Решение типовых примеров:

Пример 1. Найти функцию распределения СВ Z = Y – X, где X и Y – независимые СВ, причем Х равномерно распределена в интервале (-1; 1), Y – имеет показательное распределение с параметром а = 1.

Решение :

Выпишем плотности СВ Х и Y:

Так как Х и Y – независимы, то совместная плотность системы (X, Y) есть произведение их плотностей:

f(x,y) = 0,5e^-y в полуполосе K = {(x,y): -1 < x< 1, 0 < y < +} и f(x,y) = 0 вне К.

Множество возможных значений СВ Z – это интервал (-1; +). Поэтому F(Z) = P(Z < z) = 0 при z  -1. Для вычисления F(z) при других значениях z рассмотрим множество D_z, по которому интегрируется совместная плотность. Это часть полуполосы К, удовлетворяющая условию y – x < z, т.е. часть К, лежащая ниже прямой y = x + z. Форма D_z и пределы интегрирования в повторном интеграле зависят от значения z:

1) При z > 1 D_z= {(x, y): -1  x  1, 0  y  x + z }

2) При –1 < z  1 D_z = {(x, y): -z  x  1, 0  y  x + z }

Пример 2. В прямоугольник К с вершинами (0;0), (а;0), (0;b), (a;b) наудачу ставят точку (X;Y) и опускают из нее перпендикуляры на оси координат. Найти закон распределения площади Т многоугольника, образованного этими перпендикулярами и осями координат.

Решение :

Тот факт, что точка ставится в прямоугольник К наудачу, означает, что система СВ (X;Y) имеет равномерное распределение в К, т.е. ее совместная плотность f(x,y) = C в прямоугольнике К и f(x,y) = 0 вне К, причем С = 1/(a*b). Функциональная зависимость СВ: T = X*Y, т.е. (x,y) = х*у. Область интегрирования в формуле для функции распределения:

D_t = {(x,y): xy < t}={(x,y): y<t/x}.

Учитывая вид плотности f(x,y), получим:

Здесь G_t – это часть прямоугольника К, лежащая ниже гиперболы y = t/x, а интеграл по области G_t – это не что иное, как ее площадь:

Итак, окончательно функция распределения площади имеет вид:

(это следует из общих свойств функции распределения). Дифференцируя эту функцию, находим плотность:

ТЕМА 14. Закон больших чисел.

Основные определения и формулы:

Если СВ Х неотрицательная и имеет конечное математическое ожидание, то для любого  > 0

(неравенство Чебышева, первая форма).

Если СВ Х имеет конечную дисперсию, то для любого  > 0

(неравенство Чебышева, вторая форма).

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … независимы и имеют конечные дисперсии, причем D(X_n)  C, n = 1, 2, … . Тогда последовательность СВ Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел, т.е. для любого  > 0

(теорема Чебышева)

Решение типовых примеров:

Пример 1. Количество осадков, выпадающих в данной местности в течение года, является случайной величиной Х, причем М(Х) = 55 см. а) Оценить вероятность того, что в этой местности осадков выпадет не более 175 см.; б) Оценить ту же вероятность, если известно , что (х) = 15 см.

Решение :

а) Так как о дисперсии СВ Х мы ничего не знаем, используем первую форму неравенства Чебышева:

Р(Х > 175) < 55/175 = 0,31

Отсюда получаем оценку снизу для искомой вероятности:

Р(Х  175) = 1 – Р(Х > 175) > 1 – 0,31 = 0,69.

б) Информация о дисперсии СВ Х позволяет использовать вторую форму неравенства Чебышева и получить более точную оценку:

---

P(X > 175) = P(X–55 > 175–55)  P(|X–M(X)| > 20) < 15²/120² = 0,02.

Отсюда: Р(Х  175) > 0,98.

Пример 2. Дана последовательность независимых случайных величин Х₁, Х₂, … Х_n, …, причем СВ Х_n имеет равномерное распределение на интервале ( ). Подчиняется ли эта последовательность закону больших чисел.

Решение :

Воспользуемся известным фактом: если СВ Z имеет равномерное на интервале (a,b) распределение, то

M(Z) = (a+b)/2, D(Z) = (b–a)²/12.

Таким образом M(X_n) = 0, D(X_n) = ln (n)/3.

Теорему Чебышева применять нельзя, т.к. нет ограниченности дисперсии. Но можно применить неравенство Чебышева к СВ Числовые характеристики:

Неравенство Чебышева:

Так как ln(n) = o(n), то эта вероятность стремится к 0 при увеличении n. Другими словами

т.е. последовательность Х₁, Х₂, … Х_n, … подчиняется закону больших чисел.

ТЕМА 15. Центральная предельная теорема.

Основные определения и формулы:

Пусть случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n, … – независимы и одинаково распределены, причем M(X_k) = m, D(X_k) = ². Тогда имеет место центральная предельная теорема (Ц. П. Т.) т.е.

При решении задач используют другую формулировку Ц.П.Т.

Если Х₁, Х₂, … Х_n – независимые, одинаково распределенные СВ, причем M(X_k) = m, D(X_k) = ², то их сумма Y = X_k при достаточно большом n имеем приближенно нормальное распределение с параметрами mn и n. Другими словами:

где (х) – функция Лапласа.

Замечание: Интегральная теорема Лапласа есть частный случай Ц.П.Т.

Решение типовых примеров:

Пример 1. Страховая компания застраховала n человек одного возраста сроком на 1 год. Для этого возраста известна вероятность смерти (в течении ближайшего года) и вероятность травмы: 0,00001 и 0,0001 соответственно. Стоимость страховки L$, в случае травмы клиенту выплачивается a$, в случае смерти – A$. Найти вероятность того, что компания получит прибыль не менее Q$.

Решение :

Рассмотрим СВ Х_к – выплаты к-му клиенту, к=1.. n. ее ряд распределения:

Хк	0	а	А
Р	0,99989	0,0001	0,00001

Найдем ее числовые характеристики:

m = M(X) = 0,0001a + 0,00001A;

² = D(X) = 0,0001а² + 0,00001А² – m².

Т.к. клиенты умирают и травмируются, вообще говоря, независимо один от другого, то случайные величины Х₁, Х₂, … Х_n – независимые и к ним применима Ц.П.Т.

Суммарные выплаты компании клиентам Y = X_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами mn и n.

Доходы компании формируются из страховых взносов и составляют Ln$.

Разность Ln – Y – это прибыль компании. Найдем (приближенно) вероятность того, что прибыль будет не менее Q$:

Пример 2. Участник лотереи вычеркивает 5 чисел из 36 (5 из которых выигрышные). При совпадении 3-х чисел выигрыш составляет 3$, 4-х – 50$ и 5-ти – 500$. Найти границы практически возможных выплат по лотереи, если в ней участвуют п = 10.000 человек.

Решение :

Обозначим через Х_к – выплаты к-му участнику. Возможные значения этой ДСВ: 0, 3, 50 ,500. Соответствующие им вероятности можно найти, используя классическое определение вероятности, например:

---

Ряд распределения и числовые характеристики ДСВ Х_к:

Хк	0	3	50	500
Р	р0	0,012344	0,000411	0,000003

В силу Ц.П.Т. суммарные выплаты по лотерее Y = X_k имеют приближенно нормальное распределение с параметрами:

mn = 590$,

n = 434,4$.

Применяя к СВ Y “правило 3-х сигма”, получим границы практически возможных выплат:

верхняя граница = 590 + 3*434,4 = 1893$

нижняя граница = 0.

Пример 3. В условии предыдущего примера определить минимальное число участников, при котором лотерея не принесет убытка организаторам, если стоимость одного билета 0,3$.

Решение :

Искомое число можно найти из неравенства:

,

где m и  найдены ранее. Имеем

Итак, уже 293 участника обеспечат организаторам отсутствие убытков.

Содержание:

Тема 1. Классическая формула вычисления вероятности.

Тема 2. Геометрическая вероятность.

Тема 3. Теоремы сложения и умножения.

Тема 4. Формулы полной вероятности и Байеса.

Тема 5. Повторение опытов.

Тема 6. Повторение опытов (при большом n)

Тема 7. Дискретная случайная величина.

Тема 8. Непрерывная случайная величина.

Тема 9. Нормальное распределение.

Тема 10. 2-мерная дискретная случайная величина.

Тема 11. 2-мерная непрерывная случайная величина.

Тема 12. Функция от случайной величины.

Тема 13. Функция от двух случайных величин.

Тема 14. Закон больших чисел.

Тема 15. Центральная предельная теорема.

Список рекомендуемой литературы.

---

Смотрите также файлы

• Инновационный мкенеджмент.doc

• 2011ЭВарМУ Стратан ФН-07заоч.doc

• Микроэкономика 1часть.doc

• Документ Microsoft Word.doc

• Документ Microsoft Office Word.docx