Файл: FizikaMekhanika1.doc

Під гіроскопом звичайно розуміють масивне симетричне тіло, яке швидко обертається. В буквальному перекладі слово “гіроскоп” означає прилад для виявлення обертання.

На рис. 1 показана схема гіроскопа, який має три ступені свободи, тобто він може вільно повертатися навколо трьох осей X, Y, Z. Вільний поворот осі гіроскопа утворюють рамки А і Б.

Якщо центр мас гіроскопа збігається з точкою перетину всіх трьох осей, то гіроскоп називається врівноваженим, в протилежному випадку – важким або неврівноваженим.

Якщо одну із осей, наприклад, вісь Z, зробити нерухомою, то гіроскоп матиме два ступені свободи і називатиметься двоступеневим.

Розглянемо властивості трьохступеневого врівноваженого гіроскопа:

Його вісь симетрії намагається постійно зберігати в просторі наданий їй початковий напрямок.

Якщо ця вісь спочатку була спрямована на яку-небудь зірку у космосі, то за будь-яких обставин (зміщення основи приладу або випадкові поштовхи) гіроскоп буде продовжувати вказувати на цю зірку. Ця властивість гіроскопа є прикладом виконання законів збереження моменту імпульсу та збереження механічної енергії.

Дійсно, для вільного гіроскопа , і відповідно, = const. Звідси випливає, що довжина і напрямок вектора моменту імпульсу гіроскопа відносно осі обертання Z залишається незмінною. Це рівняння виражає закон збереження моменту імпульсу.

До закону збереження моменту імпульсу слід додати закон збереження механічної енергії:

З цього рівняння випливає, що кут між векторами і залишається постійним.

Для гіроскопа, який швидко обертається, наближено можна вважати, що

= J_Z (1)

де J_Z– момент інерції гіроскопа відносно власної осі обертання, ω - кутова швидкість власного обертання гіроскопа.

В цьому наближенні вектори і не відрізняються за напрямком, обидва вони спрямовані вздовж власної осі обертання.

Таким чином, власна вісь гіроскопа постійно зберігає свій початковий напрямок у світовому просторі.

Слід відмітити, якщо зовнішня сила діє на вісь гіроскопа протягом короткого проміжку часу, то приріст моменту імпульсу буде малим:

Δ = dt (2)

Отже, при короткочасних впливах навіть дуже великих сил рух вільного гіроскопа змінюється мало, тобто він нібито опирається усіляким спробам змінити величину і напрямок його моменту імпульсу. Усталеність осі обертання тим більша, чим більший момент імпульсу гіроскопа.

Під дією зовнішньої сили кінець осі гіроскопа буде відхилятися не в напрямку дії сили, а в напрямку, перпендикулярному до цієї сили.

Ця властивість виявляється, коли на його вісь тривалий час діє зовнішня сила, яка намагається повернути вісь гіроскопа навколо осі Y (рис. 2). Дійсно, за наявності моменту зовнішніх сил момент імпульсу гіроскопа отримає приріст за деякий час dt: = dt або (3)

В результаті вісь гіроскопа повернеться на деякий кут dφ (рис. 2) так, що

dL = L dφ (4)

Підставивши (4) в (3) та розділивши ліву і праву частини на dt, отримаємо:

(5)

де – кутова швидкість обертання вектору , а отже, і осі гіроскопа навколо осі Z. Цей додатковий рух гіроскопа називається вимушеною прецесією, а величина Ω – кутовою швидкістю прецесії.

Із рівняння (5) випливає, що кутова швидкість прецесії дорівнює

або (6)

Зверніть увагу!

Відносно наземних орієнтирів спостерігається поворот осі гіроскопа.

Швидкість повороту осі гіроскопа відносно наземних орієнтирів залежить від географічної широти місцезнаходження гіроскопа і напрямку його головної осі. Цей поворот осі є уявним, він виникає внаслідок обертання Землі навколо своєї осі.

На рис. 3 показана схема, яка пояснює принцип дії суднового гірокомпасу, встановленого на екваторі. Гіромотор з маховиком, що не обертається, перетворюється на фізичний маятник, який може коливатися навколо осі Y внутрішнього кільця карданного підвісу А (рис. 1).

На нерухомій відносно Землі основі плече l цього маятника силами тяжіння встановлюється вздовж вертикалі, перпендикулярно до нього вісь обертання маховика розташовується в горизонтальній площині (рис. 3).

Після запуску гіромотору починається “боротьба” між маятником і першою властивістю гіроскопа. Кожний з них прагне проявити свої якості: гіроскоп – зберегти положення осі незмінним в абсолютному просторі, маятник – встановити своє плече вздовж вертикалі, яка змінює своє положення через обертання Землі.

В результаті цієї “боротьби” плече маятника відхиляється гіроскопом від вертикалі, а на гіроскоп навколо осі внутрішнього кільця карданного підвісу діє момент М, створений відхиленням маятника. Під дією цього моменту гіроскоп прецесує, приводячи вісь обертання маховика в площину меридіана.

Приклад

Припустимо, що гірокомпас розташований на судні, яке спокійно стоїть біля причалу. Таке судно фактично являє собою “нерухому основу” відносно

Землі, тому вісь обертання маховика гірокомпаса віднайде напрямок

площини меридіана і залишиться в цій площині.

Та ось судно відходить у рейс. Воно може робити будь-які повороти (еволюції), але вісь обертання маховика гірокомпаса завжди залишиться спрямованою на “північ”.

Щоб визначити положення поздовжньої осі судна (кіля) відносно площини меридіана, в гірокомпасі, як і в магнітному компасі, може застосовуватись горизонтальний диск з поділками, закріплений на осі зовнішнього кільця карданного підвісу гірокомпасу (рис. 1).

Прилад на палубі встановлюють таким чином, щоб тонка риска (стрілка), нанесена на корпус приладу, була паралельною до поздовжньої осі (кіля) судна. Диск з поділками (шкала) стабілізується гіроскопом. Тому він не приймає участі в кутових рухах судна, його діаметр “північ-південь” завжди збігається з площиною меридіана, а діаметр “захід-схід” – з площиною паралелі. Відлік починається з відмітки “0”, що збігається з буквою “С”, і ведеться за годинниковою стрілкою.

Таким чином, якщо судно йде точно на “північ”, його поздовжня вісь, позначена тонкою рискою на корпусі приладу, є паралельною до осі обертання маховика і діаметра “північ-південь” шкали гіроскопа. Інакше кажучи, судно йде курсом “0”.

Якщо судно змінило курс і йде точно на “північний схід”, тонка риска, повернувшись разом із судном, стане напроти позначки 45 градусів шкали приладу – це є новий курс судна: 45 градусів.

В сучасних гіроскопах замість такої шкали застосовують електричні вимірювачі кутів розбіжностей між кілем судна і віссю обертання маховика – так звані обертальні трансформатори, які дозволяють передавати показання гіроскопа до різних споживачів (радіолокатора, радіопеленгатора тощо).

Для визначення уявного повороту головної осі гіроскопа, який викликаний обертанням Землі, можна використовувати пристрої, робота яких грунтується на другій властивості гіроскопу – прецесії.

Приклад. В гіроскопічному датчику курсу для усунення уявного повороту головної осі гіроскопа навколо вертикальної осі використовується азимутальний корегуючий пристрій.

До внутрішньої рамки гіроскопа відносно осі Y прикладають зовнішній момент такої величини і напрямку, щоб примусити гіроскоп прецесувати навколо вертикальної осі в напрямку обертання Землі з кутовою швидкістю уявного повороту головної осі гіроскопа в горизонтальній площині на даній географічній широті.

Зовнішній момент створюється зовнішньою силою, прикладеною до внутрішньої рамки гіроскопа, або спеціальним моментним електричним двигуном, поворот якого встановлено на осі внутрішньої рамки (рис. 5).

Корегуючий електродвигун (1), працюючи в гальмівному режимі, створить необхідний момент, прикладений до внутрішньої рамки гіроскопа. Величина цього моменту може регулюватися зміною напруги за допомогою потенціометра широтного балансування (2). Напрям живлення електродвигуна змінюється із зміною географічної широти місцезнаходження гіроскопа.

Для утримання головної осі гіроскопа нерухомою в площині горизонту використовують горизонтуючий пристрій.

Вказана компенсація здійснюється за допомогою горизонтальної корекції, яка може бути двох видів: маятникова і міжрамкова. Горизонтальна корекція контролює положення головної осі гіроскопа не відносно горизонту, а відносно площини зовнішньої рамки.

Сьогодні на транспортних та промислових суднах встановлюють гіроскопічну курсову систему “Вега” (рис. 4).

Вона має в своєму складі не тільки гіроскопічний пристрій, але й допоміжні прилади (пускач, перетворювач, прилад живлення, коректор-транслятор), а також прилади для розмноження його показань – розгалужену мережу, яка подає сигнали про курс судна різним споживачам.

Особливістю курсової системи “Вега” є пристрій виключення впливу маятника на гіроскоп, що дозволяє експлуатувати головний гіропристрій в

2 режимах – гірокомпаса та гіроазимута.

Якщо судно йде постійним курсом, а море є спокійним, то гіропристрій працює в режимі гірокомпаса. Якщо судно маневрує або море хвилюється, то гіропристрій переводять в режим зберігання напрямку (гіроазимута).

Помилка курсової системи “Вега” складає 0,8-1,5 град. залежно від умов плавання. Однак в багатьох випадках потрібні більш точні курсові системи, тому їх удосконалення продовжується.

Методика вимірювання і порядок виконання завдань

Підвісимо на головну вісь обертання гіроскопа тягар масою m₁. В цьому випадку рівняння (6) можна записати у вигляді:

Замінюючи в цьому рівнянні (вісь з тягарем за час t повертається на кут π/4), а , де l – відстань від центру тяжіння гіроскопа до точки прикладання сили (у всіх дослідах l=const), отримаємо

(7)

Зберігаючи швидкість обертання гіроскопа сталою, навантажимо вісь тягарем m₂. Момент сили тяжіння прийме нове значення, зміниться при цьому і швидкість прецесії. Рівняння (6) запишемо у вигляді

або

(8)

Аналогічно для тягаря m₃ отримаємо:

(9)

З рівнянь (7), (8) і (9) видно, що

(10)

Із рівності (10) можна визначити < C > - середнє арифметичне значення величини С.

Значення кутової швидкості власного обертання гіроскопа визначають із співвідношення

. (11)

Момент інерції гіроскопа в даній роботі можна розрахувати за формулою моменту інерції маховика масою m і радіусом R:

J = mR² /2 (12)

Тоді формулу (11) можна записати у вигляді

(13)

Значення l , m і R визначені на робочому місці.

Завдання 1

Ознайомитись з особливостями руху триступеневого гіроскопа:

Переконатися, що гіроскоп може обертатися навколо горизонтальної та вертикальної осей. Для цього, не вмикаючи двигун, покрутити ротор рукою за рамку Б ; потім переконатися в тому, що гіроскоп може обертатися разом з рамкою А навколо осі Z (рис. 1).
Переконатися, що гіроскоп врівноважений. У врівноваженому гіроскопі головній осі обертання можна надати будь-якого положення.
Зорієнтувати платформу, на якій закріплений гіроскоп, за магнітним компасом таким чином, щоб осьова лінія мала напрямок “північ-південь”.
Встановити вісь гіроскопа горизонтально в напрямку осьової лінії. Подати на перетворювач постійну напругу 24 В та зачекати

3-5 хвилин, щоб обертання гіроскопа встигло стабілізуватися.

Повертаючи платформу на невеликий кут вліво чи вправо, а потім, злегка похитуючи її вверх-вниз, переконатися, що положення осі гіроскопа не змінюється. В звіті дати цьому пояснення.
Злегка постукати по осі олівцем і переконатися, що вісь зберігає стале положення. В звіті дати цьому пояснення.
Олівцем злегка натиснути на рамку А спочатку з одного боку, а потім з іншого. Переконатися, що вісь при цьому опускається або піднімається. В звіті дати цьому пояснення.

Завдання 2

Визначити кутову швидкість власного обертання гіроскопа за його вимушеною прецесією:

Сумістити вісь гіроскопа з осьовою лінією платформи та встановити її горизонтально. Показчик на диску шкали показуватиме 90 градусів.
На визначеній відстані від центру тяжіння гіроскопа l (на осі це місце позначено рискою) підвісити тягар масою m₁ і одночасно ввімкнути секундомір.
Записати час повороту осі гіроскопа на 45 градусів за диском шкали.
Злегка натискаючи олівцем на вісь у напрямку, протилежному до напрямку дії сили тяжіння тягаря, повертайте вісь у вихідне положення.
Тричі проробити дії, описані у пунктах 2-4, для трьох різних тягарів. Маси тягарів визначені на робочому місці.
Обчислити кутову швидкість власного обертання гіроскопа за формулою (13). Заповнити таблицю результатів вимірювань і розрахунків.

Таблиця результатів вимірювань і розрахунків

№ серії	M, кг	Час повороту осі гіроскопа				<ω>, с^-1	Δ_t, с	Δ_ω, с^-1	ε_ω	Ј, кг·м²
№ серії	M, кг	t₁, с	t₂, с	t₃, с	<t>, с	<ω>, с^-1	Δ_t, с	Δ_ω, с^-1	ε_ω	Ј, кг·м²
1
2
3

Контрольні питання

Що називають динамічним гіроскопом?
Який гіроскоп називають триступеневим? Які властивості він має?
Сформулювати закон збереження моменту імпульсу і навести приклади його виконання.
Яке припущення лежить в основі наближеної теорії гіроскопа?
Як зміниться величина і напрямок кутової швидкості прецесії, якщо змінити напрямок обертання гіроскопа та збільшити його кутову швидкість?
Як впливає добове обертання Землі на показання суднового гірокомпаса?
Пояснити принцип дії азимутального корегуючого пристрою.
Яку роль відіграє горизонтуючий пристрій?
Які особливості має курсова система “Вега”?
Як в даній роботі визначається кутова швидкість власного обертання гіроскопа?

Лабораторна робота № 107

Визначення прискорення вільного падіння тіл

за допомогою маятника

Мета роботи: Визначити прискорення вільного падіння тіл за допомогою математичного маятника.

Теоретичні відомості

Згідно узагальненому закону Галілея [1], всі тіла в одному й тому ж полі тяжіння, падають з однаковим прискоренням. Отже, у заданому місці Землі прискорення вільного падіння однакове для всіх тіл. Воно змінюється поблизу поверхні Землі в межах від на екваторі до на полюсах. Це зумовлено добовим обертанням Землі навколо своєї осі, з одного боку, та сплющеністю Землі – з іншого. Якщо знехтувати добовим обертанням Землі навколо своєї осі, то:

(1)

сила тяжіння і сила гравітації рівні між собою:

де M - маса Землі; R – відстань між тілом та центром Землі. Ця формула дана для випадку, коли тіло знаходиться на поверхні Землі. З (1) випливає:

(2)

Якщо тіло розташовано на відстані h від поверхні Землі, тоді:

, (3)

де - радіус Землі.

Сила тяжіння не залежать від того, в якому середовищі взаємодіючі тіла знаходяться. Від сил тяжіння не можна екрануватися, вони існують всюди, в тому числі і в повітрі.

Тяжіння між тілами обумовлює існування поля тяжіння, або гравітаційного поля. Основною властивістю поля тяжіння є те, що на всяке тіло масою m, внесене в це поле, діє сила тяжіння:

. (4)

Вектор не залежить від m і зветься напруженістю поля тяжіння. Напруженість є силовою характеристикою поля тяжіння.

Поле тяжіння є потенціальним, а сили тяжіння – консервативними. Як відомо, це означає, що робота в полі тяжіння не залежить від траєкторії руху, а визначається лише початковим та кінцевим положеннями тіла.

Опис лабораторної установки і методика вимірювання

В даній роботі маятником служить стальна куля, підвішена на довгій стальній дротині до кронштейну, закріпленому на стіні. Довжина маятника дорівнює сумі довжин нитки і радіуса кулі R, тобто . Перед маятником розташовується щілина з візирною ниткою.

Ч ас коливання вимірюється секундоміром. Точність відліку секундоміра – 0,2с.

Якщо маятник вивести зі стану спокою, то з’являється сила, що намагається повернути його в стан, що відповідає мінімальній потенціальній енергії (положення “0”, рис.1). Сили і , що діють на кульку,

додаючись, утворюють рівнодіючу . Остання і є тією силою, яка спонукає кульку рухатися з прискоренням до положення рівноваги.

Період коливання математичного маятника T визначається формулою:

. (5)

З (5) прискорення вільного падіння визначається виразом:

. (6)

Прилади і обладнання: маятник; штангенциркуль; секундомір; щілина з візирною ниткою.

Порядок виконання роботи

Виміряти довжину нитки лінійкою, а радіус кульки – штангенциркулем.
Встановити перед маятником щілину з візирною ниткою так, щоб нитка маятника, знаходячись у стані спокою, зливалася в одну лінію при спостереженні крізь щілину.
Вивести маятник з положення рівноваги на відстань, що дорівнює

5 – 8 см і відпустити.

Якщо коливання відбуваються в одній площині, то, пропустивши декілька коливань, запустити секундомір тоді, коли маятник проходить положення рівноваги.
Відрахувати n=20 коливань і після того зупинити секундомір.
Визначити період коливань за формулою . Повторити вимірювання не менше трьох раз і записати одержані результати в таблицю 1.
За формулою (6) розрахувати прискорення вільного падіння.