Согласно критерию Сэвиджа, оптимальной считается стратегия, для которой минимизируется максимальный риск, т. е. достигается .

В нашем примере min (20, 10, 10) = 10, и оптимальными являются стратегии А₂ и А₃.

Оптимальной по критерию Гурвица считается стратегия, для которой выполняется условие:

Если λ = 0,5, то max (0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 30; 0,5 ⋅ 25 + 0,5 ⋅ 37,5; 0,5 ⋅ 20 + 0,5 ⋅ 45) = max (27,5; 31,25; 32,5) = 32,5 и оптимальной считается стратегия А₃.

Задачи

Решить статистические игры, используя критерии Вальда, Гурвица и Сэвиджа:

1    

2    

3    

4    

5    

---

СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ (СМО)

Пример 1. В типографию с тремя множительными аппаратами поступают заказы на размножение документации. Если все аппараты заняты, то вновь поступивший заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом составляет 30 минут. Интенсивность поступающих заявок – 1,5 заявки в час. Определить показатели эффективности работы типографии.

Решение

По условию задачи число каналов обслуживания n = 3, число мест в очереди m = 0, т. е. имеем трехканальную СМО с отказами. Интенсивность потока заявок λ = 1,5 (заявки / час), интенсивность потока обслуживания µ = = 2 (заявок / час), относительная нагрузка на систему ρ = = = 0,75 = .

Составим граф состояний СМО:

Вычислим значения дробей относительной интенсивности переходов, которые имеются на графической модели:

Вероятность свободного состояния СМО (вероятность того, что пришедшая заявка застанет систему свободной) вычисляется по формуле

ρ₀ = (1 + d₁ + d₁d₂ + d₁d₂d₃ + … + d₁d₂ … d_r)^–1,

или

ρ₀ = (1 + d₁ + d₁d₂ + d₁d₂d₃)^–1 =

=

Вероятность отказа равна:

Относительная пропускная способность:

Абсолютная пропускная способность:

А = λ · = 1,5 · 0,967 = 1,450 (заявок / час).

Среднее число занятых каналов:

Окончательно отказ получают 3,3% заказов, обслуживаются 96,7% заказов. В среднем занято менее одного множительного аппарата, техническая оснащенность типографии излишняя.

Задачи

Определить показатели эффективности работы СМО с отказами.

1. n = 1; λ = 3,2; µ = 4,0;

2. n = 2; λ = 1,4; µ = 0,9;

3. n = 3; λ = 5; µ = 1;

4. n = 4; λ = 8; µ = 3;

5. n = 5; λ = 2; µ = 0,4.

Пример 2. В стоматологическом кабинете 2 кресла, а в коридоре три стула для ожидания. Поток клиентов – 6 пациентов в час, среднее время обслуживания одного пациента – 90 минут. Если все стулья в коридоре заняты, то пациент не становится в очередь. Проанализировать СМО.

Решение.

По условиям задачи n = 2, m = 3,

Составим граф состояний СМО:

Запишем значения дробей относительной интенсивности переходов:

Вероятность свободного состояния:

Остальные вероятности состояний СМО определим по рекуррентной формуле

Среднюю длину очереди определим как математическое ожидание ее целочисленных ненулевых случайных значений

Lq = 1 · ρ₃ + 2 · ρ₄ + 3 · ρ₅ =

= 1 · 0,0384 + 2 · 0,1729 + 3 · 0,7781 = 2,718.

Вероятность отказа совпадает с вероятностью наиболее загруженного состояния

Вероятность обслуживания

Абсолютная пропускная способность СМО

А = λ · = 0,222 · 6 = 1,332.

Среднее число обслуживаемых пациентов

Среднее число заявок в системе (пациентов, находящихся на лечении в креслах и в очереди)

По формулам Литтла находим среднее время:

– нахождения заявки в очереди (время ожидания в коридоре)

– пребывания заявки в системе (время нахождения пациента в очереди и на лечении)

Окончательно: кабинет обслуживает 22% обратившихся, или 1,33 пациента в час. В очереди находится 2,72 пациента, на лечении – 1,998 пациента, всего пациентов 2,72 + 1,998 = 4,72. В очереди приходится ждать 2,04 часа, всего на посещение врача уходит 3,54 часа. Отказ получают 78% обратившихся.

---

---

Задачи

Проанализировать эффективность работы следующих СМО:

1. n = 1; m = 1; λ = 5; µ = 6,3;

2. n = 2; m = 1; λ = 0,5; µ = 0,2;

3. n = 2; m = 2; λ = 4; µ = 1,5;

4. n = 3; m = 1; λ = 9; µ = 3;

5. n = 3; m = 2; λ = 0,2; µ = 0,01.

МОДЕЛИ СЕТЕВОГО ПЛАНИРОВАНИЯ
И УПРАВЛЕНИЯ

Пример.

Рассчитать временные параметры сетевого графика:

Решение

К основным параметрам сетевого графика относятся: продолжительность выполнения всего проекта (продолжительность критического пути), время свершения событий, сроки начала и окончания отдельных работ и их резервы времени.

Вначале рассчитываем ранний срок t_p ( j) cвершения событий j ( j = 1, 10) – самый ранний момент времени, к которому завершаются все предшествующие этому событию работы, или, иными словами, самый длинный предшествующий событию путь.

Для исходного события ранний срок свершения полагаем равным нулю (t_p (1) = 0). Ранний срок любого последующего события j (вычисления выполняем строго в порядке возрастания номеров событий) определяется как наибольшая сумма ранних сроков свершения каждого предшествующего события и продолжительности работы, связывающей предшествующее событие с j–м:

t_p (2) = t_p (1) + t (1, 2) = 0 + 4 = 4,

t_p (3) = max (t_p (2) + t (2, 3); t_p (1) + t (1, 3)) = max (4 + 3; 0 + 8) = 8,

t_p (4) = max (t_p (3) + t (3, 4); t_p (1) + t (1, 4)) = max (8 + 2; 0 + 9) = 10,

t_p (5) = max (t_p (2) + t (2, 5); t_p (3) + t (3, 5)) = max (4 + 5; 8 + 2) = 10,

t_p (6) = max (t_p (5) + t (5, 6); t_p (3) + t(3, 6); t_p (4) + t (4, 6)) =

= max (10 + 4; 8 + 5; 10 + 8) = 18,

t_p (7) = max (t_p (6) + t (6, 7); t_p (4) + t (4, 7)) = max (18 + 2; 10 + 6) = 20,

t_p (8) = max (t_p (5) + t (5, 8); t_p (6) + t (6, 8)) = max (10 +8; 18 + 3) = 21,

t_p (9) = max (t_p (8) + t (8, 9); t_p (6) + t (6, 9); t_p (7 + t (7, 9)) =

= max (21 +6; 18 +5; 20 +2) = 27,

t_p (10) = max (t_p (9) + t (9, 10); t_p (7) + t (7, 10)) = max (27 +5; 20 + 3) = 32.

Итак, критическое время выполнения проекта (минимальное время, за которое могут быть выполнены все работы проекта) – 32 временные единицы.

Затем вычисляем поздний срок t_n ( j) свершения событий, j ( j = 1, 10) – самый поздний момент времени, после которого остается ровно столько времени, сколько необходимо для выполнения всех работ, следующих за этим событием. t_n ( j) можно трактовать и как наибольшее время, до которого можно отсрочить выполнение последующих за событием j работ без увеличения критического времени проекта.

Для завершающего события поздний срок свершения полагаем равным раннему сроку свершения (критическому времени выполнения проекта):

t_n (10) = t_p (10) = 32.

Для любого другого события j (вычисления выполняются строго в порядке убывания номеров событий) t_n( j) определяется как минимум из разностей, уменьшаемым в которых является поздний срок свершения непосредственно следующего события, а вычитаемым – продолжительность работы между j–м событием со следующим:

t_n (10) = 32; t_n (9) = t_n (10) – t (9, 10) = 32 – 5 = 27,

t_n (8) = t_n (9) – t (8, 9) = 27 – 6 = 21,

t_n (7) = min (t_n (10) – t (7, 10); t_n (9) – t (9, 10)) = min (32 – 3; 27 – 2) = 25,

t_n (6) = min (t_n (7) – t (6, 7); t_n (9) – t (6, 9); t_n (8) – t (6, 8)) =

         = min (25 – 2; 27 – 5; 21 – 3) = 18,

t_n (5) = min (t_n (6) – t (5, 6); t_n (8) – t (5, 8)) = min (18 – 4; 21 – 8) = 13,

t_n (4) = min (t_n (7) – t (4, 7); t_n (6) – t (4,6)) = min (25 – 6; 18 – 8) = 10,

---

t_n (3) = min (t_n (4) – t (3, 4); t_n (6) – t (3, 6); t_n (5) – t (3, 5)) =

         = min (10 – 2; 18 – 5; 13 – 2) = 8,

t_n (2) = min (t_n (3) – t (2, 3); t_n (5) – t (2, 5)) = min (8 – 3; 13 – 5) = 4,

t_n (1) = min (t_n (4) – t (1, 4); t_n (3) – t (1, 3); t_n (2) – t (1, 2)) =

         = min (10 – 9; 8 – 8; 5 – 4) = 0.

Вычисляем резервы времени событий R( j) как разность между поздним и ранним сроками свершения события: R( j) = t_n( j) – t_p( j).

Для расчета сроков свершения событий и их резервов времени вычисления производятся непосредственно на сетевом графике, используя четырехсекторную схему:

Находим критический путь. В него включаем работы, соединяющие события с нулевым резервом времени. Определение критического пути начинается с завершающего события.

Окончательно имеем следующий график (критический путь выделен жирной линией):

Определяем временные параметры работ – ранние и поздние сроки начала и окончания работ, полный и свободный резервы времени.

Ранний срок начала работы (I, j) равен раннему сроку свершения события i : t_p,H(I, j) = t_p(I ).

Ранний срок окончания работы (I, j) равен сумме раннего срока свершения начального события работы и ее продолжительности: t_p,о(I, j) = t_p(I ) + t(I, j ) = t_p,H (I, j) + t(I, j).

Поздний срок начала работ (I, j) равен разности между поздним сроком свершения ее конечного события и продолжительностью работы: t_n,H (I, j) = t_n( j) – t( I, j ) = t_n,о(I, j) – t(I, j).

Полный резерв времени работы (I, j) – максимально возможный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что весь комплекс работ будет завершен в критический срок: R_n(I, j) = t_n( j) – t_p(i) – t(I, j ).

Свободный резерв времени работы (I, j) – максимальный запас времени, на который можно увеличить продолжительность работы или отсрочить начало ее выполнения при условии, что начальное и конечное ее события наступят в свои ранние сроки: R_c(I, j) =
= t_p( j) – t_p(i) – t(I, j).

Результаты вычислений сведем в таблицу:

Работа	Продолжительность	Ранние сроки		Поздние сроки			Резервы времени
		tp,н(I, j)	tp,о(I, j)		tn,н(I, j)	tn,о(I, j)		Rn(I, j)	Rc(I, j)
(1, 2)	4	0	4		1	5		1	0
(1, 3)	8	0	8		0	8		0	0
(1, 4)	9	0	9		1	10		1	1
(2 ,3)	3	4	7		5	8		1	1
(2, 5)	5	4	9		8	13		4	1
(3, 4)	2	8	10		8	10		0	0
(3, 6)	5	8	13		13	18		5	5
(3, 5)	2	8	10		11	13		3	0
(4, 6)	8	10	18		2	18		0	0
(4, 7)	6	10	16		19	25		9	4
(5, 6)	4	10	14		14	18		4	4
(5, 8)	8	10	18		13	21		3	3
(6, 8)	3	18	21		18	21		0	0
(6, 9)	5	18	23		22	27		4	4
(6, 7)	2	18	20		23	25		5	0
(7, 9)	2	20	22		25	27		5	5
(7, 10)	3	20	23		29	32		9	9
(8, 9)	6	21	27		21	27		0	0
(9, 10)	5	27	32		27	32		0	0

---

Смотрите также файлы

• Международная торговля услугами.docx

• ШПОРЫ ГБ.docx

• Екатирина история белоруси.docx

• Практика научная работа.docx

• Билеты финансы организаций1.docx