ТЕМА 16

КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

16.1. Основные определения теории колебаний. Классификация механических колебаний

Теория колебаний представляет собой обширный раздел современной физики, охватывающий весьма широкий диапазон вопросов механики, электротехники, радиотехники, оптики и т.д. Особое значение имеет теория механических колебаний для решения прикладных задач, встречающихся в инженерной практике, в частности, задач прочности машин и сооружений. Известны случаи, когда строительные сооружения, рассчитанные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушались под действием сравнительно небольших периодически действующих сил. Во многих случаях жесткая и весьма прочная конструкция оказывается непригодной при наличии переменных сил, в то время, как такая же более легкая, и на первый взгляд менее прочная конструкция воспринимает эти усилия совершенно безболезненно. Поэтому вопросы колебаний и вообще поведения упругих систем под действием переменных нагрузок требуют от конструктора особого внимания.

Для совершения колебания тело должно иметь определенную массу и упругость. Если упругое тело (нагруженные рама и балка, скручиваемый вал и т.д.) вывести из состояния равновесия с помощью какого-либо внешнего воздействия, то сила упругости этого тела не уравновесится приложенной нагрузкой и возникнут колебания.

16.1.1. Кинематическая классификация механических колебаний

Существуют несколько классификаций колебательных процессов. Одна из таких классификаций называется кинематической. Эта классификация включает в себя все механические колебания в соответствии с видом закона, по которому величина, характеризующая колебательный процесс, изменяется во времени. В соответствии с кинематической классификацией все колебания делятся на периодические, непериодические и почти периодические. Последние принадлежат к промежуточному классу колебаний, который занимает особое место в технике.

Периодические колебания описываются периодической функцией, значение которой повторяется через определенный отрезок времени , называемый периодом колебаний:

при любом значении переменной .

Непериодическими называются функции, не удовлетворяющие указанному условию.

Почти периодические функции определяются условием:

при любом , где и  некоторые постоянные величины. Если очень мало по сравнению со средним значением модуля функции за время , то почти периодическая функция будет близка к периодической, в которой будет почти периодом.

К наиболее распространенным периодическим колебаниям относятся гармонические или синусоидальные колебания, при которых изменение физической величины со времением происходит по синусоиде или косинусоиде. Гармонические колебания явяются незатухающими колебаниями.

---

Непериодические колебания более разнообразны, чем периодические. Чаще всего такие колебания являются затухающими (Рис.16.1,а) либо нарастающими гармоническими колебаниями (Рис.16.1,б).

Рис.16.1

Уравнение затухающих колебаний имеет вид:

, (16.1)

где  постоянные величины;  время.

Нарастающие гармонические колебания математически описываются аналогично (16.1), только знак при следует заменить на “плюс”.

В названии “затухающие гармонические колебания”, очевидно, нет логики, так как гармонические колебания не затухают вообще. Тем не менее, этим названием пользуются на практике.

16.1.2. Классификация колебаний по основным физическим признакам

Классификация колебательных процессов по внешним признакам не является достаточной. Поэтому она должна быть дополнена классификаций колебаний по основным физическим признакам.

При исследовании колебательных процессов важно знать, какое число независимых параметров определяет положение системы в каждый данный момент времени. Число таких параметров называется числом степеней свободы.

Жесткая масса, связанная с пружиной (Рис.16.2,а) имеет одну степень свободы, поскольку ее положение определяется только одной координатой , отсчитываемой от некоторой точки. Понятно, что это верно лишь в той мере, в какой имеется возможность пренебречь массой пружины по сравнению с массой колеблющегося груза. В противном случае, для того, чтобы задать положение системы в любой момент времени, необходимо было бы ввести бесчисленное множество координат, определяющих положение всех точек упругой системы, и система имела бы бесконечное число степеней свободы.

Рис.16.2

Балка, изображенная на рис.16.2,б также имеет одну степень свободы: положение массы определяется одним параметром – перемещением по вертикали.

Примером системы с двумя степенями свободы может служить система, изображенная на рис.16.2,в. Чтобы определить положение системы в любой момент времени, нужно знать две угловые координаты и , определяющие поворот жестких дисков.

Для системы, изображенной на рис.16.2,в, положение колеблющегося груза в плоскости чертежа определяется тремя независимыми переменными, например, двумя координатами центра тяжести и углом поворота массы.

Таким образом, число степеней свободы фактически определяется выбором расчетной схемы, т.е. той степенью приближения, с которой мы считаем необходимым (или возможным) исследовать реальный объект.

16.1.3. Классификация колебаний в зависимости от характера внешнего воздействия на колеблющуюся систему

В соответствии с этой классификацией различают следующие четыре типа возможных колебаний: собственные, вынужденные, параметрические и автоколебания.

---

Собственными (свободными) называют колебания, возникающие в изолированной системе вследствие внешнего возбуждения, вызывающего у точек системы начальное отклонение от положения равновесия или начальные скорости, и продолжающиеся затем благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.

Примером собственных колебаний является колебание ножек камертона. В этом случае движение происходит в результате начального импульса, сообщенного системе при ударе. Собственные колебания продолжаются до тех пор, пока сообщенная в начале колебательного процесса энергия не будет полностью израсходована на работу против сил трения о воздух и сил внутреннего трения в металле.

При собственных колебаниях характер колебательного процесса в основном определяется только внутренними силами системы, зависящими от физического строения ее. Период колебаний (время одного полного колебания) или частота колебаний (величина обратная периоду) зависит от самой системы. Частота колебаний является вполне определенной для данной системы и называется собственной частотой колебаний системы. Свободные колебания из-за потерь энергии в системе практически всегда являются затухающими, хотя при анализе свободных колебаний потерями энергии часто пренебрегают.

Вынужденными называются колебания упругой системы, происходящие при действии на систему (в течение всего процесса колебаний) заданных внешних периодически изменяющихся возмущающих сил. Характер колебательного процесса при этом определяется не только свойствами системы, но существвенно зависит также от внешней силы. Примером вынужденных колебаний могут служить поперечные колебания балки (Рис.16.3), служащей опорой для электродвигателя, если у него вращающиеся массы не вполне уравновешены.

Рис.16.3

Вынужденные колебания не затухают. Колебательный процесс происходит с частотой возмущающей силы и поддерживается за счет непрерывного поступления энергии извне. При совпадении частоты возмущающих сил с частотой собственных колебаний системы наступает резонанс, характеризующийся резким возрастанием амплитуды вынужденных колебаний и сопровождающийся возникновением в конструкции недопустимых деформаций.

Параметрическими называются колебания упругой системы, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы – величины, характеризующие массу или жесткость системы. Так же, как и при вынужденных колебаниях, система испытывает действие заданных внешних периодически изменяющихся возмущающих сил. При этом внешние силы не влияют непосредственно на колебательное движение, а изменяют физические параметры системы. Примером параметрических колебаний могут служить поперечные колебания массы на вращающемся стержне некруглого сечения с разными осевыми моментами инерции относительно взаимно перпендикулярных осей. Параметрические колебания не затухают.

---

Автоколебаниями, или самоколебаниями, упругой системы называются незатухающие колебания, поддерживаемые такими внешними силами, характер воздействия которых определяется самим колебательным процессом.

Автоколебания возникают в системе в отсутствии внешних переиодических воздействий. Характер колебаний определяется исключительно устройством системы. Источник энергии, восполняющий потери энергии в системе в процессе ее колебаний, составляет неотъемлемую часть системы. Таким образом, автоколебания в отличие от свободных колебаний являются незатухающими колебаниями. С другой стороны, автоколебания отличаются от вынужденных и параметрических колебаний, так как те и другие вызываются внешними силами, характер действия которых задан. В этом смысле автоколебания можно назвать самовозбуждающимися колебаниями, в которых процесс колебаний управляется самими колебаниями. Примером автоколебаний может служить вибрация частей самолета (флаттер), когда источником дополнительной энергии, поддерживающей колебания, является энергия воздушного потока. Другим примером автоколебаний является трепетание флага по ветру.

16.1.4. Классификация колебаний по виду деформации упругих элементов конструкций

В соответствии с этой классификацией применительно к стержневым системам различают продольные, поперечные и крутильные колебания.

При продольных колебаниях перемещение всех точек упругого стержня направлены вдоль оси стержня. При этом имеет место деформация удлинения или укорочения стержня, т.е. продольные колебания можно назвать колебаниями растяжения-сжатия.

Поперчными колебаниями называются колебания изгиба, при которых прогибы направлены перпендикулярно к оси стержня. Напряженное состояние при поперечных колебаниях, очевидно, будет таким же, как и при статическом изгибе балки. Поэтому поперечные колебания иначе можно назвать изгибными.

Крутильными называются колебания стержней, сопровождаемые переменной деформацией кручения. Эти колебания возникают в различного рода валах, работающих на кручение.

Кроме перечисленных видов колебаний существуют колебания смешанного типа, при которых одновременно возникают деформации изгиба и кручения, так называемые изгибно-крутильные колебания.

16.2. Собственные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим балку с одной сосредоточенной массой , прикрепленной к какой-либо точке на расстоянии от левой опоры (Рис.16.4,а).

Рис.16.4

Под весом первоначально приложенного груза балка прогнется на величину и примет состояние (Рис.16.4,б), которое назовем равновесным. Относительно этого состояния в дальнейшем балка будет совершать колебания.

Предположим, что масса балки по сравнению с массой мала, и ею можно пренебречь. Ось изогнутой оси балки определяется в этом случае величиной отклонения массы, т.е. только одним параметром. Поэтому такую балку называют системой с одной степенью свободы.

---

Если массу отклонить от равновесного состояния (Рис.16.4,в) и отпустить, то балка вместе с массой начнет колебаться возле равновесного состояния. Вследствие сил сопротивления колебания булут постепенно затухать, и через некоторое время балка вновь придет в свое исходное равеновесное состояние (Рис.16.4,б).

Получим уравнение колебаний заданной системы. Отклонение массы от состояния равновесия происходит за счет сил инерции. Введем единичное перемещение от силы инерции, равной единице. Составим соотношение:

(16.1)

Учитывая, что сила инерции равна

,

из соотношения (16.1) найдем величину отклонения массы от равновесного состояния:

. (16.2)

Так как , перепишем уравнение (16.2) в виде:

. (16.3)

Обозначим , где  круговая частота собственных колебаний, и подставляя в (16.3), окончательно получим дифференциальное уравнение, описывающее рассматриваемый колебательный процесс:

. (16.4)

Уравнение (16.4) представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка без правой части. Решение такого уравнения будем искать в виде:

, (16.5)

где и  постоянные интегрирования.

Уравнение (16.5) можно привести к другому виду. Для этого введем обозначения ; и поставим в уравнение (16.5). Получим:

, (16.6)

где  амплитуда колебаний;  начальная фаза колебаний, оределяемая при : .

Определим амплитуду кролебаний и начальную фазу . Для этого запишем выражение для скорости движущейся массы:

. (16.7)

Воспользуемся граничными условиями для определения постоянных и . Пусть при

; .

Тогда из уравнений (16.1) и (16.7) найдем:

;

.

Решая полученную систему уравнений относительно и , получим:

;

.

График изменения перемещения во времени показан на рис.16.5.

Рис.16.5

Наибольшее отклонение от равновесного состояния в ту или другую сторону будет тогда, когда равен единице. Как видно из уравнения (16.6), это отклонение будет равно постоянной . Таким образом, величина представляет собой амплитуду колебаний. Время , за которое совершается один полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Через каждые секунд отклонение приобретает прежнее значение.

Из уравнения (16.6) имеем:

.

Следовательно,

,

откуда круговая частота собственных колебаний, представляющеая собой число колебаний за секунд, равна:

.

Круговую частоту собственных колебаний в соответствии с принятым выше обозначением можно определить по формуле:

---