Файл: Тема 16.doc

; .

Учитывая, что

,

амплитуда вынужденных колебаний равна:

.

Коэффициент нарастания колебаний определяется равенством:

. (16.40)

Выразим коэффициент затухания через логарифмический декремент колебаний :

. (16.41)

Подставляя (16.41) в (16.40), получим:

. (16.42)

Выражение (16.42) может оказаться более удобным при вычислении коэффициента нарастания колебаний, чем выражение (16.40). Необходимо только помнить, что логарифмический декремент колебаний , а период колебаний определяется по формуле .

На рис. 16.12 представлены кривые зависимости коэффициента нарастания колебаний от отношения частот вынужденных и собственных колебаний . Положение каждой кривой зависит от декремента колебаний . И, как видно, из рис.16.12, в реальных балках в момент резонанса коэффициент нарастания колебаний не будет равен бесконечности при наличии внутреннего сопротивления, но, тем не менее, достигает больших значений. Поэтому возникновение резонанса весьма опасно для конструкции и его нельзя допускать. На рис.16.12 выделена опасная зона, в пределах которой всплеск коэффициента нарастания колебаний наиболее высокий. Границы этой зоны определяются отношением частот и . Вне этой зоны резонанса нет. Поэтому при вынужденных колебаниях при расчетах конструкций следует проверять, имеет ли место резонанс.

Рис.16.12

При проектировании конструкций, подвергаемых вынужденным колебаниям, размеры поперечных сечений конструкции следует выбирать такими, чтобы частота собственных колебаний системы отличалась приблизительно на 20% от частоты возбуждающей силы.

Рассмотрим примеры решения задач при вынужденных колебаниях.

Пример 16.6. На двух балках двутаврового сечения № 22 установлен двигатель весом кН (Рис.12.13,а), делающий об/мин. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна кН. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать. Момент инерции двутавра №22 см⁴, осевой момент сопротивления см³. Требуется определить наибольшие нормальные напряжения в балках.

Решение:

1. Определяем статический прогиб балок в месте установки двигателя . Для этого загружаем балку весом двигателя и строим эпюру грузовых изгибающих моментов (Рис.16.13,б). Далее изображаем единичное состояние системы (Рис.16.13,в) и строим эпюру единичных изгибающих моментов . Используя формулу треугольников, определяем статический прогиб:

м.

Рис.16.13

2. Находим частоту собственных колебаний системы:

с^-1.

3. Определяем частоту вынужденных колебаний:

с^-1.

4. Вычисляем коэффициент нарастания колебаний:

---

.

5. Находим динамический коэффициент:

.

6. Определяем динамические напряжения, возникающие в балках:

МПа.

Пример 16.7. Балка с поперечным сечением прямоугольного профиля (длина балки и размеры сечения указаны на рис.16.14) нагружена силой кН посредине пролета и испытывает действие возмущающей силы кН, приложенной в этом же сечении. Частота вынужденных колебаний составляет с^-1. Модуль упругости материала МПа. Определить амплитуду вынужденных колебаний балки.

Рис.16.14

Решение:

1. Вычисляем момент инерции поперечного сечения балки и определяем жесткость балки:

см⁴ ; Н/м.

2. Находим частоту собственных колебаний системы:

с^-1.

3. Определяем коэффициент нарастания колебаний:

.

4. Определяем статический прогиб, вызываемый возмущающей силой в месте приложения груза , и амплитуду вынужденных колебаний :

м ; м.

Пример 16.8. Электродвигатель весом 90Н установлен на четырех симметрично расположенных цилиндрических винтовых пружинах, каждая из которых имеет десять витков при среднем диаметре витка см и диаметре проволоки мм. На оси электродвигателя укреплен стержень АВ, несущий на конце В груз весом Н, расположенный на расстоянии см от оси электромотора (Рис.16.15). Определить критическое число оборотов электродвигателя, наибольшую деформацию и наибольшее касательное напряжение в пружинах. Весом пружин пренебречь. Коэффициент затухания колебаний принять с^-1. Модуль сдвига МПа.

Рис.16.15

Решение:

1. Определяем жесткость пружин:

Н/м.

2. Определяем круговую частоту собственных колебаний:

с^-1.

3. Критическое число оборотов электродвигателя соответствует возникновению резонанса с^-1:

об/мин.

4. Вычисляем наибольшую величину возмущающей силы , равную центробежной силе инерции, возникающей при вращении груза :

Н.

5. Определяем коэффициент нарастания колебаний с учетом резонанса. Коэффициент затухания при резонансе равен коэффициенту с^-1.

.

6. Находим амплитуду вынужденных колебаний электродвигателя:

м мм.

7. Определяем наибольшее вертикальное перемещение электродвигателя (деформацию пружины):

м мм.

8. Вычисляем динамический коэффициент:

.

9. Определяем максимальные касательные напряжения в пружинах:

МПа.

Пример 16.9. Двигатель весом кН, укрепленный на конце консольной балки длиной м, делает об/мин (Рис.16.16). При работе двигателя возникает центробежная сила инерции, равная (Н). Поперечное сечение балки состоит из двух симметрично расположенных относительно силовой плоскости равнобоких уголков мм. Определить наибольшее нормальное напряжение в балке. Найти число оборотов двигателя, при котором возникает явление резонанса, и определить соответствующее наибольшее нормальное напряжение. При расчетах учесть силы сопротивления, пропорциональные скорости колебательного движения. Коэффициент затухания колебаний принять равным с^-1. Массой балки пренебречь.

---

Рис.16.16

Решение:

1. Из сортамента прокатной стали выберем необходимые данные для уголка мм: см⁴; см. Минимальный момент сопротивления для всего сечения балки равен: см³. Расчетный момент равен абсолютной величине максимального изгибающего момента, возникающего в жесткой заделке: кНм.

Найдем статические напряжения в балке:

МПа.

2. Найдем жесткость балки:

Н/м.

3. Определяем частоту собственных колебаний двигателя:

с^-1.

4. Вычисляем частоту вынужденных колебаний:

с^-1.

5. Определяем коэффициент нарастания колебаний с учетом затухания. Период собственных колебаний с. Логарифмический декремент колебаний равняется . Коэффициент найдем из уравнения (16.42):

.

6. Вычисляем величину центробежной силы инерции:

Н.

7. Определяем динамический коэффициент:

.

8. Находим наибольшие динамические напряжения в балке:

МПа.

9. Определяем критическое число оборотов вала двигателя при резонансе ( ):

об/мин.

10. Коэффициент нарастания колебаний при резонансе найдем по формуле (16.43):

.

11. Динамический коэффициент при резонансе равен:

.

12. Определяем наибольшее нормальное напряжение при резонансе:

МПа.

Пример 16.10. Опытным путем было установлено, что период собственных колебаний груза весом кН, расположенного посредине пролета м двутавровой балки №24, равен с. Стенка балки расположена горизонтально. Определить величину модуля упругости первого рода материала балки , учитывая при расчете собственный вес балки. Данные для двутавра №24: см⁴; вес погонного метра Н/м.

Решение:

1. Определяем частоту собственных колебаний груза :

с^-1.

2. Из выражения определяем величину статического прогиба балки посредине пролета:

м.

3. Записываем выражение для статического прогиба с учетом собственного веса балки:

,

откуда находим величину модуля упругости

Па МПа.

4. Получим это же решение, используя жесткость балки:

,

откуда находим величину модуля упругости первого рода:

Па МПа.

16.6. Понятие о критической скорости вращения вала

Как показывает практика, быстровращающиеся детали машин, в частности валы, не могут быть идеально сбалансированы. Возникающие при вращении инерционные силы дисбаланса уводят вращающуюся деталь (вал, ротор) от оси вращения. При некоторых угловых скоростях вращения, называемых критическими, деталь попадает в резонанс, возникают большие поперечные колебания, система становится динамически неустойчивой. Покажем, что критическая скорость для вала соответствует числу оборотов вала в секунду, равному собственной частоте его поперечных колебаний.

---

Рассмотрим вращение вертикального вала с диском посредине (Рис.16.17).

Рис.16.17

Предположим, что центр тяжести диска отстоит от оси вала на расстоянии , которое назовем эксцентриситетом. При вращении на вал будет действовать центробежная сила инерции, вызывающая его изгиб:

, (16.43)

где  прогиб вала в месте посадки диска;  угловая скорость вращения вала.

Реакция сил упругого сопротивления вала в месте приложения центробежной силы:

, (16.44)

где – изгибная жесткость вала, для рассматриваемого случая при посадке диска посредине вала между опорами

. (16.45)

Вал находится в равновесии. Следовательно, упругие силы и силы инерции уравновешиваются :

, (16.46)

откуда

. (16.47)

Учитывая, что и подставляя в (16.47), получим:

. (16.48)

Здесь  собственная частота поперечных колебаний вала.

Из уравнения (16.48) видно, что прогиб вала стремится к бесконечности при приближении угловой скорости вращения вала к собственной частоте поперечных колебаний вала . Критическим значением скорости вращения вала будет

. (16.49)

Возникновение резонанса в системе, как уже отмечалось выше, не всегда приводит к разрушению конструкции из-за имеющихся в системе потерь сил внутреннего сопротивления и потерь энергии. В результате на практике при попадании вала в резонанс прогибы не всегда принимают значения, опасные для эксплуатации.

При скоростях вращения вала, больших, чем критические, частота колебаний изменяется и вал начинает вращаться спокойнее. Опыты показывают, что при центр тяжести диска будет располагаться между линией, соединяющей опоры и искривленной осью вала (Рис.16.17,б). В этом случае уравнение для определения прогиба будет иметь вид:

,

откуда

. (16.50)

Из уравнения (16.50) видно, что с увеличением скорости вращения вала прогиб уменьшается и приближается к эксцентриситету . Это означает, что при очень больших скоростях центр тяжести диска достигает линии, соединяющей опоры, и изогнутый вал вращается вокруг центра тяжести С диска.

Пример 16.11. Вал электродвигателя мощностью 100кВт расположен горизонтально и несет посредине пролета длиной м диск весом кН. Число оборотов вала об/мин. Определить диаметр вала электродвигателя, если критическое число оборотов выше заданного на 30%. Массой вала по сравнению с массой диска пренебречь. Эксцентриситет при посадке диска составил см; МПа; МПа.

Решение:

1. Определяем частоту собственных колебаний системы, исходя из условия, что в момент наступления резонанса :

с^-1.

2. Находим диаметр вала из выражения для частоты собственных колебаний:

---

,

откуда

м мм.

3. Определяем максимальный прогиб при колебаниях:

м.

4. Вычисляем нормальные напряжения от изгиба. Для этого воспользуемся выражением для максимального прогиба и преобразуем его.

,

откуда

МПа.

5. Определяем касательные напряжения при кручении:

МПа.

6. Выполняем проверку прочности вала с помощью энергетической теории прочности:

МПа МПа.

Таким образом, прочность вала обеспечена.

16.7. Тесты к теме №16 “Колебания упругих систем”

№	Вопрос	Время на ответ, сек
1	С какими колебаниями приходится иметь дело в строительстве и машиностроении?	20
	1. Волновыми.
	2. Механическими.
	3. Электромагнитными.
	4. Звуковыми.
	5. Электромеханическими.
2	Чем должно обладать тело, способное совершать колебания?	20
	1. Массой и жесткостью.
	2. Жесткостью и прочностью.
	3. Упругостью и массой.
	4. Массой и прочностью.
	5. Упругостью и прочностью.
3	Какой из видов колебаний может быть включен до классификации, которая называется “кинематической”?	20
	1. Собственные колебания.
	2. Автоколебания.
	3. Вынужденные колебания.
	4. Периодические колебания.
	5. Параметрические колебания.
4	Какая из приведенных на рисунке плоских систем имеет две степени свободы?	30
5	Какие колебания называются собственными?
	1. Колебания, происходящие под действием на систему (в течение всего времени колебаний) заданных внешних возмущающих сил, которые периодически изменяются и действуют непрерывно независимо от колебаний в системе.	40
	2. Колебания, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы.
	3. Колебания, возникающие в изолированной системе в результате внешнего возмущения (толчков), которое вызывает в точках системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжаются потом благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
	4. Незатухающие колебания, возникающие в системе без внешнего периодического влияния и поддерживаемые такими внешними силами, характер влияния которых определяется самим колебательным процессом механической системы.
6	Какие колебания называются вынужденными?	40
	1. Колебания, происходящие под действием на систему (в течение всего времени колебаний) заданных внешних возмущающих сил, которые периодически изменяются и действуют непрерывно независимо от колебаний в системе.
	2. Колебания, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы.
	3. Колебания, возникающие в изолированной системе в результате внешнего возмущения (толчков), которое вызывает в точках системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжаются потом благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
	4. Незатухающие колебания, возникающие в системе без внешнего периодического влияния и поддерживаемые такими внешними силами, характер влияния которых определяется самим колебательным процессом механической системы.
7	Какие колебания называются параметрическими?	40
	1. Колебания, происходящие под действием на систему (в течение всего времени колебаний) заданных внешних возмущающих сил, которые периодически изменяются и действуют непрерывно независимо от колебаний в системе.
	2. Колебания, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы.
	3. Колебания, возникающие в изолированной системе в результате внешнего возмущения (толчков), которое вызывает в точках системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжаются потом благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
	4. Незатухающие колебания, возникающие в системе без внешнего периодического влияния и поддерживаемые такими внешними силами, характер влияния которых определяется самим колебательным процессом механической системы.
8	Какие колебания называются автоколебаниями?	40
	1. Колебания, происходящие под действием на систему (в течение всего времени колебаний) заданных внешних возмущающих сил, которые периодически изменяются и действуют непрерывно независимо от колебаний в системе.
	2. Колебания, в процессе которых периодически изменяются физические параметры системы.
	3. Колебания, возникающие в изолированной системе в результате внешнего возмущения (толчков), которое вызывает в точках системы начальные отклонения от положения равновесия, и продолжаются потом благодаря наличию внутренних упругих сил, восстанавливающих равновесие.
	4. Незатухающие колебания, возникающие в системе без внешнего периодического влияния и поддерживаемые такими внешними силами, характер влияния которых определяется самим колебательным процессом механической системы.
9	Где находится источник энергии для поддержания автоколебаний?	30
	1. Внутри системы.
	2. Вне системы.
	3. Отсутствует вообще.
10	Какие из этих колебаний не относятся к классификации колебаний в зависимости от вида деформации?	30
	1. Продольные колебания.
	2. Поперечные колебания.
	3. Вынужденные колебания.
	4. Крутильные колебания.
	5. Изгибно-крутильные колебания.
11	Частота каких колебаний должна совпадать с частотою возмущающей силы при резонансе?	30
	1. Вынужденных колебаний.
	2.Параметрических колебаний.
	3. Автоколебаний.
	4. Собственных колебаний.
12	Какое из дифференциальных уравнений описывает собственные колебания системы с одной степенью свободы?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
13	Какое из дифференциальных уравнений описывает собственные колебания системы с одной степенью свободы при учете сил внутреннего трения?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
14	Что называется жесткостью системы при колебаниях?	30
	1. Сила, которую необходимо приложить к системе, чтобы определить единичное перемещение.
	2. Перемещение, определяемое при приложении к системе единичной силы.
	3. Единичное перемещение, обусловленное величиной единичной силы.
	4. Единичная сила, которую необходимо приложить к системе при определении перемещения.
15	Определить частоту собственных колебаний приведенной на рисунке балки, представляющей собой двутавр №24 с моментом инерции см4. Материал балки – сталь з модулем упругости МПа. Коэффициент приведения массы .	480
16	Определить частоту собственных колебаний приведенной на рисунке пружины, нагруженной на свободном конце грузом весом Н. Материал пружины – сталь с модулем сдвига МПа. Диаметр витка пружины см. Пружина имеет 10 витков. Диаметр проволоки, из которой изготовлена пружина, мм.	600
17	Определить частоту собственных колебаний приведенной на рисунке фермы, элементы которой состоят из двух уголков №5 с площадью поперечного сечения для каждого см2. Материал фермы – сталь с модулем упругости МПа. Угол .	600
18	Определить частоту собственных колебаний рамы, приведенной на рисунке. Поперечное сечение стойки и ригеля рамы представляет собой двутавр №20 с моментом инерции см4. Материал балки – сталь с модулем упругости МПа.	600
19	Определить частоту собственных колебаний приведенной на рисунке балки, поперечное сечение которой представляет собой двутавр №30 с осевым моментом инерции см4. Балка изготовлена из стали с модулем упругости МПа. Коэффициент приведения массы .	600
20	Определить частоту собственных колебаний приведенного на рисунке стержня с площадью поперечного сечения см2. Материал балки – сталь с модулем упругости МПа.	480
21	Частота вынужденных колебаний балки, изображенной на рисунке, равняется . Частота собственных колебаний балки равняется . Какое из выражений необходимо использовать для определения коэффициента нарастания колебаний ?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
22	Частота вынужденных колебаний балки, изображенной на рисунке, равняется . Частота собственных колебаний балки равняется . Какое из выражений необходимо использовать для определения амплитуды вынужденных колебаний балки?	30
	1.
	2.
	3.
	4.
23	На балку круглого поперечного сечения диаметром 0,2м, нагруженную силой кН, действует возмущающая сила кН с частотой с-1. Модуль упругости материала балки МПа. Определить величину коэффициента динамичности .	600
24	Балка прямоугольного профиля (размеры поперечного сечения приведены на рисунке) нагружена силой кН и испытывает влияние возмущающей силы кН. Частота вынужденных колебаний равна с-1. Модуль упругости материала балки МПа. Определить амплитуду вынужденных колебаний (в мм).	600
25	Балка двутаврового профиля №22 с осевым моментом инерции см4 і осевым моментом сопротивления см3 нагружена на свободном конце постоянной силой кН и испытывает действие возмущающей силы кН. Частота вынужденных колебаний равна с-1. Определить максимальные нормальные напряжения в балке.	600
25	Какую величину определяют с помощью выражения?	30
	1. Динамический коэффициент.
	2. Амплитуду вынужденных колебаний.
	3. Амплитуду собственных колебаний.
	4. Коэффициент нарастания колебаний.
26	Какую величину определяют с помощью выражения?	30
	1. Динамический коэффициент.
	2. Амплитуду вынужденных колебаний.
	3. Амплитуду собственных колебаний.
	4. Коэффициент нарастания колебаний.

---