Файл: Тема 16.doc

, (16.8)

где  статический прогиб того сечения, в котором находится колеблющаяся сосредоточенная масса , вызванный действием соответствующей статически приложенной силы тяжести .

В теоретической механике частоту собственных колебаний определяют с помощью жесткости системы. Жесткостью системы при колебаниях называется сила, которую нужно приложить в том сечении, где находится колеблющаяся масса, чтобы вызвать единичное перемещение этого сечения.

Если  единичное перемещение, то величина ей обратная является жесткостью системы при колебаниях.

Преобразуя выражение (16.8), получим:

. (16.9)

Формула (16.8) для круговой частоты собственных колебаний является классической формулой теоретической механики.

При необходимости учета собственного веса тела при определении круговой частоты собственных колебаний в сечении, в котором приложена колеблющаяся сосредоточенная масса, следует дополнительно приложить приведенную массу тела , где  распределенная масса по длине тела;  коэффициент приведения массы (веса), описанный в предыдущей теме, в которой коэффициент использовался при вычислении динамического коэффициента при ударе. Тогда формула (16.8) для определения круговой частоты собственных колебаний преобразуется к виду:

. (16.10)

В ряде случаев для сокращения времени вычислений полезно запомнить значение жесткости системы для некоторых наиболее распространенных случаев нагружения стержней, балок, валов и пружин. В таблице 16.1 приведены для некоторых их таких случаев нагружения выражения для жесткости и частоты собственных колебаний.

Таблица 16.1

Вид системы	Жесткость системы	Частота собственных колебаний

Для скручиваемого вала при вычислении круговой частоты собственный колебаний следует использовать момент инерции диска относительно оси стержня, перпендикулярной к плоскости диска .

Вычислим период и круговую частоту собственных колебаний для системы с двумя вращающимися дисками (Рис.16.6). Если закрутить диски один относительно другого, а затем мгновенно снять приложенные внешние моменты, то диски начнут совершать крутильные колебания навстерчу друг другу. При этом некоторое промежуточное сечение вала будет оставаться неподвижным.

Рис.16.6

Положение этого так называемого узлового сечения можно найти из условия равенства частот колебаний обоих дисков с примыкающими к ним участками вала длиной и , для которых применимы формулы:

,

откуда

,

где и  моменты инерции соответственно первого и второго дисков.

---

Используя последнее соотношение, а также, имея в виду, что , находим:

; .

Тогда период и частота крутильных колебаний системы будут следующими:

; .

Рассмотрим примеры вычисления круговой частоты собственных колебаний.

Пример 16.1. Определить частоту собственных колебаний груза весом Н, подвешенного к концу стального стержня длиной м и площадью поперечного сечения см², если модуль упругости материала МПа.

Решение:

1. Вычислим удлинение стержня:

м.

2. Определяем частоту собственных колебаний по формуле:

с ^–1.

Пример 16.2. Найти период собственных колебаний кручения стального вала диаметром см и длиной м, один конец которого защемлен, а на втором насажен шкив с моментом инерции Нмс².

Решение:

1. Определяем круговую частоту собственных крутильных колебаний, воспользовавшись формулой из таблицы 16.1:

с ^–1.

2. Находим период собственных крутильных колебаний вала:

с.

Пример 16.3. Стальная цилиндрическая пружина, имеющая витков при среднем диаметре витка см диаметре проволоки мм, растянута грузом Н. Определить частоту собственных колебаний груза.

Решение:

1. Вычисляем жесткость пружины:

Н/м.

2. Определяем частоту собственных колебаний:

с ^–1.

Пример 16.4. Двутавровая балка №27 длиной м, шарнирно опертая по концам, несет посредине пролета груз кН. Момент инерции двутавра см⁴, вес одного погонного метра Н/м. Коэффициент приведения веса принять . Определить частоту собственных колебаний без учета и с учетом массы балки.

Решение:

1. Определяем жесткость балки:

Н/м.

2. Находим частоту собственных колебаний без учета собственного веса балки:

с ^–1.

3. Определяем частоту собственных колебаний с учетом собственного веса балки:

сек ^–1.

Пример 16.5. Определить частоту собственных колебаний для двутавровой балки №27 с моментом инерции см⁴, если груз кН приложен на расстоянии м от левой опоры (Рис.16.7,а). Длина балки м. Собственным весом балки пренебречь.

Решение:

1. Найдем статическое перемещение (прогиб) сечения С, в котором приложен груз . Для этого сначала построим эпюру грузовых моментов (Рис.16.7,б). Изгибающий момент в сечении С определим по формуле:

кНм.

Затем выберем единичное состояние балки (Рис.16.7,в), приложим в сечении С единичную сосредоточенную силу и построим эпюру единичных изгибающих моментов (Рис.16.7,г). Изгибающий момент в сечении С найдем по формуле:

.

Используя формулу треугольников, найдем статический прогиб в сечении С:

м.

Рис.16.7

2. Определяем частоту собственных колебаний балки:

с ^–1.

16.3. Учет сил внутреннего сопротивления при определении частоты собственных колебаний

---

Приведенное выше решение для определения частоты собственных колебания является приближенным, так как в нем не учтены силы сопротивления, например, сопротивление воздуха, силы трения в шарнирах, силы внутреннего сопротивления.

Силы сопротивления воздуха при скоростях колебаний, которые наблюдаются в балках, невелики и поэтому их можно не учитывать. Силы трения в шарнирах могут быть устранены или сведены до минимума за счет улучшения конструкции шарнирных опор или их смазки.

Основными являются силы внутреннего неупругого сопротивления, котрорые зависят от материала балки и ряда других факторов. Эти силы устранить невозможно.

По одной из наиболее распространенных гипотез учета затуханий, предложенных Фойгтом [5], материал рассматривается как вязко-упругое тело, в котором возникающие напряжения зависят не только от величины деформации , но и от скорости изменения деформации во времени:

, (16.11)

где  коэффициент вязкого трения.

В соответствии с гипотезой Фойгта эффект сил внутреннего сопротивления при колебаниях рассматриваемой балки заменяется действием внешней силы , приложенной в точке закрепления массы. Здесь  коэффициент пропорциональности между силой и скоростью.

Величина отклонения массы от равновесного состояния с учетом сил внутреннего сопротивления имеет вид:

,

откуда

, (16.12)

где

; .

Выражение (16.12) представляет собой дифференциальное уравнение собственных колебаний системы с одной степенью свободы с учетом неупругих сил сопротивления. Интеграл уравнения (16.12) можно записать в виде:

, (16.13)

где

. (16.14)

Из графика колебаний (Рис.16.8), построенного по выражению (16.13), хорошо видно, что собственные колебания быстро затухают.

Рис.16.8

Выражение (16.14) дает значение частоты собственных колебаний с учетом сил сопротивления. Величина обычно мала по сравнению с , поэтому и , как правило, мало отличаются друг от друга:

.

Чтобы оценить скорость затухания колебательного процесса, составим отношение двух отклонений массы, измеренных через один период (Рис.16.8):

,

откуда

. (16.15)

Величину называют логарифмическим декрементом колебаний, он характеризует скорость затухания собственных колебаний.

16.4. Вынужденные колебания упругой системы

Как отмечалось выше, колебания называются вынужденными, если на систему действует сила , изменяющаяся во времени по какому-либо закону. После приложения силы инерции балку в отклоненном состоянии можно рассматривать как находящуюся в равновесном состоянии (Рис.16.9).

---

Рис.16.9

Перемещение массы будет описываться уравнением:

, (16.16)

где  перемещение от единичной силы, приложенной в месте крепления массы.

Перенося все неизвестные в левую часть, после деления всех членов на получим:

. (16.17)

Интеграл этого уравнения состоит из двух частей: решение однородного уравнения и частного интеграла, зависящего от правой части.

Рассмотрим частный случай, когда внешняя сила меняется по гармоническому закону с частотой :

. (16.18)

С учетом выражения (16.18) дифференциальное уравнение (16.17) принимает вид:

. (16.19)

Интеграл однородного уравнения был получен при решении уравнения (16.4) и представлен выражением (16.6) в предыдущем разделе. Частный интеграл будем искать в виде:

. (16.20)

Возьмем первую и вторую производные от перемещения по времени. Получим:

; . (16.21)

Подставим (126.20) и (16.21) в уравнение (16.19) и решим его относительно постоянной интегрирования С:

. (16.22)

Учитывая, что , получим:

, (16.23)

где  прогиб от статически приложенной возмущающей силы .

Таким образом, решение уравнения (16.19) с учетом (16.6) имеет вид:

. (16.24)

Первое слагаемое в этом уравнении представляет собой собственные колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Величины и находим из начальных условий, как это было показано в предыдущем разделе.

Так как собственные колебания в реальных конструкциях быстро затухают, рассмотрим только вынужденные колебания, происходящие с частотой .

Если принять , то отклонение от равновесного состояния приобретет максимальную величину, которую принято называть амплитудой вынужденных колебаний:

.

Величина представляет собой коэффициент нарастания колебаний и имеет вид:

. (16.25)

На рис.16.10. приведен график абсолютного значения коэффициента . Из графика видно, что при приближении частоты вынужденных колебаний к частоте собственных колебаний системы , коэффициент нарастания колебаний безгранично возрастает (при , ). Такое явление называется резонансом.

Рис.16.10

Динамический коэффициент при вынужденных колебаниях найдем на примере консольной изгибаемой балки с жесткостью , которая несет на свободном конце электродвигатель весом с неуравновешенным ротором (Рис.16.11).

Рис.16.11

Величина неуравновешенного груза, укрепленного на роторе и совершающего вращательное движение вокруг оси электродвигателя, равна . Вследствие вращения груза на роторе возникает центробежная сила инерции, которая и является причиной возникновения колебаний.

---

Полный прогиб, вызываемый статическим приложением веса электродвигателя и инерционной нагрузки , равен:

, (16.26)

где:  статическое перемещение, вызванное весом электродвигателя ;  амплитудное значение перемещения (амплитуда вынужденных колебаний),  коэффициент нарастания колебаний.

Динамический коэффициент найдем из отношения:

(16.27)

16.5. Учет сил внутреннего сопротивления при вынужденных колебаниях

Рассмотрим теперь вынужденные колебания с учетом сил внутреннего сопротивления. Дифференциальное уравнения колебаний с учетом (16.12) принимает вид

. (16.28)

Уравнение вынужденных колебаний (16.28) отличается от уравнения собственных колебаний (16.12) не только наличием правой части, но и коэффициентов при первой производной . Вместо величины , введенной в уравнении (16.12), принимается коэффициент .

Гипотеза Фойгта, принятая при описании собственных колебаний, дает согласованные с экспериментом результаты лишь том случае, если коэффициент вязкого трения в формуле (16.11) не является постоянной величиной, а зависит от частоты колебаний. Результаты теории и эксперимента оказываются в большей мере согласованы, если принять, что при собственных колебаниях , а при установившихся вынужденных колебаниях, совершающихся с частотой , , где  логарифмический декремент затухания [5]. Отношение двух коэффициентов будет таким же, как отношение коэффициентов вязкого трения :

. (16.29)

Откуда:

. (16.30)

Рассмотрим частное решение уравнения (16.28), соответствующее только вынужденным колебаниям:

. (16.31)

Возьмем вторые и первые производные от перемещения по времени . Получим:

; .

и подставим в уравнение (16.28):

(16.32)

.

Группируя члены, содержащие и , и подставляя в уравнение (16.32), получим:

. (16.33)

Уравнение (16.33) должно тождественно обращаться в ноль при любых значениях . Данное условие будет выполняться, если коэффициенты при и приравнять к нулю. В результате получим два уравнения с двумя неизвестными и :

(16.34)

Решая уравнения (16.34), находим:

. (16.35)

Полагая, что

, а (16.36)

и подставляя в уравнение (16.31), получаем:

.

Таким образом, уравнение вынужденных колебаний (16.31) по аналогии с (16.6) можно записать в виде:

, (16.37)

где и  соответственно, амплитуда и начальная фаза вынужденных колебаний.

Возводя в квадрат левую и правую часть равенств (16.36) и складывая их, получаем:

. (16.38)

Разделив на из выражений (16.36), имеем:

. (16.39)

Подставляя постоянные и в (16.36) и (16.37), получаем выражения для амплитуды вынужденных колебаний и начальной фазы колебаний :

---