ТЕМА 1. Классическая формула вычисления вероятности.

Основные определения и формулы:

Эксперимент, исход которого невозможно предсказать, называют случайным экспериментом (СЭ).

Событие, которое в данном СЭ может произойти, а может и не произойти, называют случайным событием.

Элементарными исходами называют события, удовлетворяющие требованиям:

1. при всякой реализации СЭ происходит один и только один элементарный исход;

2. всякое событие есть некоторая комбинация, некоторый набор элементарных исходов.

Множество всех возможных элементарных исходов полностью описывает СЭ. Такое множество принято называть пространством элементарных исходов (ПЭИ). Выбор ПЭИ для описания данного СЭ неоднозначен и зависит от решаемой задачи.

Если элементарные исходы СЭ обладают свойством равновозможности (в силу определенной “симметрии” условий), то вероятность Р(А) любого события А определяется формулой:

Р(А) = n(A) / n ,

где n – общее число равновозможных исходов,

n(A) – число исходов, составляющих событие А, как говорят еще, благоприятствующих событию А.

Слова “наудачу”, “наугад”, “случайным образом” как раз и гарантируют равновозможность элементарных исходов.

Решение типовых примеров

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных, 3 черных и 2 белых шара, наудачу извлекают 3 шара. Найти вероятности событий:

А – “все извлеченные шары красные”;

В – “ все извлеченные шары – одного цвета”;

С – “среди извлеченных ровно 2 черных”.

Решение :

Элементарным исходом данного СЭ является тройка (неупорядоченная !) шаров. Поэтому, общее число исходов есть число сочетаний: n == 120 (10 = 5 + 3 + 2).

Событие А состоит только из тех троек, которые извлекались из пяти красных шаров, т.е. n(A)== 10.

Событию В кроме 10 красных троек благоприятствуют еще и черные тройки, число которых равно = 1. Поэтому: n(B)=10+1=11.

Событию С благоприятствуют те тройки шаров, которые содержат 2 черных и один не черный. Каждый способ выбора двух черных шаров может комбинироваться с выбором одного не черного (из семи). Поэтому: n(C) = = 3 * 7 = 21.

Итак: Р(А) = 10/120; Р(В) = 11/120; Р(С) = 21/120.

Пример 2. В условиях предыдущей задачи будем считать, что шары каждого цвета имеют свою нумерацию, начиная с 1. Найти вероятности событий:

D – “максимальный извлеченный номер равен 4”;

Е – “ максимальный извлеченный номер равен 3”.

Решение :

Для вычисления n(D) можно считать, что в урне есть один шар с номером 4, один шар с большим номером и 8 шаров (3к+3ч+2б) с меньшими номерами. Событию D благоприятствуют те тройки шаров, которые обязательно содержат шар с номером 4 и 2 шара с меньшими номерами. Поэтому: n(D) =

P(D) = 28/120.

Для вычисления n(Е) считаем: в урне два шара с номером 3, два с большими номерами и шесть шаров с меньшими номерами (2к+2ч+2б). Событие Е состоит из троек двух типов:

1. один шар с номером 3 и два с меньшими номерами;

2. два шара с номером 3 и один с меньшим номером.

---

Поэтому: n(E)=

Р(Е) = 36/120.

Пример 3. Каждая из М различных частиц бросается наудачу в одну из N ячеек. Найти вероятности событий:

А – все частицы попали во вторую ячейку;

В – все частицы попали в одну ячейку;

С – каждая ячейка содержит не более одной частицы (M  N);

D – все ячейки заняты (M=N+1);

Е – вторая ячейка содержит ровно к частиц.

Решение :

Для каждой частицы имеется N способов попасть в ту или иную ячейку. По основному принципу комбинаторики для М частиц имеем N*N*N*…*N (М-раз). Итак, общее число исходов в данном СЭ n = N^M.

Для каждой частицы имеем одну возможность попасть во вторую ячейку, поэтому n(A) = 1*1*…*1= 1^М = 1, и Р(А) = 1/ N^M.

Попасть в одну ячейку (всем частицам) означает попасть всем в первую, или всем во вторую, или и т.д. всем в N-ю. Но каждый из этих N вариантов может осуществиться одним способом. Поэтому n(B)=1+1+…+1(N-раз)=N и Р(В)=N/N^M.

Событие С означает, что у каждой частицы число способов размещения на единицу меньше, чем у предыдущей частицы, а первая может попасть в любую из N ячеек. Поэтому:

n (C) = N*(N-1)*…*(N+M-1) и Р(С) =

В частном случае при M=N : Р(С)=

Событие D означает, что одна из ячеек содержит две частицы, а каждая из (N-1) оставшихся ячеек содержит по одной частице. Чтобы найти n(D) рассуждаем так: выберем ячейку в которой будет две частицы, это можно сделать =N способами; затем выберем две частицы для этой ячейки, для этого существует способов. После этого оставшиеся (N-1) частиц распределим по одной в оставшиеся (N-1) ячеек, для этого имеется (N-1)! способов.

Итак, n(D) =

.

Число n(E) можно подсчитать так: к частиц для второй ячейки можно способами, оставшиеся (М – К) частиц распределяются произвольным образом по (N-1) ячейке (N-1)^М-К способами. Поэтому :

ТЕМА 2. Геометрическая вероятность.

Основные определения и формулы:

Пусть СЭ можно представить себе как бросание точки наудачу в некоторую геометрическую область G (на прямой, плоскости или пространстве). Элементарные исходы – это отдельные точки G, любое событие – это подмножество этой области, ПЭИ = G. Если СЭ обладает симметрией возможных исходов, то все точки G “равноправны” и естественно считать, что вероятность попадания точки в некоторое подмножество пропорционально его мере и не зависит от его расположения и формы. Для такого СЭ геометрическая вероятность события А определяется отношением:

Р(А) = m(A) / m(G),

Где m(G), m(A) – геометрические меры (длины, площади или объемы) всего ПЭИ и события А.

Решение типовых примеров:

Пример 1: на плоскость, разграфленную параллельными полосами шириной 2d, расстояние между осевыми линиями которых равно 2D, наудачу брошен круг радиуса r (r + d <D). Найти вероятность того, что круг пересечет некоторую полосу.

Решение :

В качестве элементарного исхода этого СЭ будем считать расстояние x от центра круга до осевой линии ближайшей к кругу полосы. Тогда все ПЭИ – это отрезок G = {x: 0xD}. Пересечение круга с полосой произойдет в том случае, если его центр попадет в полосу, т.е. 0xd, или будет находится от края полосы на расстоянии меньшем чем радиус, т.е. dxd+r.

---

Для искомой вероятности получаем:

Р(А) = (d + r) / D.

Пример 2. По радиоканалу в течение промежутка времени (0;Т) передаются два сигнала длительностью Т₁<Т/2; каждый из них с одинаковой возможностью начинается в любой момент интервала (0;Т-Т₁). Если сигналы перекроют друг друга хотя бы частично, оба они искажаются. Найти вероятность принятия сигналов без искажений.

Решение :

Обозначим через х момент начала первого сигнала, у – второго. Все ПЭИ можно представить в виде квадрата:

G = {(x,y): 0<x<T-T₁, 0<x<T-T₁}.

Сигналы не п0ерекроются, если длительность Т₁ меньше, чем время между началами сигналов, т.е. интересующее нас событие:

А = “сигналы не искажены”= {(x,y): |x – y|>T₁}.

Это множество состоит из двух одинаковых равнобедренных треугольников в углах квадрата G, катеты которых равны Т – 2Т₁. Поэтому вероятность равна:

Р(А) = (Т – 2Т₁)² / (Т – Т₁)²

ТЕМА 3. Теоремы сложения и умножения.

Основные определения и формулы:

Сумма событий А и В есть событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А или В.

Произведение событий А и В есть событие А*В, состоящее в совместном наступлении обоих событий А и В.

События называются несовместными, если их совместное наступление невозможно.

П ротивоположное событие для события А есть событие А, состоящее в ненаступлении события А. События А и А – несовместны, а их сумма совпадает с ПЭИ.

Некоторые свойства:

Вероятность события А, вычисленная в предположении, что событие В произошло, называется условной вероятностью Р(А/В).

События А и В называются независимыми, если Р(А/В) = Р(А) (или Р(В/А) = Р(В)).

Теорема умножения 1.(ТУ1): Р(АВ) = Р(А)*Р(В/А) = Р(В)*Р(А/В).

ТУ 2.: вероятность совместного наступления независимых событий равна произведению их вероятностей.

Теорема сложения 1.(ТС1): вероятность суммы попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей.

ТС 2.: Р(А) = 1 – Р(А).

ТС 3.: Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ).

Решение типовых примеров :

Пример 1. Из урны, содержащей 5 красных и 7 белых шаров, наудачу извлекают по одному два шара. Найти вероятности событий :

В – извлеченные шары – белые;

С – только первый извлеченный шар – белый;

D – только один извлеченный шар – белый.

Рассмотреть два случая: а) извлечения без возвращения; б) извлечения с возвращением.

Решение :

Обозначим : А_к – к-й извлеченный шар – белый, к = 1 .. 2. Тогда

а) если 1^й шар не возвращают в урну, то вероятности событий, связанных со вторым извлечением зависят от исхода первого, т.е. А₁ и А₂ – зависимые события и поэтому:

.

Условную вероятность нашли, рассуждая так: после того, как событие А₁ произошло, т.е. первый извлеченный шар был белый, второе извлечение осуществляется из урны, содержащей 5 красных и 6 белых (7 – 1 = 6) шаров. Поэтому Р(А₂ /А₁) = 6 /11.

Аналогично .

Слагаемые в записи события D являются несовместными, поэтому:

.

б) в случае возвращения извлеченного шара извлечения становятся независимыми испытаниями, а значит и события, связанные с ними – независимые, причем Р(А₁) = Р(А₂) = 7/12. Поэтому:

---

Р(В) = (7 / 12)²; Р(С) = ; Р(D) = .

Пример 2. Из колоды карт (36 карт, 4 масти) извлекают наудачу сразу 3 карты. Найти вероятности событий :

А – среди извлеченных карт есть 2 бубны или 2 туза;

В – извлечена хотя бы одна дома.

Решение :

Событие А – это сумма событий : А₁ – среди извлеченных карт есть 2 бубны, А₂ – среди извлеченных карт есть 2 туза. Эти события – совместные и их произведение А₁*А₂ – среди извлеченных карт есть 2 бубны и 2 туза – может осуществиться только так : среди извлеченных карт есть туз бубновый, еще один туз из трех “не бубновых” и еще одна бубна из восьми “нетузов”. Поэтому n(A₁A₂) = .

Применяя ТС3 и классическую формулу вычисления вероятности, находим :

Р(А) = Р(А₁) + Р(А₂) – Р(А₁А₂) = =

= .

Чтобы найти Р(В), перейдем к противоположному событию : – среди извлеченных нет дам, т.е. все “не дамы” :

Пример 3. Вероятность попадания в цель в каждом из n независимых выстрелов равна р. выразить через n и р вероятность Р хотя бы одного попадания в n выстрелах.

1. Найти Р для n = 3, р = 0,7 ;

2. Пусть р = 0,6. Сколько выстрелов нужно сделать, чтобы с вероятностью не меньшей 0,97 попасть хотя бы один раз?

3. Пусть n = 5. Какова должна быть вероятность попадания р в каждом выстреле, что бы с вероятностью не меньшей 0,95 попасть хотя бы один раз?

Решение :

Обозначим через А_к – “попадание” и – “промах” при к-ом выстреле. Тогда для события В – хотя бы одно попадание в n выстрелах, можно записать:

Применяя ТС1 и ТУ2, получим:

Р(В) = 1 – Р(В) = 1 – Р(А₁)* Р(А₂)* … * Р(А_n) = 1 – (1 – Р(А₁))ⁿ

Итак, Р = 1 – (1 – р)ⁿ.

1. вероятность хотя бы одного попадания в 3^х выстрелах (при условии, что при каждом выстреле вероятность попадания равна 0,7):

Р = 1 – (1 – 0,7)³ = 0,973

2. нахождение требуемого числа выстрелов n сводится к решению неравенства :

0,97  1 – (1 – 0,6)ⁿ или 0,4ⁿ 0,03.

Отсюда получаем для n :

n  lg 0,03 / lg 0,4 = 3,83

Итак, необходимо сделать не менее 4^х выстрелов.

3. искомая вероятность р удовлетворяет неравенству:

1 – (1 – р)⁵ 0,95 или (1 – р) 

Отсюда получаем: р  0,451.

Пример 4. Первый стрелок попадает в цель с вероятностью р₁, а второй – р₂. Найти вероятности событий :

В – попал только первый стрелок;

С – попал только один стрелок;

D – попал хотя бы один стрелок.

если каждый сделал по одному выстрелу.

Решение :

Обозначим через A_i – попадание, – промах i-го стрелка, i = 1 .. 2. “Попал только первый” подразумевает, что второй промахнулся, т.е. “Попадание только одного” есть сумма двух слагаемых : “попал только первый” и “попал только второй”, т.е. Для события D можно написать различные представления:

D = A₁ + A₂ (слагаемые совместные);

D = C + A₁A₂ (слагаемые несовместные);

D = “не попал ни один” =

Теоремы сложения и умножения позволяют найти требуемые вероятности :

Р(В) = р₁*(1 – р₂);

Р(С) = р₁*(1 – р₂) + р₂*(1 – р₁);

Пример 5. Независимые события производятся до тех пор, пока не произойдет событие А, причем: вероятность появления А в каждом испытании одна и та же и равна р. найти вероятности событий :

---

В – опыт закончится на третьем испытании;

С – потребуется нечетное число испытаний;

D – потребуется не менее трех испытаний.

Решение :

Обозначим через А_к – появление и – непоявление события А в к-ом испытании, к = 1, 2, … . По условию Р(А_к) = р, . Окончание опыта на третьем испытании означает, что в первых двух испытаниях событие А не происходило, а в третьем – произошло, т.е. В = А₁*А₂*А₃.

В общем случае, если B_n – опыт закончится на п-ом испытании, - то можно записать:

В = А₁*А₂* … *А_{n – 1}*A_n и C = .

Для события D можно записать аналогичное равенство:

D = .

Можно также рассмотреть – менее трех испытаний, т.е. “два испытания или одно”: D = Но лучше рассуждать так: потребуется три и более испытаний только тогда, когда в первых двух событие А не произошло, т.е. D =

Используя теоремы сложения и умножения, получаем:

Р(В) = q²*p ; P(D) = q² ;

P(C) =

ТЕМА 4. Формулы полной вероятности и Байеса.

Основные определения и формулы :

Пусть событие А может произойти только совместно с одним из попарно несовместных событий Н₁, Н₂, … , Н_n (это имеет место, например, для полной группы событий Н_к, к = 1.. n). Тогда:

Р(А) = Р(А/Н_к). (формула полной вероятности).

Если при этом Р(А)  0, то

Р(Н_m/А) = , m = 1 .. n . (формула Байеса).

Выбор подходящих гипотез Н₁, Н₂, … , Н_n зависит от того, можем ли мы достаточно просто вычислить условные вероятности Р(А/Н_к).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Из урны, содержащей 10 черных и 5 белых шаров, извлекают один и, выяснив его цвет, добавляют в урну к шаров противоположного цвета. Чему равно к, если вероятность извлечь после этого белый шар равна 0,5?

Решение :

Обозначим через А событие, состоящее в том, что шар, извлеченный из урны после изменения её состава, имеет белый цвет. Это событие тесно связано с двумя гипотезами относительно цвета первого извлеченного шара:

Н₁ – шар, первоначально извлеченный из урны – черный;

Н₂ – шар, первоначально извлеченный из урны – белый;

Вероятности этих гипотез: Р(Н₁) = 10/15 ; Р(Н₂) = 5/15.

Осуществление гипотезы Н₁, означает, что второй шар извлекают из урны, содержащей 9 (=10–1) черных и 5+к белых шаров, а появление события Н₂ приведет к такому составу: 4 (=5–1) белых шара и 10+к черных. Поэтому, условные вероятности:

Р(А/Н₁) = (5+к) / (14+к) ; Р(А/Н₂) = 5 / (14+к).

Формула полной вероятности:

Р(А) = .

По условию эта вероятность равна 0,5.

Отсюда находим к:

к = 14.

Пример 2. Вероятность попадания в цель при каждом выстреле равна 0,8. Вероятность поражения цели при к попаданиях равна 1 – 0,3^к. Найти вероятность поражения цели, если сделано 2 выстрела.

Решение :

Интересующее нас событие А – цель поражена – может произойти только совместно с одним из событий:

Н₁ – одно попадание в 2^х выстрелах;

Н₂ – два попадания.

Если В_к – попадание в к-ом выстреле, то

Р(Н₂) = Р(В₁В₂) = 0,8*0,8 = 0,64.

Найдем условные вероятности:

Р(А/Н₁) = 1 – 0,3¹ = 0,7 ; Р(А/Н₂) = 1 – 0,3² = 0,91.

Полная вероятность события равна:

---

Смотрите также файлы

• Инновационный мкенеджмент.doc

• 2011ЭВарМУ Стратан ФН-07заоч.doc

• Микроэкономика 1часть.doc

• Документ Microsoft Word.doc

• Документ Microsoft Office Word.docx