Если f(x)≥g(x) на [a;b] то ;

Если f(x) интегр(ограничена) на [a;b] m и M – наиб и наим знач ф на [a;b] m(b-а)≤≤M(b-a)

т.к

теорема о среднем: Если f(x)непрер на [a;b] то сущ такая точка «с» на отр, что

27. Интеграл с переменным верхним пределом. Формула Ньютона-Лейбница
Пусть f(x) интегр-ма на [a;b] тогда она будет интегр-ма на любом отрезке от а до х, где а≤х≤в следовательно определена следуюзая фуункция Ф(х)= (интеграл с переменным верхним пределом)
т. Если f(x) непрер, то сущ производная интеграла от f(x)с переменным по перемменному верхнему пределу и она = значению подинтегральной функции в точке соответствующей верхнему пределу
ф.Ньютона- Лейбница:

28. Замена переменной и интегрирование по частям в определенном интеграле. Свойства интегралов от четных и нечетных функция по симметричному относительно нуля промежутку.
Интегрирование по частям.

=

Замена переменной в определённом интеграле. Если x=(t) непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке [t₁, t₂], тогда (t₁)=a, (t₂)=b и область значений (t) на отрезке [t₁; t₂] является отрезком [a;b], (x) – непрерывна на [a;b], то
Свойства интегралов от четных и нечетных функция по симметричному относительно нуля промежутку: пусть f(x)-четная, т.е f(-x)=f(x) тогда интеграл от
если f(x)- нечетная, то f(x)=-f(x),

29. Несобств.инт. с бесконеч. пределами инт признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт.

При введение опред. определенного инт. предполагали что 1) пределы интегрирования конечны и подинт. ф-я ограничена на отрезке интегрирования.

Несобств.инт. явл обобщ.понятием определенного интеграла на случ.бесконечного отрезка интегрирования или неогр.ф-и.Основная идея построения несобств.инт.(график)

Отступает от особенности внутрь отрезка интегрирования так, чтобы сущ.опред.инт. и переходит к пределу

Пусть ф-я f(x) опред. и интегрируема на любом отрезке от а до b (b>a). Несобств.инт с бесконеч. верхним пред. интегр. наз. предел: причем если этот предел сущ и конечен, то интегрирование наз сходящимся в противном случ сходящимся

ПРИМЕР

ПРИМЕР

Аналогично определяется несобст.инт с бесконечным нижним пределом

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, хотя бы одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Начнем с интегралов по бесконечному промежутку. Пусть I –один из промежутков вида: (−∞, a], [b, + ∞) или(−∞, + ∞).Пусть далее на промежутке I определена функция f (х), которая является интегрируемой на любом конечном промежутке, содержащемся в I.Тогда несобственный интеграл по промежутку I рассчитывается следующим образом:

если предел существует и конечен, в этом случае соответствующий интеграл называется сходящимся; если предел не существует или не является конечным, интеграл считается расходящимся.Если наряду со сходимостью интеграла от функции f (x) по промежутку Iимеет место и сходимость интеграла от модуля этой функции, то такая сходимость называется абсолютной.

---

30. несобств инт от неогранич ф-й. признаки сравнения. Примеры сходящихся и расходящихся инт

Пусть на промежутке I (a, b] или I [a, b) или I [a, b] задана функция f , которая имеет на этих промежутках единственную«особенность» – точку c,в окрестности которой функция не является ограниченной. Точка c a для первого, c b для второго и c∈(a, b)для третьего промежутков. Предположим далее, что функция f интегрируема на любом замкнутом промежутке, целиком лежащем в I. Тогда можно определить несобственные интегралы следующего вида:

если предел существует и конечен, в этом случае соответствующийинтеграл называется сходящимся; если предел не существует илине является конечным, интеграл считается расходящимся.Если наряду со сходимостью интеграла от функции f (x) попромежутку I имеет место и сходимость интеграла от модуля этойфункции, то такая сходимость называется абсолютной.

Признаки сравнения несобственных интегралов:

1) непредельный: пусть 0 ≤ f (х) ≤ g(х), x ∈ I; тогда

а) если сходится интеграл от функции g(x) по промежутку I, то и сходится и интеграл от функции f (x) по этому промежутку;

б) если же расходится интеграл от функции f (x) по промежутку I, то и расходится и интеграл от функции g(x) по этому промежутку;

2) предельный: если существует конечный отличный от нуля

Пределгде c a в случае I (a, b], c b для I [a, b) и c∈(a, b)для I [a, b], то несобственные интегралы отфункций f (x) и g(x) по промежутку Iсходятся (или расходятся)одновременно.

Интеграл вида часто используется при применении признаков сравнения для несобственных интегралов от неограниченных функций.

31. Геометрические приложения опред инт

Вычисление площадей плоских фигур. Пусть D – ограниченная фигура в плоскости Oxy и D – ее площадь. Тогда в зависимости от описания этой фигуры различают следующие применения ОИпри вычислении площади:

а) в декартовых координатах:

1., если D– криволинейная трапеция, ограниченная снизу осью Ox, сверху – графиком неотрицательной функцииy   f  (х), а с боков – прямымиx  a и x   b (a b).

2. , если D – фигура, ограниченная снизуграфиком функции y = y1(х), сверху – графиком функции y = y2 (х), где y2(x) ≥ y1(x), x∈[a, b],и с боков – прямымиx a и x b (a b).

3. , если D – фигура, ограниченная сверхуи снизу графиками функций y f(х), y g(х) и с боков – прямымиx a и x b.

б) в случае параметрического задания:

, если D – криволинейная трапеция,ограниченная линией ,заданной параметрически и .

в)в полярных координатах x = r cosϕ, y = r sinϕ:

используя метод дифференциалов, получаем:

1.если D – криволинейный сектор, ограниченный лучами ϕ = ϕ1, 2 ϕ = ϕ и кривой r = r(ϕ), ϕ∈[ϕ1,ϕ2 ].

2. , если D − фигура, ограниченная лучами ϕ = ϕ1, 2 ϕ = ϕ и кривыми r = r1(ϕ), r = r2 (ϕ), ϕ∈[ϕ1, ϕ2].

Вычисление длины дуги плоской кривой. Под длиной s дуги кривой понимают предел вписанных в эту дугу длин ломаных, когда наибольшая из длин звеньев ломаных стремится к нулю. Будем рассматривать так называемые спрямляемые кривые, т. е. кривые, для которых длина бесконечно малой дуги кривой эквивалентна длине стягивающей дугу хорды. Для таких кривых Δs ≈ (Δx)2 + (Δy)2 или, переходя к дифференциалам, ds(dx)2 (dy)2 или (ds)2 (dx)2 (dy)2, что иногда называют «теоремой Пифагора» для дифференциалов.

---

1. Если рассматриваемая кривая L задана параметрически, т. е.и является гладкой, т. е. функции x(t), y(t)непрерывно дифференцируемы и их производные одновременно в нуль не обращаются, то можно получить формулу для вычислений длины s_L гладкой параметризованной кривой L:

2. Если кривая L задана явно как график функции y y(х), x ∈ [a, b], то формула для вычисления длины дуги кривой упрощается (здесь t = x):

3. Аналогично можно рассмотреть выражение для нахождения дуги в полярных координатах, если в качестве параметра t принять полярный угол ϕ.

32. приблеженное вычисл опред инт
Рассмотр. Задачу: выч. С точностью до 0.01 интег. .Геом. — это означает, что надо найти
площадь криволин.трапеции огрн. Гр ф-и сверху по бокам X=0, X=1

Формула прямоугольников (средних прямоуг)

для вычисл. разбивают отрезок [a;b] на n равных отрезков длины h

h=(b-a)/n

x₀=a x_i=x₀+ih, 1≤i≥n

, где M₂=max x принадл.[a;b]

Формула трап.получается при замене S кривол. трап на S обыч. трап

Формула парабал(формула Симпсона)

При замене на каждом частях отрезке граф ф-у f(x) параболой

При этом [a;b] разбивают на h=(b-a)/2n

где M₄=max x принадл.[a;b]

Формула трапеций

Получ.при замене на каждом частях отр.S крив.трапеции S обыч.трапеции

,где M₂=max x принадл.[a;b]

33. понятие ДУ его общего и частного решений. Задача Коши. Теорема сущ и единственности решения задачи Коши.

ДУ наз ур-ние вида F(x,y’,y’’…yⁿ), связыв. незов перем х, искомую ф. у, завис. от этой перем. и производную.
Процесс нахождения реш ДУ наз интегриров ДУ. График ДУ наз диф кривой.
В общ случае решением ДУ n-го порядка опред с точностью до n произвольных постоянных.

Общим реш ДУ n-го порядка наз ф y= ϕ (x,c₁, c₂…c_n) завис от n-произв пост и удовлетв усл: явл реш данного ДУ при любых знач произвольных пост c₁, c₂…c_n ; каковы бы не были нач усливия, y(x₀)=y₀, y’(x₀)=y_0,1 , y^n-1(x₀)=y_0,n-1
Сущ такие знач произв пост с₁=с₁⁰, с₂=с₂⁰…… с_n=с_n⁰ , что ф у= ϕ ( x; с₁⁰; с₂⁰…..с_n⁰) удовл данному ДУ и ук нач усл.

Частным реш ДУ наз ф у= ϕ (x; с₁⁰; с₂⁰…..с_n⁰), кот получ из общ реш при конкрет знач произв пост
Если общ реш ДУ найдено в неявном виде Ф(x, у,c₁, c₂…c_n) =0, то говорят, что найден общ инт ДУ.

Задача отыскания реш ДУ удовл нач усл назыв задачей Коши.

Т. Сущ един реш зад Коши для ДУ 1-го пор-ка. Если ф f(x,y) и её f_у’(x,y)- частн произв непрер в некот обл D содерж точ с коорд (x₀,y₀), то сущ единств реш задачи Коши.

Т. Сущ и единственности, реш зад Коши для ДУ 2 пор-ка. Если f(x,y,y’) и её частн производ f_у’(x,y, y’)
f_у’’(x,y, y’) в некот т (x₀,y₀, y₀’), то суще ед реш зад Коши

Если в т. М₀(х₀,у₀) наруш хотя бы одно усл т Коши, то эта точка наз особой т соотв ДУ

34. Основные типы ДУ 1-го порядка и методы их решения
Типы ДУ первого порядка и методы их решения
1)ДУ с раздел. перем.:
y’=f₁(x)*f₂(x)

dy/dx= f₁(x)*f₂(x)

dy= f₁(x)*f₂(x)*dx

ʃdy/f₂(x)= ʃf₁(x)*dx–ДУ с РП

2)Однородные ДУ:

Ф-ция f(x;y) наз. одн. ф-ей n-го порядка, если f(λx;λy)=λⁿf(x;y) при любых x,y, λ

ДУ разрешенное отн. произв. наз. одн., если его правая часть явл. Однородной ф-цией нулевого п-ка.

---

ДУ 1-го п-ка запис. в дифф. форме явл. одн.ф-иями одинакового п-ка P(x;y)dx+Q(x;y)dy=0

Можно показать, что любе одн. дифф. ур-ие 1-го п-ка y’= ϕ (y/x)

Метод решения:

u=y/x y=u*x

y’=u’x+u

u’x+u= ϕ (u)

u’x= ϕ (u)-u

du*x/dx= ϕ (u)-u

ʃdu/(v(u)-u)= ʃdx/x

3)Линейные ДУ

Линейным наз. ур-ие, кот. может быть записано в виде:y’=p(x)y+q(x)

Метод решения:

y=u*v

y’=u’v+uv’

u’v+uv’=p(x)*uv+q(x)

u’v+uv’-p(x)*uv=q(x)

u’v+u(v’-p(x)v)=q(x)

v’-p(x)v=0 и u’v=q(x)

4)Уравнение Бернулли

y’=p(x)y+q(x)y^α, α не равно 0 и 1

y=uv

35 ДУ 2-го порядка допускающие понижение порядка.

.ДУ 2-го порядка допускающие понижение пор-ка
Иногда ДУ 2-го пор-ка с помощью подходящей подстановки может быть сведено к решению ДУ 1-го пор-ка. В этом случае говорят, что ДУ 2-го пор-ка допускающее понижение 1-го пор-ка
0. y’’=f(x)
y’=∫f(x)
y=∫(f(x)dx)dx
1. F(x,y’,y’’)=0
y’=z(x)
y’’=z’(x)
2. F(x,y’,y’’)=0
y’=p(y)
y’’=(p(y))’x=(dp/dy)*(dy/dx)=(dp/dy)p=p1/yp

36)Линейные однородные дифференциальные уравнения n-ого порядка, теорема о структуре общего решения

y^(n) + a1y^(n-1) … + a(n-1)y + an*y + 0, где а1, а2 … an – действ. Числа

λ^n + a1*λ^(n-1) + … + a(n-1)λ + an = 0

т.к. это ур-ие n-ой степени, то оно имеет n-корней с учетом их кратности, причем корни могут быть действ. и компл.

Фунд. Нет решений ЛОДУ содержит n-лин. Частных решений и сост. но ??? принципу, если λ – действ. корень характ. ур-ния кратности k, то ему соотв. k-частных решений

y1 = e^λx, y2 = xe^λx, y3 = x^e*e^λx

если λ1 = ???? + Bi явл. Компл. И ур-ия кратности k, то λ2???? – pi явл. Корнем ур-ия кратности k, тогда имеет k-пар чн.р. ЛОДУ

37)Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэфф.

y” + py’ = qy = 0, p, q – действ. числа

согласно теореме о структуре общ. решения ур-ия, общ. решение этого ур-ия имеет вид y(оо) = c1y1 + c2y2

y1, y2 – лин. незав. частные решения

c1, c2 – постоянные

λ^2 + p λ + q = 0 , при решении этого уравнения возможны 3 случая:

1. D > 0 => λ1 ≠ λ2 два разных действ. корня

y(oo) = c1e^λ1x + c2e^λ2x

2. D = 0 => λ1 = λ2 = λ два совпад. действ. корня

y(oo) = c1e^λx + c2xe^λx

3. D < 0 => λ1,2 = ???? ± Bi два компл. сопр. корня

y(oo) = c1e^λx cosBx + c2e^λx sinBx

38)Линейные неоднородные ДУ, теорема о структуре общего решения. Метод вариации произвольных постоянных

ЛНДУ n-порядка, наз. ур. вида y^n + a1(x)y^(n-1) + a2(x)y(n-2) + … a(n+1)(x)y’ = f(x), где a1(x), a2(x) – коэф. ур,

f(x) – свободный член ур.

теорема о структуре общ. решения

общее решение ЛНДУ = сумме общего решения соотв. ему ЛОДУ и какого-нибудь частного решения ЛНДУ y(он) = y(оо) + y(чн)

метод вариации произвольных постоянных

исп. для нахождения общ. решения ЛНДУ, если известно общее решение соотв. ему ЛОДУ.

рассм. этот метод: y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), пусть известно общее решение ЛОДУ y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x), пусть y1(x) и y2(x) образуют фунд. систему решений ЛОДУ, тогда y(оо) = c1y1(x) + c2y2(x), где c1, c2 – произв. пост.

метод вариации произв. пост. состоит в том, чтобы искать чн. р. ЛНДУ в виде y(чн) = c1(x)y1(x) + c2(x)y2(x), где c1(x), c2(x) – функции

39. Метод неопределенных коэфф. для решения ЛНДУ с постоянными коэфф. и специальной правой частью

этот метод исп. для нахожд. частного решения с пост. коэф.

ЛНДУ n-ого порядка y^(n) + a1y(n+1) + a2y(n=2) + … + a(n-1)y’ + a(n)y = f(x)

---

Часть f(x) имеет спец. вид, а именно f(x) = e^(????x) * (Pn(x)cosBx + Qm(x)sinBx) , где ???? и B – действ. числа, Pn(x), Qm(x) – многочлены степеней n и m

в этом случае чн.р. ур-ия имеет вид: y(чн) = x^r*e^(????x)(Ns(x)cosBx) + Ms(x)sinBx) , где r – кратность числа ????+Bi , как корня характ. ур-ия данного ЛНДУ , S = max{n;m}

Ns(x) и Ms(x) – многочлены степени S с неопр. коэф.

40. Методы решения ЛНДУ. Теорема о наложении решений ЛНДУ

Метод Рунге-Кутта: 3-го порядка

Модифицированный метод Эйлера

Метод вариации произвольных переменных

Метод неопределенных коэфф.

Теорема о наложении решений

Если ф-ия y = y1(x) явл. чн. р. ур-ия y” = p(x)y’ + q(x)y = f1(x), а ф-ия y = y2(x) – явл. чн. р. ур-ия y” + p(x)y’ + q(x) = f2(x), то ф-ия y = y1(x) = y2(x) явл. решением ур-ия y” + p(x)y’ + q(x)y = f1(x) + f2(x)

41.Системы ДУ. Сведение систем к одному ДУ.

Система ДУ 1-го порядка разрешенных относительно производных, т.е. система вида:

y1’ = f1(x;y1;y2;…;yn)

y2’ = f2(x;y1,y2,…,yn)

yn = fn(x,y1;y2;…;yn)

решением системы называется совокупность n-функций y1 = y1(x), y2 = y2(x), yn = yn(x), при подстановке которых в систему, система обращается в верное равенство.

изучение норм. систем ДУ обусловлено тем, что во многих случаях произвольно заданная система ДУ может быть сведена к норм. системе.

Основным методом решения норм. систем явл. метод сведения системы к одному ДУ, порядок которого = числу неизв. ф. в норм. системе

42.Понятие оригинала и изображения. Основыне свойства преобразования Лапласа.

Операц. или символическое исчисление – один из методов матем. анализа, позволяющий в ряде случаев сводить решений ДУ и интегр. уравнений к решению более простых алгебр. уравнений, это реализ. с пом. отображения множества ф-ий f(t) которые наз. оригиналами на множестве ф-ий f(t), которые наз. оригиналами на множестве функций F(p), которая наз. изображением.

Свойства:

Линейность преобразования Лапласа – cF(t), f1(t) + f2(t) – cF(p), F1(p) + F2(p)

Теорема подобия – f(at) – (1/a)*F*(p/a)

Теорема запаздывания – (t-a)F(t-a) – e^(-ap)*F(p)

Теорема смещения – e^(at)*f(t) – F(p-a)

Диф. оригинала - f’(t), f”(t), f^(n)(t) – (pF(p) – F(0)), (p^2*F(p) – pf(0) – f’(0)), (p”F(p) – p^(n-1)f(0) – p(n-2)f’(0) - … - f^(n-1)(0)

диф. изображения – (-t*f(t)) – F’(p)

инт. оригинала - ∫f(τ)dτ – F(p)/p

инт. изображения – f(t)/t - ∫F(s)ds

умножение изображений – f1(t) * f2(t) – F1(p)F2(p)

43.Изображения функций 1;t;t^n;e^????t;sinBt;cosBt

1 = 1/p

t = 1/p^2

t^n = n!/p^(n+1)

e^λt = 1/p-λ

sinBt = B/p^2 + B^2

cosBt = p/p^2 + B^2

44. Применение операционного исчисления для решения ДУ. Примеры

y”-2y’+y = cosx

y(0) = C1; y’(0) = C2

y(x) <→ Y(p)

y’(x) <→ pY(p) – C1

y”(x) <→ p^2 * Y(p) – C1p – C2

cosx <→ p/(p^2 + 1)

p^2 Y(p) – c1p – c2 – 2(pY(p) – c1) + Y(p) = p/(p^2 + 1)

(p^2 – 2p + 1) Y(p) = p/(p^2 + 1) + c1p + c2 – 2c1

(p-1)^2Y(p) = p/(p^2 + 1) + c1p + c2 – 2c1

Y(p) = p/((p^2 + 1)*(p^2-1)) + c1p/(p-1)^2 + (c2-2c1)/(p-1)^2 + (c2-c1)/(p-1)^2 = ½ * 1-(p-1)^2 – ½ * 1/p^2+1 + c1/p-1 + c2-c1/(p-1)^2 <→ 1/2xe^x - 1/2sinx + c1e^x + (c2-c1)xe^x

45.Численные методы решения ДУ

Модифицированный метод Эйлера: Получается при выч. интеграла по формуле средних прямоугольниковж

Метод Рунге-Кутта: 3-го порядка точности получ. при выч. интеграла методом порабол

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка:

уi+1=уi+(k1+2k2+2k3+k4)/6,

k1=hf(xi,yi),

k2=hf(xi+h/2, yi+k1/2),

---

Смотрите также файлы

• Pismenny_Matem.pdf

• shpora_po_matem.docx

• shpora_po_matem.docx

• Shpr.docx

• Shpr.docx