ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.11.2019
Просмотров: 2451
Скачиваний: 1
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
КИЇВСЬКА ДЕРЖАВНА АКАДЕМІЯ ВОДНОГО ТРАНСПОРТУ
Черінько Віктор Миколайович
Федотов Володимир Григорович
Клапченко Галина Михайлівна
Лабораторний практикум з фізики
Механіка, молекулярна фізика, термодинаміка
Київ-2005
Рецензент: д.ф.-м.н., проф. Фіалковський О.Т.
Рекомендовано до друку кафедрою природничих і технічних дисциплін,
протокол № 4 від 19. 04.2005 р.
Основні відомості про правила обробки
результатів вимірювання
Похибки вимірювання. Вимірюванням називається процес дослідного знаходження фізичної величини.
За формою виконання розрізняють прямі та непрямі вимірювання. Прямими називають вимірювання, в яких результат відлічують безпосередньо на шкалі приладу. Непрямими називають вимірювання, в яких результат вимірювання знаходиться за формулою наступного вигляду:
a = f(x1, x2, …xn),
де а - вимірювана величина, x1, x2, …xn – результати прямих вимірювань або табличні величини.
Наприклад, вимірювання довжини лінійкою
чи штангенциркулем, часу – секундоміром,
маси – зважуванням - це прямі вимірювання.
Вимірювання площі прямокутника шляхом
дослідного визначення його довжини і
ширини та розрахунку за формулою S
= l·h, швидкості руху
у відповідності з формулою v
= S/t,
густини тіла у відповідності з формулою
/V
– непрямі вимірювання.
Будь-які вимірювання дають нам лише наближені значення вимірюваної величини. Ступінь наближення виміряного значення величини до його істинного значення називається точністю вимірювання. Мірою неточності є похибка.
Абсолютною похибкою вимірювання величини називається різниця між її істинним значенням а і виміряним значенням авим і позначається так: Δа =а - авим. Абсолютна похибка Δ а може бути позитивною чи негативною і завжди має розмірність вимірюваної величини.
Точність вимірювання величин з різною розмірністю можна порівняти за величиною відносної похибки. Відносна похибка вимірювання визначається відношенням:
.
Для випадку прямого вимірювання
,
де Δа - абсолютна похибка, що визначається за формулою
Δа =
,
у якій
|
аi|
– модуль відхилення і-того
результату від середнього значення
< а > вимірюваної величини:
|
аi
| = |а
– аi
| .
Відносна похибка вимірюється у долях одиниці, або відсотках. В останньому випадку формула для неї має вигляд:
.
В теорії імовірності доводиться, що для більшості випадків на практиці найбільш близьким до істинного значення вимірюваної величини а є середнє арифметичне з n її вимірювань:
< а > =
.
Класифікація похибок вимірювання. Розрізняють три типи похибок:
-
систематичні;
-
випадкові;
-
промахи.
Систематичні похибки – це похибки, для яких в результаті детального аналізу умов вимірювання можна відшукати причину, що їх обумовила.
Випадкові похибки – похибки, для яких неможливо вказати причину через одночасну дію багатьох факторів.
Промахи - це похибки, причиною яких є неуважність експериментатора.
При першому знайомстві з похибками може скластися хибне уявлення про те, що більш складною задачею є визначення випадкових похибок, адже систематичні похибки здавалося завжди можна усунути або врахувати. Проте у загальному випадку це не так, оскільки існує безліч причин, що можуть їх викликати. Серед таких причин можуть бути і, наприклад, принципово нові або малодосліджені фізичні явища. Тому при розробці нових схем вимірювання найбільш складною задачею є задача усунення систематичних похибок. У рамках лабораторного практикуму з фізики для реалізації пропонуються такі схеми вимірювання, які є доволі безпечними щодо впливу систематичних похибок на результат.
Якщо всі систематичні похибки враховані, то потрібно подумати про зменшення випадкових похибок. Очевидним способом зменшення випадкових похибок є проведення кількох вимірювань однієї і тієї ж величини і прийняття за наближення до її істинного значення середнього арифметичного результатів цих вимірювань. Потрібно взяти за правило – жодна величина не повинна визначатись за результатом одного вимірювання. У більшості випадків в межах практикуму з фізики потрібно виконувати три вимірювання. Коли результати цих вимірювань сильно відрізняються, їх число потрібно збільшувати.
Обчислення похибок непрямих вимірювань. Формулу для обчислення відносної похибки непрямого вимірювання можна формально отримати так: взяти натуральний логарифм від обох частин рівняння вимірювання, а потім одержану рівність продиференціювати. Мінуси, які з’являться при логарифмуванні і диференціюванні, треба замінити на плюси з тим, щоб оцінити максимальну похибку. Після цього знак диференціалу d замінити на знак абсолютної похибки Δ. Таким чином отримаємо вираз для відносної похибки вимірювання. Абсолютну похибку вимірювання знайдемо з формули, що визначає відносну похибку, розв’язавши його відносно Δ а:
± Δа = ± εа.
Наприклад,
якщо
,
то згідно з правилами логарифмування
і диференціювання будемо мати:
lnx = lna – lnb , і далі 
, або
.
Абсолютні і відносні похибки найпростіших видів рівнянь вимірювання наведені в таблиці.
|
Рівняння вимірювання |
Абсолютна похибка |
Відносна похибка |
|
А + В |
ΔА + ΔВ |
(ΔА + ΔВ) / (А + В) |
|
А − В |
ΔА + ΔВ |
(ΔА + ΔВ) / | А − В| |
|
А·В |
А∙ΔВ + В∙ΔА |
ΔА / | А | + ΔВ / | В | |
|
А / В |
(А∙ΔВ + В∙ΔА) /В2 |
ΔА / | А | + ΔВ / | В | |
|
Аn |
n∙A (n-1)∙ΔA |
n∙ΔA / | А | |
|
|
A (1-n)/ n ΔA / n |
ΔA / (n∙| А | ) |
|
SinA |
| cosA |∙ΔA |
|ctgA|∙ΔA |
|
СosA |
| sinA |∙ΔA |
|tgA|∙ΔA |
Похибки приладів і табличних даних. На практиці іноді буває так, що результати кількох вимірювань не відрізняються один від одного. Це є ознакою того, що похибка приладу перевищує похибки окремих вимірювань (занадто грубий прилад). В цьому випадку похибка визначається за класом точності використаного приладу. Клас точності вказується на шкалі приладу. Чисельно він дорівнює відносній похибці вимірювання, вираженій у відсотках.
Коли вимірювання виконують приладом, який не має класу точності, тоді за величину приладової похибки приймають половину найменшої поділки шкали приладу. Наприклад, якщо ціна поділки термометра становить 0,20С, то абсолютну похибку слід брати рівною 0,10С; якщо найменша гирька, використана при зважуванні, 10мг, то абсолютну похибку слід взяти рівною 5мг.
Табличні значення фізичних величин (питома теплоємність, густина та ін.), а також деяких інших сталих (наприклад, π), які входять у формули, завжди задаються з тим чи іншим ступенем точності. Ці величини також впливають на точність результату. Точність табличних значень фізичних величин зазвичай вище точності величин, які вимірюються на лабораторних заняттях. Тому при використанні табличних величин їх можна брати з меншою порівняно з табличною точністю. Ці величини треба округлювати таким чином, щоб їх точність не перевищувала точності вимірювання. Абсолютну похибку табличної величини слід приймати рівною п’яти одиницям розряду, наступного за останньою (залишеною) значущою цифрою табличної величини.
Правила округлення і правила наближених обчислень. В кожній лабораторній роботі вимірюються різні величини і з різним степенем точності. Точність кожного з вимірювань впливає на точність результату. Тому перед вимірюванням фізичних величин необхідно встановити допустимі межі точності всіх приладів, що використовуються. Немає сенсу в окремих вимірюваннях виходити далеко за межі точності величини, яка вимірюється з найменшою точністю.
Нехай
при вимірюванні в деякій роботі
використовується термометр з найменшою
поділкою шкали 0,20С.
При визначенні різниці температур два
рази відраховувалися положення стовпчика
ртуті – на початку і наприкінці досліду,
тому абсолютна похибка температури
буде 0,20С.
При зміні температури на 100С
відносна похибка дорівнює
.
З якою точністю необхідно зважувати
тіла, якщо найменша маса в даному досліді
100г ?
Щоб
відповісти на це питання, необхідно
прийняти до уваги похибку вимірювання
температури. Оскільки відносна похибка
при вимірюванні температури була 0,02,
то відносна похибка і для маси повинна
бути близькою до цього значення:
,
тобто абсолютна похибка для маси Δm =
2г. Ця величина вказує на те, що при
зважуванні абсолютна похибка не повинна
перевищувати 2г. Необхідну точність
зважування можна досягнути на технічних
вагах.
Точність обчислень завжди повинна відповідати точності вимірювань. Зайва “точність” обчислень - не досконалість, а недолік в роботі. Наприклад, якщо середнє арифметичне значення товщини пластинки після розрахунку дорівнювало 2,2543мм при абсолютній похибці вимірювань 0,03мм, то при цьому показано лише вміння формально виконувати арифметичні дії з числами без розуміння теорії похибок вимірювання. Щоб не витрачати часу для досягнення надлишкової арифметичної точності, необхідно всі отримані величини перед підстановкою у формули округляти.
Округляючи наближене число, необхідно відкидати останні цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, менша 5, і додавати одиницю до попередньої цифри, якщо перша з цифр, що відкидаються, дорівнює або більше 5. При цьому говорять, що округлення зроблено з недостачею або з надлишком, дивлячись по тому, чи залишена остання цифра без зміни, чи збільшена на одиницю.
Щоб за числом, яке відображає результат вимірювання або обчислення, можна було судити про ступінь точності, умовимося писати це число так, щоб в ньому всі значущі цифри, крім останньої, були вірні.
Термін “значущі цифри” не слід змішувати з терміном “десяткові знаки” числа. Значущі цифри числа – це всі його цифри, крім нулів, що стоять попереду числа, і нулів, поставлених замість цифр, які були відкинуті при округленні. Десяткові знаки числа – це всі його цифри, розташовані праворуч від коми. Наприклад, число 25,002 має п’ять значущих цифр, а десяткових знаків – три; число 0,0034 має дві значущі цифри, але чотири десяткових знаки; число 2300 має чотири значущі цифри, а число 2,3 ·103 має дві значущих цифри (в останньому запису нулі вважаються поставленими при округленні числа).
Якщо обчислення проводяться з наближеними даними шляхом декількох дій, то в результатах проміжних дій треба зберігати на одну значущу цифру більше порівняно з точністю величин, які визначаються в даному досліді (тобто дві сумнівні цифри).
При всіх арифметичних діях над наближеними числами в кінцевому результаті необхідно зберігати стільки десяткових знаків, скільки їх мають наближені дані з найменшим числом десяткових знаків.
Як уже відмічалося, абсолютна похибка результату вказує межі вимірюваної або визначуваної (прямі вимірювання) величини, іншими словами, вона характеризує останню значущу цифру вимірюваної або визначуваної величини. Тому в абсолютній похибці слід обмежуватися однією значущою цифрою і лише при дуже точних наукових вимірюваннях - двома.
Загальні методичні вказівки до лабораторних робіт. Щоб заняття проходили успішно і мали користь для студентів, до них необхідно готуватися, використовуючи при цьому рекомендовану літературу: підручники з фізики і посібники з лабораторних робіт.
Для виконання лабораторних робіт студенти розподіляються на бригади по два студенти в кожній. Склад і номер бригади не змінюються до кінця семестру. Користуючись спеціальним графіком і списком лабораторних робіт, кожна бригада завчасно знайомиться з комплексом лабораторних робіт, які їй треба буде виконати протягом семестру, і з тією літературою, за якою можна готуватися до цих занять. Графік вивішується на видному місці в спеціальній вітрині лабораторії фізики. В першому стовпчику графіка по вертикалі вказуються номера бригад, а в першому рядку – номери занять. Під номерами занять вказані номери лабораторних робіт, під якими вони знаходяться в книзі і лабораторії. Напроти номера кожної бригади у горизонтальному рядку вказані номери робіт.
Таким чином, студент вже на вступному занятті, після розподілу на бригади, дізнається про строки і послідовність виконання лабораторних робіт протягом семестру. Таким чином, він має можливість підготуватися до наступного заняття.