A и заканчивается в точке B, а кривая C2 начинается в точке B и заканчивается в точке D (рисунок 2). Тогда их объединением будет называться кривая C1∪C2,которая проходит от A к B вдоль кривой C1 и затем от B к D вдоль кривой C2. Для криволинейных интегралов первого рода справедливо соотношение

∫C1∪C2Fds=∫C1Fds+∫C2Fds;

Если гладкая кривая C задана параметрически соотношением r=r(t), α≤t≤β и скалярная функция F непрерывна на кривой C, то

∫CF(x,y,z)ds=∫αβF(x(t),y(t),z(t))(x′(t))2+(y′(t))2+(z′(t))2√dt;

Если C является гладкой кривой в плоскости Oxy, заданной уравнением y=f(x), a≤x≤b, то ∫CF(x,y)ds=∫abF(x,f(x))1+(f′(x))2√dx;

Если гладкая кривая C в плоскости Oxy определена уравнением x=φ(y), c≤y≤d, то

∫CF(x,y)ds=∫cdF(φ(y),y)1+(φ′(y))2√dy;

В полярных координатах интеграл ∫CF(x,y)ds выражается формулой

∫CF(x,y)ds=∫αβF(rcosθ,rsinθ)r2+(drdθ)2√dθ,

где кривая C задана в полярных координатах функцией r(θ).

51.Поверхностный интеграл 1-го рода

Рассмотрим скалярную функцию f(x,y,z) и поверхность S. Пусть S задана векторной функцией

r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k,

где координаты (u,v) изменяются в пределах некоторой области определения D(u,v) в плоскости uv.Заметим, что функция f(x,y,z) рассматривается только в точках, принадлежащих поверхности S, то есть

f[r(u,v)]=f[x(u,v),y(u,v),z(u,v)].

Поверхностный интеграл первого рода от функции f(x,y,z) по поверхности S определяется следующим образом:

∬Sf(x,y,z)dS=∬D(u,v)f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))∣∣∣∂r∂u×∂r∂v∣∣∣dudv,

где частные производные ∂r∂u и ∂r∂v равны

∂r∂u=∂x∂u(u,v)i+∂y∂u(u,v)j+∂z∂u(u,v)k,

∂r∂v=∂x∂v(u,v)i+∂y∂v(u,v)j+∂z∂v(u,v)k

52.Криволинейный интеграл 2-го рода

Предположим, что кривая C задана векторной функцией r=r(s), 0≤s≤S, где переменная s − длина дуги кривой. Тогда производная векторной функции

drdt=τ=(cosα,cosβ,cosγ)

представляет собой единичный вектор, направленный вдоль касательной к данной кривой

Свойства криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл II рода обладает следующими свойствами:

Пусть C обозначает кривую с началом в точке A и конечной точкой B. Обозначим через −C кривую противоположного направления − от B к A. Тогда

∫−C(F⋅dr)=−∫C(F⋅dr);

Если C − объединение кривых C1 и C2 (рисунок 2 выше), то

∫C(F⋅dr)=∫C1∪C2(F⋅dr)=∫C1(F⋅dr)+∫C2(F⋅dr);

Если кривая C задана параметрически в виде r(t)=(x(t),y(t),z(t)), α≤t≤β, то

∫CPdx+Qdy+Rdz=∫αβ[P(x(t),y(t),z(t))dxdt+Q(x(t),y(t),z(t))dydt+R(x(t),y(t),z(t))dzdt]dt.

Если кривая C лежит в плоскости Oxy и задана уравнением y=f(x) (предполагается, что R=0 и t=x), то последняя формула записывается в виде

∫CPdx+Qdy=∫ab[P(x,f(x))+Q(x,f(x))dfdx]dx.

53.Формула Грина. Условие независимости лин. интеграла

Пусть в плоскости Oxy задана область R, ограниченная замкнутой, кусочно-непрерывной и гладкой кривой C. Предположим, что в некоторой области, содержащей R, задана непрерывная векторная функция

F=P(x,y)i+Q(x,y)j

с непрерывными частными производными первого порядка ∂P∂y,∂Q∂x. Тогда справедлива формула Грина

∬R(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮CPdx+Qdy,

где символ ∮C указывает, что кривая (контур) C является замкнутой, и обход при интегрировании вдоль этой кривой производится против часовой стрелки.

Криволинейный интеграл второго рода от векторной функции F=Pi+Qj+Rk не зависит от пути интегрирования, если P, Q и R являются непрерывными функциями в области интегрирования D и в этой области существует скалярная функция u=u(x,y,z), такая, что

F=graduили∂u∂x=P,∂u∂y=Q,∂u∂z=R.

54.Поверхностный интеграл 2-го рода

Поверхностный интеграл второго рода от векторного поля F по ориентированной поверхности S (илипоток векторного поля F через поверхность S) может быть записан в одной из следующих форм:

Если поверхность S ориентирована внешней нормалью, то

∬SF(x,y,z)⋅dS=∬SF(x,y,z)⋅ndS=∬D(u,v)F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))⋅[∂r∂u×∂r∂v]dudv;

Если поверхность S ориентирована внутренней нормалью, то

∬SF(x,y,z)⋅dS=∬SF(x,y,z)⋅ndS=∬D(u,v)F(x(u,v),y(u,v),z(u,v))⋅[∂r∂v×∂r∂u]dudv.

55.Поток и дивергенция. Формула Остроградского-Гаусса

Обозначим через G трехмерное тело, ограниченное кусочно-непрерывной, гладкой, замкнутой поверхностью S с внешней нормалью. Предположим, что задано векторное поле

F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)),

компоненты которого имеют непрерывные частные производные. 
Согласно формуле Остроградского-Гаусса,

∬SF⋅dS=∭G(∇⋅F)dV,

где через

∇⋅F=∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z

обозначена дивергенция векторного поля F (она обозначается также символом divF), а поверхностный интеграл вычисляется по замкнутой поверхности. 
Формула Остроградского-Гаусса связывает поверхностные интегралы второго рода с соответствующими тройными интегралами. 

56.Циркуляция и ротор. Формула Стокса

Пусть S является гладкой поверхностью, ограниченной гладкой кривой C. Тогда для любой непрерывно дифференцируемой векторной функции

F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))

справедлива теорема Стокса:

∮CF⋅dr=∬S(∇×F)⋅dS,

где

∇×F=∣∣∣∣∣i∂∂xPj∂∂yQk∂∂zR∣∣∣∣∣=(∂R∂y−∂Q∂z)i+(∂P∂z−∂R∂x)j+(∂Q∂x−∂P∂y)k

− ротор векторного поля F. 

Символ ∮ показывает, что криволинейный интеграл вычисляется по замкнутой кривой.

Теорема Стокса связывает между собой криволинейные интегралы второго рода и поверхностные интегралы второго рода.