Таким образом, с учетом эффективности различных методов, выбираем метод расчета по эквивалентным токам.

9.3 Метод расчета по эквивалентным токам

Рассмотрим диск из ферромагнитного материала. Толщина диска много меньше его диаметра (рисунок 10, а).

а) б)

Рисунок 10 – Замена эквивалентным током

Верхняя и нижняя поверхности диска являются полюсами, то есть магнитный поток проходит перпендикулярно диску. Как уже было показано, кольцевой проводник с током создает такое же распределение поля, следовательно, диск в расчетном смысле можно заменить этим проводником с током. Направление тока соответствует направлению, показанному на рисунке 10, б. Величина тока (А) определяется по формуле:

(49)

где B – величина магнитной индукции в центре диска, Тл;

– магнитная постоянная, Гн/м;

b – толщина диска, м.

Таким образом, расчет элементарного слоя ферромагнитного вещества сводится к расчету кольцевого проводника с током. Расчет проводника с током производится по формулам (25) – (30).

9.4 Расчет поля МЖ сенсора

Расчет проведем с использованием метода эквивалентного тока. Исходными данными для расчета являются:

а) геометрические размеры МЖ сенсора;

б) индукция магнитного поля в каждой точке объема МЖ сенсора;

в) характеристика намагничивания магнитной жидкости.

Так как сенсор имеет эллиптическую форму, то для ее описания требуются две величины: максимальный радиус (r_e), максимальная длина сенсора (l_e). Реализация сенсора возможна в двух основных вариантах – с длиной сенсора, равной длине двух катушек, и с длиной сенсора, равной длине одной катушки. Максимальный радиус может быть не более внутреннего радиуса катушки минус 2 ‑ 3 мм на толщину стакана.

На рисунке 11 показаны основные размеры МЖ сенсора в двух вариантах. Расчет проведем для обоих вариантов.

Вариант 1 Вариант 2

Рисунок 11 – Расположение и размеры МЖ сенсора

Для первого варианта примем размеры: r_e=14 мм, l_e=33 мм.

Для второго варианта: r_e=16 мм, l_e=16 мм.

Так как сенсор симметричен относительно вертикальной оси, то при расчете будем учитывать его как одну плоскость, поскольку в остальных плоскостях поле будет таким же. Кривая, ограничивающая поверхность МЖ сенсора, описывается уравнением:

(50)

В цилиндрической системе координат, принятой при расчете катушки, уравнение имеет тот же вид, но вместо x подставляется R, а вместо y – Z.

Для применимости метода эквивалентного тока следует разбить эллипс на конечное число тонких дисков (рисунок 12).

Рисунок 12 – Дискретизация эллипса

Далее заменяем каждый диск на кольцевой проводник соответствующего радиуса с током, определенным по формуле (49) и получаем набор проводников с током, расчет которого сводится к расчету катушки по формулам (47) и (48), в которых R_внеш заменяется на r_e, а R_вн – на 0. Длина катушки l_k в формулах (47) и (48) заменяется величиной y, найденной из формулы (50). При этом радиус витков будет изменяться, и ток в них будет также различным.

Рассчитаем поле МЖ сенсора для двух вариантов с магнитной жидкостью марки Т-40. Магнитная проницаемость этой жидкости изменяется от 50 до 100. Примем магнитную проницаемость равной 100.

На рисунке 13, "а" и "б" представлены результаты работы программы для первого варианта МЖ сенсора – соответственно поле сенсора и суммарное поле.

а) б)

Рисунок 13 – Поле МЖ сенсора и суммарное поле (вариант 1)

Цветовая шкала:

2714 мкТл – красный цвет (максимальное значение индукции);

1094 мкТл – желтый;

555 мкТл – зеленый;

285 мкТл – синий;

14 мкТл – минимальное значение в данной области.

Результаты получены при токе в управляющей катушке 25 мА.

Промежуточным цветам соответствуют промежуточные значения индукции. Чисто белому цвету соответствуют значения индукции меньшие 0,3 мкТл.

На рисунке 14, "а" и "б" представлены результаты работы программы для второго варианта МЖ сенсора.

а) б)

Рисунок 14 – Поле МЖ сенсора и суммарное поле (вариант 2)

Цветовая шкала:

4330 мкТл – красный цвет (максимальное значение индукции);

1744 мкТл – желтый;

883 мкТл – зеленый;

452 мкТл – синий;

21 мкТл – минимальное значение в данной области.

Результаты получены при токе в управляющей катушке 25 мА.

Как видно из рисунков, практически все магнитное поле концентрируется в МЖ сенсоре. Из сравнения двух вариантов видно, что второй вариант отличается от первого большей концентрацией магнитного поля в МЖ сенсоре, что объясняется более близким расположением сенсора к виткам управляющей катушки.

Характеристика магнитной жидкости нелинейная. В полученных результатах эта нелинейность не учитывается, а магнитная проницаемость принимается равной 100. Реальная характеристика намагничивания представляет собой петлю гистерезиса (рисунок 9) со следующими параметрами: коэффициент прямоугольности 0,3 ‑ 0,4, напряженность насыщения 500 кА/м, индукция насыщения 35 Тл (для жидкости Т-40). Это характеристики предельной петли гистерезиса. При меньших значениях напряженности поля насыщение не достигается, и перемагничивание происходит по частной петле гистерезиса, которую приближенно можно считать уменьшенной предельной петлей (по форме).

При расчете магнитного поля ферромагнитного материала используем напряженность магнитного поля внешнего источника (в нашем случае – катушки) и по кривой гистерезиса определяем магнитную индукцию.

Применительно к нашему методу зависимость B=f(H) можно заменить эквивалентной зависимостью I=f(H), где H – значение напряженности поля катушки, I – эквивалентный ток. Преобразование графика происходит по формуле (49).

Так как эта зависимость не выражается аналитически, то аппроксимируем ее линейными участками. Точность зависит от точности исходной кривой гистерезиса и количества участков прямых, которыми аппроксимируется петля гистерезиса. Петля гистерезиса близка к округлой (коэффициент прямоугольности от 0,3 до 0,7), поэтому аппроксимация в 10 – 15 отрезков будет достаточна.

В алгоритме расчета по формулам (47) и (48) вместо тока катушки подставляем эквивалентный ток в каждом участке МЖ сенсора, который в каждый момент времени вычисляется по полученной аппроксимированной зависимости I=f(H).

Найдем параметры зависимости I=f(H). Так как напряженность магнитного поля, создаваемого катушкой при амплитуде тока 25 мА, не превышает 100 А/м, то соответственно максимальное значение индукции в МЖ сенсоре не превысит 0,007 Тл. По формуле (49) это соответствует эквивалентному току 557 мА. Коэффициент прямоугольности примем равным 0,3, значит, остаточная индукция будет равна 0,3/1,3=0,23 или примерно 20% от максимума. По определению, напряженность насыщения равна 10H_c, тогда коэрцитивная сила H_c=10 А/м.

На рисунке 15 показан аппроксимированный график I(H) при амплитуде тока в управляющей катушке 25 мА.

Рисунок 15 – Гистерезис эквивалентного тока

На рисунке 15 черным цветом показана кривая первоначального намагничивания, синим и красным – соответственно обратная и прямая ветви характеристики.

Кривая гистерезиса показывает, что при первоначальном намагничивании магнитной жидкости эквивалентный ток, а, следовательно, и величина магнитной индукции изменяется практически пропорционально напряженности магнитного поля управляющих катушек. При снижении напряженности поля катушек (при уменьшении тока) происходит уменьшение эквивалентного тока (то есть и магнитной индукции) до некоторого, отличного от нуля, значения, а при соответствующем увеличении тока в управляющих катушках (прямая ветвь характеристики) – симметричное перемагничивание. Далее процесс повторяется по обратной и прямой ветвям характеристики.

Явление гистерезиса приводит к избыточному расходу энергии, а, кроме того, поддерживает ненулевое магнитное поле вокруг всего устройства, даже в момент перехода управляющего тока через нуль.

Суммарное магнитное поле, с учетом явления гистерезиса, при амплитудном значении управляющего тока 25 мА показано на рисунках 16 и 17.

Рисунок 16 – Суммарное магнитное поле (вариант 1)

На рисунке 16 максимальное значение индукции 497,5 мкТл, а минимальное – 4,4 мкТл.

Рисунок 17 – Суммарное магнитное поле (вариант 2)

На рисунке 17 максимальное значение индукции 635 мкТл, а минимальное – 7,15 мкТл.

Как видно из рисунков, в первом варианте внутри катушек есть область, имеющая малую магнитную индукцию, что объясняется противоположным направлением индукции управляющих катушек и магнитожидкостного сенсора. Поля катушек и сенсора внутри сенсора сонаправлены.

9.5 Динамика магнитного поля сенсора

Динамика магнитного поля магнитожидкостного сенсора отличается от динамики поля управляющих катушек, хотя и зависит от него. Отличие заключается в распределении поля при нарастании тока в управляющих катушках и при убывании тока. Магнитная индукция управляющих катушек в каждой точке растет вместе с током линейно. Поле сенсора, напротив, изменяется нелинейно. При линейном увеличении тока происходит нелинейное намагничивание магнитной жидкости (насыщение), что проявляется как более медленное увеличение поля при увеличении тока.

Магнитное поле сенсора, строго говоря, нельзя рассматривать отдельно от поля катушек, так как они взаимосвязаны. Динамика поля ГЭПП (суммарное поле) при первоначальном намагничивании показана на рисунке 18. Каждый кадр отличается током в управляющих катушках (1, 5, 10, 15, 20, 25 мА).

Рисунок 18 – Динамика магнитного поля сенсора

При снижении управляющего тока и дальнейшем нарастании происходит перемагничивание магнитожидкостного сенсора по петле гистерезиса, то есть при переходе управляющего тока через нуль поле катушек равно нулю, а поле магнитожидкостного сенсора отличается от нуля. При увеличении тока до некоторого значения происходит уменьшение поля сенсора до нуля, но поле управляющих катушек не равно нулю.

10 РАСЧЕТ СИЛ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОЛЕЙ

Суперпозиция поле определяет суммарное поле катушек и магнитожидкостного сенсора. При этом поле катушек является первичным, а поле сенсора – вторичным. Поле управляющих катушек воздействует на сенсор и является определяющим фактором для собственного поля сенсора.

Кроме изменения магнитного поля сенсора, управляющие катушки оказывают силовое воздействие на магнитожидкостный сенсор. Так как ток в катушках, а, следовательно, и создаваемое ими поле имеют различное направление в разные моменты времени (ток в катушках переменный), то и сила, действующая на сенсор, будет различной в разные моменты времени.

Универсальным методом для определения объемной электромагнитной силы является нахождения градиента магнитного поля. Там, где магнитное поле изменяется наиболее резко, действует большая сила, а в точках, где поле изменяется плавно, сила меньше. Этот метод требует определения индукции в каждой точке и последующего вычисления полного дифференциала и является трудоемким.

Существует простая зависимость, показывающая действие магнитного поля на проводник с током – формула (7). Однако для определения силы по этой формуле должен быть проводник с током, помещенный в магнитное поле. Магнитная жидкость обладает малой электропроводностью, то есть токи в ней не протекают. Однако, в расчетном смысле магнитожидкостный сенсор можно заменить совокупностью круговых токов, как уже было показано в предыдущем разделе.

Таким образом, появляется возможность для быстрого вычисления сил, действующих на каждый круговой ток, путем замены тока в формуле (7) на эквивалентный ток, вычисленный по формуле (49).

Покажем на рисунке 19 направления сил, действующих на проводник с током.

Рисунок 19 – Направление силы и магнитной индукции

Подставляя формулу (49) в (7), получим:

(51)

где dl – элементарный отрезок проводника с током;

B – вектор магнитной индукции, действующий со стороны катушек;

b – толщина элементарного диска (при разбиении эллипса).

Ф ормула (51) показывает величину и направление вектора силы, действующей со стороны управляющих катушек на элементарный отрезок эквивалентного тока. Согласно рисунку 19, сила действует перпендикулярно току и вектору магнитной индукции. Покажем на рисунке 20 силы, действующие на кольцевой проводник.

Рисунок 20 – Силы, действующие на кольцевой проводник

Силу, действующую на каждый элементарный отрезок, в текущей системе координат (цилиндрической) можно разложить на две проекции: радиальную F_R и осевую F_Z. При этом осевая составляющая силы определяется радиальной составляющей магнитной индукции, а радиальная составляющая силы – осевой составляющей индукции. Сила будет распределена по всему объему сенсора, и радиальные составляющие сил будут растягивать или сжимать сенсор, а осевые составляющие вызывают осевое смещение сенсора вверх или вниз в зависимости от направления тока в управляющих катушках. Для определения суммарной радиальной и осевой составляющих сил для каждого элементарного диска, следует формулу (51) умножить на длину кольцевого проводника с эквивалентным током, то есть на πD (D – диаметр диска).

Таким образом, осевые и радиальные составляющие сил для элементарного диска будут иметь вид:

(52)

(53)

Так как для определения эквивалентного тока магнитожидкостный сенсор эллиптической формы разбивался на элементарные диски, то для определения суммарных значений радиальной и осевой составляющих сил (действующих на весь сенсор в целом) нужно сложить F_Z и F_R (соответственно) для каждого диска, вычисленные по формулам (52) и (53).

Радиальная составляющая силы будет растягивать или сжимать сенсор, она равномерно распределена по окружности сенсора. Осевая составляющая будет смещать сенсор вверх или вниз, при этом ее можно считать приложенной к центру сенсора. Для отображения действующих сил используем отрезки прямых, длина которых показывает модуль силы, а направление отрезка соответствует направлению силы. Силы, действующие на каждый элементарный диск, условно изобразим приложенными к поверхности сенсора (реально сила – распределенная). Осевую и радиальную составляющие суммарной силы отобразим раздельно и приложенными к центру сенсора в верхней части.

Рисунок 21 – Направления действующих сил

Синим цветом показаны силы, действующие на каждый элементарный диск, красным – радиальная составляющая суммарной силы, зеленым – осевая составляющая суммарной силы.

Как видно из рисунка, наибольшее значение силы приходится на середину сенсора. Силы на рисунке 21 вычислены при токе в катушках 25 мА, при этом максимальное значение индукции 497,5 мкТл, радиальная составляющая силы равна 1,2 Н, осевая составляющая: -0,065 Н. При заданном направлении тока (при котором индукция внутри катушки направлена вниз) поле катушек будет растягивать сенсор с силой 1,2 Н (распределенной) и выталкивать с силой 0,065 Н.

При изменении направления тока в катушках поле катушек будет сжимать и втягивать сенсор.

Сравним два варианта сенсора для определения действующих сил и выбора наиболее оптимального. На рисунке 21 было показано распределение и величины сил для первого варианта. Распределение сил для второго варианта показано на рисунке 22.