Решение :

Рассмотрим вспомогательные СВ Х_к – число появлений А в к-ом испытании, к = 1 .. п (это так называемые индикаторы события А). Каждая такая СВ принимает значение 1 с вероятностью р_к и значение 0 с вероятностью 1 - р_к = q_k. Ее числовые характеристики:

М(Х_к) = 0*q_k + 1*p_k = p_k;

D(X_k) = (0 – p_,k)²q_k + (1 – p_k)²p_k = p_kq_k, kl = 1 .. n ;

Отметим, что в силу независимости испытаний, эти величины –независимы.

Число Х – появлений события А в к испытаниях есть не что иное, как сумма чисел появлений в каждом испытании, т.е.

Х = Х₁ + Х₂ + … + Х_п.

Используя свойства математического ожидания и дисперсии, получаем:

ТЕМА 8. Непрерывная случайная величина.

Основные определения и формулы :

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если ее функция распределения F(x) непрерывна при любом х и имеет производную F’(x) везде, кроме, может быть, конечного числа точек.

Плотностью распределения НСВ Х называется производная ее функции распределения: f (x) = F’(x).

Свойства плотности НСВ Х:

1. f (x)  0;

2. 

3. 

4. P(x < X < x+x)  f (x)x ;

5. Если P(a < X < b) = 1, то f (x) = 0 вне [a; b].

Для НСВ вводятся те же числовые характеристики, что и для ДСВ. В формулах для их вычисления суммы заменяются интегралами, например:

М(Х) =

причем, требуется, чтобы написанный несобственный интеграл сходился абсолютно.

Для НСВ Х вводится еще одна характеристика – медиана Ме(Х) – следующим равенством:

Р(Х < Me(X)) = P(X > Me(X)).

Решение типовых примеров :

Пример 1. НСВ Х задана плотностью распределения:

f (x) =

Найти: а) параметр к; б) функцию распределения; в) числовые характеристики; г) вероятность Р(|Х – М(х)| <  (х)); д) вероятность того, что в 10 независимых наблюдениях СВ Х ровно 7 раз примет положительные значения.

Решение :

а) Неизвестный параметр плотности обычно находят, используя одно из ее свойств:

б) Связь между плотностью и функцией распределения устанавливается с использованием еще одного свойства плотности:

Для нашей задачи имеем:

Итак, получили:

Значения 0 и 1 для F(x) вытекают из общих ее свойств:

Если СВ Х принимает значения только на промежутке [а; b] ,то левее а F(x) = 0 и правее b F(x) = 1.

в) находим числовые характеристики:

7) Мода для НСВ – это точка максимума плотности распределения. В нашей задаче такой точки нет, а есть, напротив, точка минимума: х = 0. Такое распределение называют антимодальным.

8) Медиана  формально находится из равенства:

Геометрически медиана – это точка, в которой площадь под плотностью делится пополам. Т.к. наше распределение симметрично относительно х = 0, то медиана  = 0. Кстати, равенство М(х) = 0 также следует из этой симметрии.

д) Каждое из 10 наблюдений СВ Х – это испытание, в котором может появиться событие А = {x > 0}. Вероятность этого события:

Тогда искомая вероятность семи положительных значений в 10 наблюдениях есть:

Пример 2. На окружности радиуса R с центром в начале координат наудачу выбирается точка. Ее абсцисса – некоторая НСВ Х. Найти М(Х²).

---

Решение :

Точка выбирается на окружности наудачу, т.е. можно считать, что полярный угол U этой точки есть НСВ, равномерно распределенная на промежутке [0, 2]. Ее плотность распределения:

Точка имеет полярные координаты (R; U), поэтому ее абсцисса x = R cos(U). Итак, требуется найти М(R²cos²U). Используем следующее свойство математического ожидания: если НСВ U имеет плотность распределения f (x), а g(x) – некоторая функция, то:

В нашем случае имеем:

ТЕМА 9. Нормальное распределение.

Основные определения и формулы:

Говорят, что НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами т и , если ее плотность имеет вид:

Основные числовые характеристики: М(Х) = m, D(X) = ². Вероятность того, что такая СВ примет значение в некотором интервале, выражается через функцию Лапласа:

Для интервала, симметричного относительно т:

Если в последней формуле положить а = 3, то получим:

Отсюда следует так называемое “правило 3^х сигма”:

нормально распределенная с параметрами т и  случайная величина практически всегда принимает значения из промежутка (т – 3 ; т + 3).

Решение типовых примеров:

Пример 1. Дозатор-автомат фасует сахар в мешки по 50 кг. Неизбежные случайные ошибки в работе дозатора приводят к тому, что масса наудачу взятого мешка есть СВ Х, имеющая нормальное распределение со средним значением т = 50 кг. известно, что 1,5% мешков имеют массу, превышающую 51 кг. а) Каков % мешков, масса которых меньше 49,5 кг.? б) Какова вероятность того, что среди 7 наудачу выбранных мешков ровно 1 будет иметь массу меньше 49,5 кг.?

Решение :

Рассмотрим событие А={X > 51}. По условию задачи Р(А) = 0,015. С другой стороны:

Сравнивая, получим (1/)=0,475. Из таблицы значений функции Лапласа находим, что значение 0,475 она принимает в точке 2,17. Отсюда получаем:

Таким образом, 14% всех мешков имеют массу меньше 49,5 кг.

Находя значения функции Лапласа, мы пользовались ее свойствами: 1) нечетность; 2)стремление к 05 при неограниченном возрастании аргумента.

б) выбор мешка – это испытание, в котором может произойти событие A={X < 49,5}, причем р = Р(А) = 0,14. Используем формулу Бернулли:

Пример 2. Имеется случайная величина Х, подчиненная нормальному закону с параметрами т и . Требуется приближенно заменить нормальный закон равномерным в интервале (a; b), причем, его границы подобрать так, чтобы сохранить неизменными основные числовые характеристики СВ Х: математическое ожидание т и дисперсию ².

Решение :

Известно, что, если НСВ Х имеет равномерное распределение на (a; b), то ее характеристики есть:

Требование задачи состоит в следующем:

Решая эту систему, получим:

Пример 3. Случайная величина Х имеет нормальное распределение с математическим ожиданием т = 0. Найти значение среднего квадратичного отклонения , при котором вероятность попадания СВ Х в данный интервал (a; b), a > 0, достигает максимума.

Решение :

Выразим вероятность попадания в интервал через функцию Лапласа:

---

Чтобы исследовать на максимум, требуется найти производную и приравнять ее к нулю. Вспоминая правило дифференцирования определенного интеграла по верхнему пределу и правило дифференцирования сложной функции, получим:

Равенство этой производной нулю означает, что

Или

Отсюда имеем выражение для критической точки:

Выясним характер этой точки. Вероятность P(a < X < b) как функция  положительна и определена на (0; +), причем, при стремлении  к каждому из концов этого интервала, эта вероятность стремится к 0 (следствие непрерывности функции Лапласа). Значит, найденная критическая точка может быть только точкой максимума.

ТЕМА 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Если результат СЭ описывается двумя случайными величинами X и Y, то принято говорить о 2-мерной СВ или о системе СВ (Х₀Y). Ее интерпретируют как случайную точку с координатами (X; Y) по плоскости хОу или как случайный радиус-вектор такой точки.

Совместной функцией распределения системы (Х, Y) называют функцию F(x; y) двух переменных, определяемую равенством:

F(x; y) = P{(X < x)*(Y < y)}.

Геометрически F(x; y) представляет собой вероятность попадания случайной точки (х; у) в бесконечный квадрат с вершиной (х; у), лежащий левее и ниже ее.

Пусть ДСВ Х и Y принимают значения х₁, х₂, … и у₁, у₂, … соответственно. Тогда совместный закон распределения можно задавать матрицей (Р_ij), элементы которой р_ij=P{(X = x_i)(Y = y_j)}, удовлетворяют очевидному условию: .

Суммируя вероятности р_ij по строкам, получим ряд распределения СВ Х, а суммируя их по столбцам – СВ Y.

Пусть т₁ и т₂ – математические ожидания, ₁ и ₂ – средние квадратичные отклонения случайных величин Х и Y соответственно. Коэффициентом корреляции системы (X; Y)называют число:

Свойства коэффициента корреляции:

1. –1  r  1;

2. если X и Y – независимы, то r = 0;

3. если Y = aX + b, где a и b - неслучайны, то r = 1 (знак “+” соответствует а > 0, знак “–” соответствует а < 0).

Решение типовых примеров :

Пример 1. Из колоды карт наудачу извлекают по одной с возвращением 2 карты. Х – число карт черного цвета, Y – число карт пиковой масти среди извлеченных. Найти совместный закон распределения (X, Y) и коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения величин X и Y – это 0, 1, 2. Обозначим р_ij = P{(X=i)(Y=j)}, i, j =0, 1, 2. Так как карта пиковой масти черная, то р₀₁ = р₀₂ = р₁₂ = 0. Найдем остальные вероятности, используя теоремы сложения и умножения.

р₀₀ = Р(X=0, Y=0) = P(обе карты красные) = ½ * ½.

р₁₀ = Р(X=1, Y=0) = P(только одна черная, но не пика) = P(одна трефа и одна красная) = ¼ *½ + ½ *¼.

р₁₁ = Р(X=1, Y=1) = P(одна пика и одна красная) = 2*¼* ½.

р₂₀ = P(обе черные, но не пики) = ¼*¼.

р₂₁ = P(одна пика и одна трефа) = 2*¼*¼.

р₂₂ = P(обе пики) = ¼*¼.

Итак, совместный закон распределения имеет вид:

Х	Y	0	1	2
0		0.25	0	0
1		0.25	0.25	0
2		0.0625	0.125	0.0625

Суммируя вероятности по строкам и столбцам, находим законы распределения Х и Y:

---

Х	0	1	2		Y	0	1	2
р	0,25	0,5	0,25		p	0,5625	0,375	0,0625

Анализируя условия СЭ, приходим к выводу, что СВ Х и Y имеют биномиальные распределения с параметрами: п = 2, р₁ = 0,5 (для Х) и р₂ = 0,25 (для Y). Поэтому их основные числовые характеристики можно найти, не прибегая к выписанным выше законам распределения:

m₁ = M(X) = np₁ = 1 ; m₂ = M(Y) = np₂ = 0,5 ;

Далее находим М(XY):

M(X,Y) = = 0*0*0,25 + 0*1*0 + 0*2*0 + 1*0*0,25 + 1*1*0,25 + + 1*2*0 + 2*0*0,0625 + 2*1*0,125 + 2*2*0,0625 = 0,75.

Теперь можно найти коэффициент корреляции:

Пример 2. Производятся три независимых выстрела по мишени, причем вероятность попадания при каждом выстреле равна р. Х – число попаданий, Y – число промахов. Найти закон распределения системы (X, Y) и вычислить коэффициент корреляции.

Решение :

Возможные значения случайных величин Х и Y – это 0, 1, 2, 3. Очевидно, что p_ij = P{(X=i)(Y=j)} = 0, если i + j  3, i,j = 0, 1, 2, 3. Остальные вероятности находим по формуле Бернулли (n = 3, p = P(попадания)):

р₀₃ = Р(Х=0; Y=3) = Р₃(0)=(1–р)³;

р₁₂ = Р₃(1) =

р₂₁ = Р₃(2) =

р₃₀ = Р₃(3) = р³.

Чтобы найти коэффициент корреляции, обратим внимание на то, что Х и Y связаны линейной функциональной зависимостью Y =3 – X. Поэтому r = -1.

ТЕМА 11. 2- мерная непрерывная случайная величина.

Основные определения и формулы:

Совместная функция распределения F(x, y) =P{(X < x)(Y < y)} 2-мерной СВ (X, Y), обладает следующими свойствами:

1. F(-, -) = F(-, y)=F(x, -)=0; F(+, +)=1;

2. F(x, +) = F₁(x) – функция распределения СВ Х;

3. F(+, y) = F₂(y) – функция распределения СВ Y.

4. F(x, y) – неубывающая функция по каждому из аргументов.

В случае, если Х и Y непрерывные СВ, совместный закон распределения можно задавать совместной плотностью f(x,y) системы (Х, Y):

Плотность обладает следующими свойствами:

5) вероятность попадания случайной точки (X, Y) в произвольную область D выражается формулой:

Отношения f(x,y)/f₂(y) = f₁(x/y) и f(x,y)/f₁(x) = f₂(y/x) называются условными плотностями случайных величин Х и Y соответственно.

Две СВ Х и Y называются независимыми если f₁(x/y) = f₁(x) или f₂(y/х) = f₂(y).

Если Х и Y независимы, то совместная плотность системы (X, Y) равна произведению плотностей Х и Y:

f(x,y) = f₁(x)* f₂(y).

Корреляционным моментом двух СВ Х и Y называют величину:

K=M(XY) – M(X)M(Y).

Если Х и Y – непрерывны и f(x,y) – их совместная плотность, то:

Коэффициентом корреляции двух СВ Х и Y называют безразмерную величину r:

Решение типовых примеров :

Пример 1. Система СВ (X,Y) задана совместной плотностью:

Найти: а) параметр А; б) совместную функцию распределения F(x,y); в)одномерные функции f₁(x), f₂(y), F₁(x), F₂(y); г) условные плотности f₁(x/у) и f₂(у/x); д) корреляционный момент.

Решение :

а) параметр А находим, используя свойство 2):

б) функция распределения F(x,y) отлична от 0 только в первом квадрате, причем (свойство 3)):

в) используя свойство 4), находим плотности СВ Х и Y:

(здесь использовалось известное соотношение х = о(е^х) при х+).

Для отрицательных значений аргументов плотности f₁(x), f₂(y) равны 0, т.к. равна 0 совместная плотность.

---

Функции распределения F₁(x) , F₂(y) находим, используя свойство одномерных плотностей:

г) условные плотности:

Эта плотность определена лишь для y > 0, при которых f₂(y)  0.

Эта плотность определена лишь для x > 0.

д) найдем сначала числовые характеристики СВ Х и Y. Вид плотности f₁(x) означает, что Х имеет показательное распределение с параметром  = 3. Поэтому:

M(X) = 1/3 ; D(X) = 1/9.

Вид плотности f₂(у) говорит о том, что M(Y) = +, т.к. интеграл

расходится (подынтегральная функция на + эквивалентна функции 3/у, интеграл от которой расходится).

Таким образом, корреляционный момент не существует.

ТЕМА 12. Функция от случайной величины.

Основные определения и формулы:

Пусть НСВ Х и Y связаны функциональной зависимостью Y = (х), где (х) – дифференцируемая функция, монотонная на всем интервале возможных значений СВ Х. Тогда, если f (x) – плотность СВ Х, а g(y) – плотность СВ Y, то

g(y) = f((y))| ’(y)|,

где (y) – функция, обратная по отношению к (х).

Если на интервале возможных значений СВ Х обратная функция (y) неоднозначна, т.е. одному значению у соответствует несколько значений х: ₁(y), ₂(y),…, _n(y), то плотность СВ Y определяется формулой:

Решение типовых примеров:

Пример 1. СВ Х имеет показательное распределение с параметром а. Найти плотность СВ Y = АХ + В.

Решение :

Рассмотрим функцию (х) = Ах + В. Это монотонная функция (если А  0). Чтобы найти обратную функцию (у), достаточно решить уравнение у = Ах + В относительно х: х = (у – В)/А. Итак, (у) = (у – В)/А, а ’(у) = 1/А. Плотность СВ Х:

Находим плотность СВ Y:

g(y) = ae^-a(y-B)/A*|A^-1|. при (у–В)/А > 0,

т.е. при y > B. Для остальных у плотность g(y) = 0.

Пример 2. Через точку А(0, l) проведена наудачу прямая. Найти плотность абсциссы точки пересечения этой прямой с осью Ох.

Решение :

Пусть НСВ Y – угол, который прямая, проведенная через точку А, составляет с положительным направлением оси Оу. Проведение этой прямой наугад означает, что СВ Y имеет равномерное распределение в интервале (- /2; /2), т.е. ее плотность имеет вид

Если В(Х, 0) – точка пересечения прямой с осью Ох, то Х = l*tgY. Обратной к функции (y) = l*tg y на интервале (- /2; /2) является функция y = arctg (x/l). Находим плотность Х:

Это так называемое распределение Коши.

Пример 3. НСВ Х имеет нормальное распределение с параметрами m = 0,  = 1. Найти плотность СВ Y = X².

Решение :Функция у = х² – немонотонная на (-; +) и поэтому ее обратная функция (у) – неоднозначная: ₁(у) = у и ₂(у)= -у. Находим плотность СВ Y:

Здесь - плотность СВ Х.

После преобразований получим:

Для отрицательных у плотность равна 0.

ТЕМА 13. Функция от двух случайных величин.

Основные определения и формулы:

Для функции нескольких случайных величин удобнее искать функцию распределения, а плотность определять дифференцированием. Если НСВ Z есть функция от двух случайных аргументов Х и Y: Z =  (X, Y), то ее функция распределения имеет вид:

где f(x,y) – совместная плотность системы случайных величин (X, Y), а двойной интеграл берется по области D(Z) плоскости хОу, для которой (x,y) < z.

---

Смотрите также файлы

• Инновационный мкенеджмент.doc

• 2011ЭВарМУ Стратан ФН-07заоч.doc

• Микроэкономика 1часть.doc

• Документ Microsoft Word.doc

• Документ Microsoft Office Word.docx