СОДЕРЖАНИЕ

Приложение А 100

ВВЕДЕНИЕ

Тема дипломного проекта: «Расчет взаимодействия управляющего магнит­ного поля с полем магнитожидкостного сенсора».

Гидроэлектрический преобразователь плотности (ГЭПП) имеет в своем со­ставе два источника магнитных (и электрических) полей: две катушки индуктив­ности (цилиндрической формы) и магнитожидкостный сенсор (МЖ сенсор).

При изменении плотности контролируемой жидкости происходит переме­щение МЖ сенсора и изменение индуктивностей катушек. Магнитное поле (МП) катушек (управляющее поле) создает магнитное поле в МЖ сенсоре. Эти поля взаимодействуют друг с другом. Расчет взаимодействия полей сводится к их суперпози­ции и расчету силовых параметров взаимодействия. То есть следует рассчитать магнитное поле катушки и МЖ сенсора и силовые параметры их взаимодействия.

При этом следует рассмотреть следующие вопросы: источники магнитных полей, магнитные свойства веществ, магнитные жидкости, методы расчета полей, условия их применения, выбор методов расчета, основные расчетные соотноше­ния, расчет магнитных полей, расчет взаимодействия, методы графического изо­бражения полей.

1 ИСТОЧНИКИ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Магнитное поле обнаруживается по своему действию на движущиеся за­ряды, на постоянные магниты. Магнитное поле порождается движущимися заря­женными частицами (электрическим током), постоянными магнитами.

И сточники магнитных полей можно классифицировать по различным кри­териям /1/.

Рисунок 1 – Классификация источников магнитных полей

По происхождению источники магнитных полей можно разделить на при­родные, искусственные, биообъектов. К природным источникам магнитных полей относятся поля планет, звезд. Различные материалы обладают способностью на­магничиваться и сохранять намагниченность в течение длительного времени. Они также являются источниками магнитных полей.

Искусственные источники магнитных полей – это проводники с током, различные катушки и так далее. Магнитные поля возникают и в процессе ядерных реакций. В этом случае они имеют импульсный характер, то есть малую длитель­ность и большую амплитуду. В случае МП большой мощности в ряде случаев обычные законы возникновения и распространения МП не применимы и тогда следует использовать другие методы, в частности, экспериментальные.

По изменению во времени их поля: постоянные, переменные, импульсные, шумоподобные.

Постоянное магнитное поле не изменяется во времени в данной точке про­странства ни по модулю, ни по направлению. Его индуцируют индукторы посто­янного электрического тока, твёрдые и эластичные магниты.

Переменное магнитное поле изменяется во времени по величине и направ­лению, образуется индукторами, питаемыми переменным электрическим током. Частным случаем является синусоидальное магнитное поле, которое образуется при питании индуктора от промышленной сети переменного тока или от специ­ального генератора синусоидальных колебаний.

Импульсное магнитное поле изменяется во времени по величине и не из­меняется по направлению, его воспроизводят индукторы пульсирующего элек­трического тока.

По изменению поля в пространстве: однородные, неоднородные. Одно­родное поле имеет одно направление и модуль магнитной индукции в определен­ной области пространства. Такое поле может быть получено при помощи катушки тороидальной формы с большим диаметром тора. При этом практически все поле заключено внутри тора. Неоднородные поля – наиболее часто встречающиеся, их источники – постоянные магниты, различные катушки с током и так далее.

По интенсивности источники МП можно разделить на слабые, средние, сильные, сверхсильные.

2 МЕТОДЫ РАСЧЕТА МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Основной характеристикой МП является вектор магнитной индукции В в каждой точке пространства в каждый момент времени. Это – основная задача рас­чета МП.

Можно провести следующую классификацию методов расчета полей.

Рисунок 2 – Классификация методов расчета полей

Взаимодействие МП сводится к принципу суперпозиции полей, то есть сложение полей в каждой точке пространства.

Все методы расчета полей можно разделить на аналитические, численные, графические, экспериментальные и различные их комбинации (например, графо-аналитические).

2.1 Аналитические методы расчета

Интегрирование уравнения Пуассона применяется для областей, занятых током, уравнения Лапласа – для областей, не занятых током. При их решении по­лучаются эллиптические интегралы, которые не могут быть выражены конечным числом элементарных функций. Лишь в ряде предельных случаев (бесконечная прямая, плоскость и тому подобное) или при наличии симметрии имеют решения. Чаще всего используют приближенные решения в виде табулированных функций. Но и даже в этом случае взятие двойного интеграла (в объеме) представляет зна­чительные трудности.

Методы конформных и зеркальных отображений позволяют найти пра­вильные решения и картину силовых линий, но приводят к необходимости пере­вода исходных функций в комплексные и обратно, что возможно, если известна функция преобразования /2/. Для сложных по форме объектов, таких, как МЖ сенсор и катушка индуктивности, такие функции не известны.

2.2 Графические, экспериментальные и смешанные методы

Графические методы основаны на разбиении поля силовыми линиями и линиями равных потенциалов, и дальнейшем вычислении магнитных проводимо­стей каждого участка. Эти методы тесно связаны с экспериментальными, где ис­пользуются экспериментально полученные зависимости и коэффициенты. Ряд смешанных методов имеет преимущества по сравнению с остальными, так как частично используются результаты, например, аналитических или численных расчетов, а потом либо корректируются, либо проводится расчет для каждого уча­стка пространства различными методами. Смешанные методы позволяют сильно сократить объемы вычислений.

2.3 Численные методы

Наибольшей универсальностью обладают численные методы. Они обла­дают следующими достоинствами: простотой алгоритмизации и автоматизации вычислений, возможностью рассчитать нелинейные и неоднородные поля, лег­кость построения графиков, нормируемая (управляемая) точность вычислений. К их недостаткам можно отнести: невозможность вывести общие соотношения, ко­торые можно применить во всем диапазоне решаемых задач, ограниченный объем вычислений (ограничен временем, выделенным для решения задачи), обя­зательно присутствует некоторая погрешность, связанная с дискретизацией вели­чин.

Численные методы можно поделить на метод прямой подстановки и ме­тоды интегрирования уравнений. При прямой подстановке используется аналити­ческое выражение (если оно известно) и ряд значений координат и времени. При этом результатом является распределение магнитного поля в пространстве и вре­мени. Численные методы решения дифференциальных уравнений можно разде­лить на метод прямого интегрирования и итерационного интегрирования. При прямом интегрировании непрерывное пространство заменяется (квантуется) мас­сивом точек, а время - массивом моментов времени. Далее интеграл заменяется на сумму, а приращение (дифференциал) – на шаг квантования. При этом выбор шага квантования зависит от требуемой точности. Шаг квантования может быть как постоянным для всех переменных, так и различным. Получаемый результат – распределение поля в пространстве и времени даже при сложных эллиптических интегралах. Итерационные методы основаны на произвольном первоначальном распределении магнитного поля в пространстве (задается) и дальнейшем анализе отклонений (погрешностей) в каждой точке.

Приведем для примера расчет электрических полей по методу сеток. Он применяется для расчета электрических и магнитных полей с известными гранич­ными условиями.

2.4 Расчет полей по методу сеток

Метод сеток представляет собой числовой метод интегрирования диффе­ренциальных уравнений в частных производ­ных путем сведения их к уравнениям в конечных разностях.

На рисунке 3, а изображен участок двухмерного поля. На нем показаны оси х и у декартовой системы и квадратная сетка со стороной b. Точки (узлы) сетки обозначены цифрами 0, 1, 2, 3, 4. Примем ₀ — потенциал точки 0, ₁ — по­тен­циал точки 1 и так далее. Выведем приближенное соотношение между потен­циалами ₀ — ₄ вытекающее из уравнения Пуассона. Среднее значение первой производной / х на участке 1—0 приближенно равно (/х)_1-0 =(₁ — ₀)/b, на участке 0—2 (/х)_0-2 =(₀ — ₂)/b

Рисунок 3 – Расчет полей по методу сеток

Вторая производная ²/ х² в точке 0 приближенно равна разности сред­них значений первых производных / х на участках 1—0 и 0—2, отнесенных к рас­стоянию b между серединами отрезков 1—0 и 0—2:

(1)

(2)

Запишем уравнение Пуассона для двухмерного электростатического поля:

(3)

где _своб - свободный заряд в точке 0.

Подставим в уравнение Пуассона приближенные выражения для ²/ х² и ²/y².

Получим

(4)

Если поле описывается уравнениями Лапласа, то _своб = 0

(5)

Уравнения (4) и (5) определяют связь между потенциалами квадратной сетки и являются основными в методе сеток. Чем меньше шаг сетки b, тем меньше погрешность от замены уравнений Пуассона или Лапласа соответственно на уравнения (4) или (5). При расчете по методу сеток применяют не только квад­ратные, но и иные сетки, например полярные. Для них имеются формулы в ко­нечных разностях, в общем случае отличные от формул (4) и (5).

Допустим, что двухмерное поле, подчиняющееся уравнению Лапласа, ог­раничено некоторыми поверхностями и известны значения производной от потен­циала по нормали к каждой граничной поверхности во всех точках (задача Ней­мана). Возможны и комбинированные типы задач, когда для одной части гранич­ных поверхностей известны значения потенциалов, а для другой — значения нор­мальной производной от потенциала.

Требуется найти значений потенциалов прямоугольной сетки этого поля. Последовательность расчета для задачи Дирихле проиллюстрируем на примере расчета поля, образованного двумя параллельными прямыми углами рис. 3, б. В месте поворота расстояние между параллельными сторонами угла изменяется. Потенциал верхней границы положим равным 75 единицам, нижней — нулю. Бу­дем полагать, что объемные заряды отсутствуют.

а) Тонкими сплошными линиями нанесем квадратную сетку. Обозначим узлы получившихся квадратов буквами а, б, в, г, д ... (расположены в кружках).

б) Произвольно выберем значения потенциалов узлов а, б, в, ... Объем дальнейшей вычислительной работы в значительной мере зависит от того, на­сколько близко к действительному выбрано первоначальное распределение по­тенциала. Поэтому следует стремиться к возможно более правдоподобному пер­воначальному распределению потенциала.

Для этой цели нанесем на рисунок 3 приближенную картину силовых и эк­випотенциальных линий и, руководствуясь ею, запишем начальные значения по­тенциалов узлов (цифры слева и вверху у каждого узла).

Для каждого узла находим остаток в формуле (5). Так, остаток для точки б 53 + 50 + 75 + 25 - 4·50 = 3. Записываем величину остатка в правом верхнем углу у каждого узла.

Поскольку в каждом узле остаток должен быть равен нулю, то дальнейший и наиболее трудоемкий этап расчета состоит в таком изменении потенциалов уз­лов, чтобы остатки во всех узлах не превышали некоторой заданной величины (скажем, 1 или 2).

Поэтому в одной из точек с наибольшим значением остатка изменяем по­тенциал приблизительно на ¹/₄ от остатка (в рассматриваемом случае в точке б уменьшаем потенциал на единицу и затем пересчитываем остатки во всех осталь­ных узлах). Вновь полученные остатки записываем в левом нижнем углу у каж­дого узла (на рисунке они выписаны не для всех узлов). Такая операция выпол­ня­ется несколько раз до тех пор, пока все остатки не станут равны или меньше за­данной величины. Процесс является сходящимся. При расчётах используют вы­числительные машины.

Метод применим для магнитных и электрических полей, линейных и не­линейных сред, для неизменных и изменяющихся во времени полей.

3 АНАЛИЗ ЗАДАЧИ И ВЫБОР МЕТОДА РАСЧЕТА

Так как требуется знать распределение магнитного поля в пространстве и времени, а также силовые взаимодействия, то для обеспечения максимальной точности следует выбрать аналитические методы. Но, с учетом того, что устрой­ство состоит из двух источников магнитных полей: управляющей катушки и МЖ сенсора, процесс решения можно разбить на три этапа: вычисление поля катушек, вычисление поля МЖ сенсора, их суммирование.

При вычислении поля катушки можно воспользоваться частичным реше­нием для одного витка с током, приведенным в /3, с.112/. В решении появляются полные эллиптические интегралы. Оставшееся двойное интегрирование по тол­щине намотки катушек и по их высоте практически невозможно в аналитическом виде. Так как граничные условия не заданы, то возможно применить только метод прямого численного интегрирования известного аналитического выражения.

Для расчета поля МЖ сенсора заведомо не подходят чисто аналитические методы, так как МЖ сенсор имеет неправильную геометрическую форму. Так как поле сенсора зависит от поля катушек, то его можно рассчитать как статическое поле постоянного магнита, но с изменяющейся остаточной намагниченностью. Тот факт, что магнитное поле переменное, не влияет на взаимодействие полей, так как изменяющееся магнитное поле порождает электрическое, за счет которого возникает ток, но МЖ сенсор обладает малой электрической проводимостью, по­этому токи в нем не наводятся. Для расчета можно применить графические, графо-аналитические, и смешанные методы на их основе.