Дальнейшее суммирование полей производится по всем компонентам (проекциям) векторов магнитной индукции.

Из всего выше перечисленного следует, что используемый метод расчета поля катушки – смешанный на основе численного интегрирования, а метод рас­чета сенсора – либо смешанный, либо графический.

4 ОСНОВНЫЕ РАСЧЕТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

4.1 Связь основных величин, характеризующих магнитное поле

Основной характеристикой МП является магнитная индукция В. Индукция характеризуется величиной и направлением, то есть В – величина векторная. Модуль вектора магнитной индукции можно вычислить по формуле /3, с.97/:

B=₀H (6)

где Н – напряженность МП,

₀ – магнитная постоянная,

 – магнитная проницаемость вещества.

Величина  показывает, во сколько магнитное поле в веществе сильнее, чем в вакууме, и зависит от свойств вещества.

В системе единиц СИ магнитная постоянная имеет размерность Гн/м, и равна ₀=4^.10^-7 Гн/м. Относительная магнитная проницаемость  не имеет раз­мерности. Единицей индукции является тесла (Тл = Вб/м² = В^.с/м²). Одним из ос­новных проявлений магнитного поля является воздействие его на проводник с то­ком, помещенный в это поле. Сила , с которой магнитное поле действует на эле­мент проводника длиной с током I, определяется следующим образом:

(7)

Эта сила направлена перпендикулярно индукции в данной точке поля и перпендикулярна элементу тока Idl. Направление индукции можно определить по правилу левой руки: если расположить левую руку таким образом, что силовые линии будут входить в ладонь, вытянутые пальцы направить по току, то отогну­тый большой палец покажет направление действующей силы. Если индукция и элемент тока параллельны, то элемент тока не испытывает механического воздей­ствия со стороны магнитного поля. Воздействие на элемент тока максимально, когда и взаимно перпендикулярны.

Взаимодействие поля с током имеет место независимо от причин возник­новения магнитного поля – в результате протекания макротоков в электрических контурах, или микротоков в ферромагнитных материалах, или потока электронов в вакуумном приборе. Оно наблюдается как в постоянном, так и в изменяющемся во времени поле /3, с.98/.

4.2 Интегральная и дифференциальная формы закона полного тока

Количественная связь между циркуляцией вектора по замкнутому кон­туру и током внутри контура определяется законом полного тока в интегральной форме – линейный интеграл от напряженности магнитного поля вдоль любого замкнутого контура равен полному току, пронизывающему замкнутый контур /3, с.99/:

(8)

Интегральную форму закона полного тока применяют, когда может быть использована симметрия в поле.

Соотношение (8) справедливо для контура любых размеров, в том числе и весьма малого. Если площадь контура мала, то можно полагать, что плотность тока в пределах этой площадки одинакова. Тогда можно записать закон пол­ного тока в дифференциальной форме:

(9)

Уравнение (9) записано в общей форме безотносительно к системе коор­динат, и в каждой конкретной системе координат оно раскрывается по-своему.

Системы координат в каждом случае выбираются произвольно. В декарто­вой системе ротор напряженности МП можно представить в виде определителя
/3, с.103/:

(10)

В цилиндрической системе координат, где координаты – расстояние от центра до точки r, угол между направлением на точку и положительной полу­осью α, высота z, справедливо выражение проекций ротора на различные коорди­наты /3, с.103/:

(11)

В сферической системе координат проекции ротора по радиусу R и двум углам α и θ /3, с.103/:

(12)

4.3 Принцип непрерывности магнитного потока

Магнитный поток есть поток вектора магнитной индукции через некото­рую поверхность. Вошедший внутрь любого объема магнитный поток равен маг­нитному потоку, вышедшему из того же объема. Следовательно, алгебраическая сумма вошедшего и вышедшего потока равна нулю /3, с.104/. Если объем беско­нечно мал, то можно записать дифференциальную форму принципа непрерывно­сти магнитного потока:

(13)

Выражение (13) пригодно для любой точки магнитного поля. Следова­тельно, в любой точке этого поля нет ни истока, ни стока линий вектора магнит­ной индукции. Линии вектора магнитной индукции нигде не прерываются, они представляют собой замкнутые сами на себя линии. Однако вектор Н прерывен на границах сред с разными магнитными проницаемостями.

4.4 Скалярный потенциал магнитного поля

Если ротор векторной величины отличен от нуля, то такое поле называется вихревым, иначе поле является потенциальным. Так как для магнитного поля ро­тор напряженности равен плотности тока, то в областях, не занятых током, маг­нитное поле можно рассматривать как потенциальное /3, с.104/. Это значит, что каждая точка имеет скалярный магнитный потенциал . Следовательно, для та­ких областей можно принять:

(14)

Учитывая выражение (13), получим, что скалярный потенциал подчиня­ется уравнению Лапласа:

(15)

Разность скалярных магнитных потенциалов называется падением маг­нитного напряжения. Здесь наблюдается полная аналогия с электрическими це­пями: закон Ома – закон полного тока, магнитное напряжение – электрическое напряжение, падение магнитного напряжения – падение напряжения в электриче­ской цепи, электродвижущая сила (ЭДС) – магнитодвижущая сила (МДС). Ска­лярный потенциал широко используется при расчете магнитных полей.

4.5 Граничные условия

В магнитном поле имеют место следующие граничные условия /4, с.106/:

H_1t=H_2t (16)

B_1n=B_2n (17)

Равенство нормальных составляющих векторов магнитной индукции сле­дует из принципа непрерывности магнитного потока. Из выражений (16) и (17) следует, что если линии магнитной индукции проходят через границу раздела двух сред с проницаемостями μ₁ и μ₂ под углом α₁, то они преломляются с углом преломления α₂ /3, с.107/:

(18)

4.6 Векторный потенциал магнитного поля

Для расчета магнитных полей широко используют величину, которую на­зывают векторным потенциалом (вектор-потенциалом) магнитного поля. Его обо­значают . Это плавно изменяющаяся от точки к точке векторная величина, ро­тор которой равен магнитной индукции.

(19)

Основанием для представления индукции в виде ротора от вектора-потен­циала служит то, что дивергенция любого ротора тождественно равна нулю /3, с.107/.

Если вектор-потенциал как функция координат известен, то индукцию в любой точке поля определяют путем нахождения ротора от вектора-потенциала в соответствии с (19).

В электротехнических расчетах векторный потенциал применяют для двух целей /3, с.108/:

а) Определения магнитной индукции с помощью формулы (19);

б) Определения магнитного потока, пронизывающего какой-либо контур.

Векторный потенциал в произвольной точке поля связан с плотностью тока в этой же точке уравнением Пуассона:

(20)

Решение этого уравнения относительно вектора-потенциала /3, с.109/ имеет вид:

(21)

Единицей вектор-потенциала А является вольт-секунда на метр (В^.с/м). Формула (21) дает общее решение уравнения (20). Вектор-потенциал в любой точке поля можно определить вычислением объемного интеграла (21). Последний должен быть взят по всем областям, занятым током.

Для практических расчетов более удобно использовать значение тока, а не его плотности. Для использования тока применим теорему Стокса, заменив объ­емный интеграл поверхностным, и выразим (21) в дифференциальной форме /3, с.111/:

(22)

Составляющая векторного потенциала от элемента тока имеет такое же направление в пространстве, как и ток в элементе проводника.

Далее, получив выражение для вектор-потенциала, берем его ротор и по­лучаем выражение для вектора магнитной индукции.

4.7 Взаимное соответствие электрического и магнитного полей

Между картинами электрического и магнитного полей в областях, не заня­тых током, может быть соответствие двух типов /3, с.113/. Первый тип – одина­ково распределение линейных зарядов в электрическом поле и линейных токов в магнитном поле. В этом случае картина магнитного поля (сетка поля) подобна картине соответствующего электрического поля. Отличие состоит лишь в том, что силовым линиям электрического поля соответствуют эквипотенциальные линии магнитного поля, а эквипотенциалям электрического поля - силовые линии маг­нитного.

Второй тип – одинаковая форма граничных эквипотенциальных поверхно­стей в электрическом и магнитном полях постоянного тока. В этом случае кар­тина поля оказывается совершенно одинаковой.

5 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ МАГНИТНОГО ПОЛЯ

Существует несколько основных способов графического изображения магнитных (и электрических) полей. Так как электромагнитное поле в общем слу­чае является функцией координат и времени, то, для магнитного поля, магнитная индукция зависит от четырех переменных. Кроме того, магнитная индукция яв­ляется векторной величиной и в каждой точке пространства имеет свое направле­ние и величину.

Изображение магнитного поля с помощью графиков: это зависимости ин­дукции от координат, времени. В этом случае строят отдельные графики (точнее, их семейства) для разных координат. Если поле двумерное, или рассматривается только одна плоскость трехмерного пространства, то возможно построение трех­мерного графика, где по оси z откладывается величина индукции магнитного поля. Такие графики строят для каждого момента времени.

Построение графиков не дает наглядной картины поля, поэтому чаще ис­пользуют построение магнитных силовых линий. Силовые линии - замкнутые сами на себя воображаемые кривые, касательные к которым в каждой точке пока­зывают направление вектора магнитной индукции, а густота линий – величину магнитной индукции. Построение силовых линий возможно как для двумерного, так и для трехмерного случая. Для каждого момента времени строится отдельная картина силовых линий.

В последнее время все большее распространение получил метод цветного отображения магнитного поля. Каждая точка пространства (плоскости) получает свой цвет в зависимости от величины (модуля) магнитной индукции. Например, более сильное поле закрашивается в красный цвет, слабое – в синий с соответст­вующим переходом и промежуточными цветами. Направление вектора магнитной индукции в этом случае можно указывать отрезками прямых или силовыми ли­ниями. Этот метод является наиболее точным для графического изображения поля. Как и в предыдущих случаях строится картина для каждого момента времени. Современные средства мультимедиа позволяют при помощи ЭВМ составить из отдельных изображений полную картину в виде анимации, как в реальном мас­штабе времени, так и растянутом (сжатом).

6 РАСЧЕТ УПРАВЛЯЮЩЕГО ПОЛЯ КАТУШЕК

В составе ГЭПП имеются 2 катушки, питаемые переменным током с час­тотой 1000 Гц. Они имеют общую среднюю точку и включены согласно. Средняя точка подключена к усилителю, поэтому ток, ответвляемый из средней точки, мал по сравнению с током в катушке. Следовательно, можно считать, что через обе катушки протекает одинаковый ток.

Магнитное поле согласно включенных катушек складывается, поэтому при расчете две катушки будем учитывать как одну.

На рисунке 4 приведена конфигурация и расположение катушек.

Рисунок 4 – Конфигурация и расположение катушек

Катушки имеют осевую симметрию, поэтому для расчета целесообразно использовать цилиндрическую систему координат. Изобразим схематически ка­тушку в выбранной системе координат (рисунок 5).

Рисунок 5 – Цилиндрическая система координат

Начало координат располагается в верхней части катушек. Система коор­динат обозначена синим цветом и имеет 3 координаты: r, z, α, то есть радиальную составляющую, осевую составляющую и угол α. Точка M с координатами
M(R_M, Z_M, α_M) – любая точка внутри катушки, то есть точка источника магнит­ного поля. Точка Q(R_Q, Z_Q, α_Q) – любая точка вне катушки, то есть точка наблю­дения.

Катушка состоит из множества витков, поля которых складываются со­гласно принципу суперпозиции. Таким образом, для расчета поля катушки сле­дует рассчитать поле одного витка. При намотке катушки ее витки получают не­который наклон. Расчет поля такой катушки /4, с.350/ показывает, что магнитное поле приобретает наклон с тем же углом. Но, так как управляющая катушка со­стоит из нескольких слоев, а наклон каждого слоя противоположен наклону пре­дыдущего, то каждые два слоя компенсируют наклон друг друга. При большом числе слоев и малом, по сравнению с диаметром катушки, диаметре провода, что применимо и к нашему случаю, наклон поля катушки либо совсем отсутствует, либо пренебрежимо мал. Поэтому в дальнейших расчетах будем предполагать, что витки образованы концентрическими кольцами и наклон поля отсутствует.

6.1 Расчет поля одного витка

Расчет поля одного витка проведем аналитически. Для определения вели­чины индукции магнитного поля воспользуемся вспомогательным векторным по­тенциалом . При расчете используем модель одного витка в виде кольцевого про­водника, у которого диаметр провода значительно меньше диаметра витка. Это применимо, так как диаметр витка 34  49 мм, а диаметр провода 0,18 мм. Со­гласно формуле (22), элемент проводника имеет векторный потенциал . Та­ким образом, векторный потенциал всего витка можно определить интегрирова­нием (22) по углу α в цилиндрической системе координат /3, с.112/. Учитывая, что векторный потенциал имеет такое же направление, что и ток в элементе провод­ника, получаем, что векторный потенциал содержит только α – составляющую.

Д ля расчета используем также цилиндрическую систему координат (рису­нок 6).

Рисунок 6 – Поле одного витка

Угловой компонент вектора определяется интегралом /3, с.112/:

(23)

где .

Решение интеграла приводится в /3, с.112/ и имеет вид:

(24)

Здесь K и N – полные эллиптические интегралы первого и второго рода, функции табулированные:

(25)

(26)

где

(27)

В источнике /3, с.112/ приводятся выражения для проекций вектора маг­нитной индукции, которые также можно получить из формул (11) и (19):

(28)

(29)

(30)

Из формул (28), (29) и (30) следует, что вектор магнитной индукции со­держит две составляющие: радиальную (29) и осевую (30).

Выражения (29) и (30) полностью определяют магнитное поле одного витка в областях, не занятых током.

Направление определяется отношением радиальной и осевой составляю­щих, а модуль магнитной индукции, в Тл, определяется по формуле:

(31)

Рассмотрим частный случай, когда координата R_Q точки наблюдения равна нулю. Расчет по формулам (28) и (30) не встречает трудностей, но при подста­новке в формулу (29) значения R_Q=0 получаем неопределенность вида 0/0. Следо­вательно, нужно вычислить предел B_r при R_Q→0.

В формуле (29) внесем R_Q под скобки: