(32)

Разобьем дробь (32) на две части:

(33)

(34)

Вычислим раздельно их пределы, так как предел произведения равен про­изведению пределов:

(35)

Предел (35) равен некоторому значению, не изменяющемуся при измене­нии R_Q.

Вычислим предел выражения (34):

(36)

В (36) обозначим множитель крайнего правого слагаемого как

(37)

Подстановка R_Q=0 в (37) дает С₁=1, тогда выражение (36) перепишется следующим образом:

(38)

Подставим (27) в (38), получим:

(39)

Сокращая дроби на R_Q, получим:

(40)

Так как предел произведения равен произведению пределов, то предел (32) равен произведению (35) и (40):

(41)

Таким образом, вычисленный предел радиальной составляющей индукции магнитного поля в точке наблюдения зависит от ее положения относительно ис­точника МП. Однако из рисунка 6 видно, что на оси витка силовые линии прохо­дят перпендикулярно плоскости витка, а, следовательно, радиальная составляю­щая отсутствует. Погрешность в виде выражения (41) появляется из-за замены эл­липтических интегралов N и K многочленами, а так как их число в идеальном случае должно быть бесконечным, а в нашем случае равно четырем.

Оценим погрешность (41) на всем диапазоне Z_Q-Z_M: от нуля до бесконеч­ности.

При подстановке Z_Q-Z_M=0⁺ в (41) получаем, что данная погрешность стре­мится к нулю слева при приближении точки наблюдения к плоскости витка (при Z_Q-Z_M=0^- - справа).

Если устремить Z_Q-Z_M к бесконечности (минус бесконечности), то полу­чим, что (41) резко стремится к нулю слева (справа), так как знаменатель возрас­тает намного быстрее числителя.

В предельных случаях погрешность стремится к нулю, значит, существует точка, в которой погрешность имеет максимальное значение. В этой точке произ­водная выражения (41) равна нулю. Найдем производную (41):

(42)

Приравнивая правую часть равенства (42) к нулю, находим корни уравне­ния:

(43)

Подставляем (43) в (41), получим выражение для абсолютной погрешности расчета:

(44)

6.2 Расчет по всем виткам

Так как формулы (29) и (30) являются решениями для одного кольцевого проводника с током, то для нахождения решения для всей катушки следует про­интегрировать эти выражения по всем областям, занятым током. Первое интегри­рование следует провести по всей длине катушки, тогда будет получено решение для одного слоя витков с заданным радиусом. Второе интегрирование – по ра­диусу витков, в результате получим выражение для всей катушки с током.

Радиальная составляющая индукции магнитного поля катушки:

(45)

Осевая составляющая:

(46)

Так как выражения (29) и (30) уже содержат полные эллиптические инте­гралы, то выражения (45) и (46) и их решения будут содержать еще более слож­ные функции. Поэтому для решения применим численный метод прямого интег­рирования.

Сущность метода состоит в замене интегралов суммами, а дифференциа­лов – приращениями. Точность определяется выбором шага квантования.

(47)

(48)

6.3 Выбор шага квантования

При выборе шага квантования следует учесть такие критерии, как точность расчета, время расчета, и некоторые другие. Точность расчета напрямую зависит от шага квантования – чем меньше шаг, тем выше точность, но значительно уве­личивается время, необходимое для расчета.

Основной задачей является определение магнитного поля в каждой точке пространства в любой момент времени. Для определения индукции МП в задан­ной точке следует определить величины в уравнениях (47) и (48). Они влияют на точность расчета в указанной точке. Так как реально обмотка катушки состоит из конечного числа витков, и провод имеет конечную толщину, равную 0,18 мм, то шаг квантования должен быть не более данной величины. Примем равным 0,1мм.

Для определения картины поля в пространстве в данный момент времени необходимо определить, в каких точках пространства будет определена магнит­ная индукция, то есть с каким шагом. Так как катушки имеют ось симметрии, то все поле будет симметричным, и остается рассчитать поле в одном сечении ка­тушки (при фиксированном α). Большее разрешение при построении графиче­ского изображения не дает большей информации, если нельзя измерить рассчи­танное поле с тем же разрешением. Наибольшее распространение среди датчиков магнитного поля получили датчики Холла и магнитоуправляемые ИС /5/. Они имеют схожие размеры, например, датчик Холла ДХК-0,5а имеет размеры 4х4х2 мм и чувствительность до 5 - 10 мкТл /6, с.37/. Следовательно, применение на­много меньшего шага квантования нецелесообразно. Примем шаг квантования по R_Q и Z_Q равным 1мм.

6.4 Алгоритм расчета и программа

Алгоритм расчета по формулам (47) и (48) состоит в следующем:

а) Задание шага квантования;

б) Определение начальных и конечных значений;

в) Определение и обработка исключений;

г) Вычисление первой суммы по формулам;

д) Вычисление второй суммы;

е) Если конечная величина не достигнута, то пункт "в";

ж) Запоминание значения индукции в данной точке;

з) Задание следующей точки, если не все, то на пункт "б";

и) Построение цветовой шкалы;

к) Построение по цветовой шкале картины магнитного поля.

Кроме указанных пунктов, для построения картины магнитного поля в ка­ждый момент времени, строятся отдельные изображения, а затем собираются в одну анимацию.

Далее приведен фрагмент программы для расчета магнитного поля ка­тушки с током, составленной на языке Visual Basic 6.5 Professional.

deltaZ = 0.1 'приращение по высоте катушки

deltaRM = 0.1 'приращение по толщине катушки

delta = deltaZ * deltaRM

i = CurrentI.Text 'ток в катушке (мА)

Rem если ток вводится в миллиамперах, _

то все расстояния - в мм.

Rem ..а индукция - в Тл.

MuA = 4 * 3.14159265 * 0.0000001'абсолютная _

магнитная проницаемость

SumZ = 0: SumR = 0

lowRQ = Fix((Shape1.Left - Line1.X1) / mas)

lowZQ = Fix((Shape1.Top - Line2.Y1) / mas)

highRQ = Fix((Shape1.Left - Line1.X1 _

+ Shape1.Width) / mas)

highZQ = Fix((Shape1.Top - _

Line2.Y1 + Shape1.Height) / mas)

ReDim BR(0 To (highRQ - lowRQ), 0 To _

(highZQ - lowZQ))

ReDim BZ(0 To (highRQ - lowRQ), 0 To _

(highZQ - lowZQ))

ReDim B(0 To (highRQ - lowRQ), 0 To _

(highZQ - lowZQ))

For RQ = lowRQ To highRQ

For ZQ = lowZQ To highZQ

If ZQ >= 0 And ZQ < Int(LengthK.Text) And _

Abs(RQ) >= Int(RvnutrK.Text) And _

Abs(RQ) < Int(RvneshK.Text) Then GoTo PointDone

For RM = RvnutrK.Text To RvneshK.Text _

Step deltaRM

For ZM = 0 To LengthK.Text Step deltaZ

Z2 = (ZQ - ZM) ^ 2

R2 = (RM + Abs(RQ)) ^ 2

R2M = (RM - Abs(RQ)) ^ 2

If R2M + Z2 <= 0.01 Or R2 _

+ Z2 <= 0.01 Then GoTo PointDone

A = 0.5 * Abs(RQ) * RM / (R2 + Z2)

K = 1.57 * (1 + 2 * A + 9 * A ^ 2 _

+ 50 * A ^ 3 + 306.25 * A ^ 4)

N = 1.57 * (1 - 2 * A - 3 * A ^ 2 - _

10 * A ^ 3 - 43.75 * A ^ 4)

If RQ = 0 Then

SumR = 0

Else

SumR = SumR + MuA / Abs(RQ) * (ZQ - _

ZM) / Sqr(R2 + Z2) * (-K + (RM * RM + RQ * RQ _

+ Z2) * N / (R2M + Z2))

End If

SumZ = SumZ + MuA / Sqr(R2 + Z2) * (K + _

(RM * RM - RQ * RQ - Z2) * N / (R2M + Z2))

Next ZM

DoEvents 'обработка других событий

If sem = False Then Exit Sub

Next RM

BR(RQ - lowRQ, ZQ - lowZQ) = SumR * i * delta / 6.283

BZ(RQ - lowRQ, ZQ - lowZQ) = SumZ * i * delta / 6.283

B(RQ - lowRQ, ZQ - lowZQ) = Sqr(SumR ^ 2 + _

SumZ ^ 2) * i * delta / 6.283

GoTo APD

PointDone: B(RQ - lowRQ, ZQ - lowZQ) = 10000

APD:

SumR = 0: SumZ = 0

ProgressBar2.Value = (ZQ - lowZQ) / (highZQ - _

lowZQ) * 100

Next ZQ

ProgressBar1.Value = (RQ - lowRQ) / (highRQ - _

lowRQ) * 100

Next RQ

Call minmax

Call colorscale

Call redraw(ry, yg, gb)

MsgBox "Расчет закончен!"

6.5 Результаты расчета

На рисунке 7 представлен результат работы программы при значении тока в катушке 5мА.

Рисунок 7 – Картина магнитного поля при токе 5 мА

Область, занимаемая катушкой с током, заштрихована.

Диапазоны модуля индукции магнитного поля:

1 – 5 мкТл – синий цвет;

5 – 10 мкТл – зеленый цвет;

10 – 15 мкТл – желтый цвет;

15 – 22 мкТл – красный цвет.

На следующих рисунках представлены результаты расчета при различных токах в катушке (1 – 5 мА).

а) 1 мА б) 1,5 мА в) 2 мА

г) 2,5 мА д) 3 мА е) 3,5 мА

ж) 4 мА з) 4,5 мА и) 5 мА

Рисунок 8 – Изменение поля во времени (1/4 периода колебаний)

7 МАГНИТНЫЕ СВОЙСТВА ВЕЩЕСТВА

Все вещества по их магнитным свойствам можно разделить на диамагне­тики (<1), парамагнетики (>1) и ферромагнетики (>>1) – сильномагнитные вещества. У диамагнетиков и парамагнетиков магнитная проницаемость не зави­сит от напряженности МП и является постоянной величиной. У ферромагнети­ков  зависит (нелинейно) от Н. При этом, кроме нелинейности (обычно – насы­щение), у различных веществ есть свойство гистерезиса (петля гистерезиса), что вызывает потери на перемагничивание ферромагнетика.

Пусть в начальном состоянии ферромагнетик имеет H=0 и B=0. При плав­ном нарастании тока получим нелинейную зависимость B(H), которая называется кривой первоначального намагничивания (на рисунке 9 штриховая линия) /7, с.170/.

Рисунок 9 – Характеристика намагничивания ферромагнетика

Начиная с некоторых значений Н магнитного поля индукция В практиче­ски перестает увеличиваться и остается равной В_max. Эта область называется обла­стью технического насыщения. Замкнутый цикл B(H) называется предельной ста­тической петлей гистерезиса (или предельным статическим циклом гистерезиса). Если во время симметричного перемагничивания область технического насыще­ния не достигается, то симметричная кривая B(H) называется симметричной част­ной петлей гистерезиса ферромагнитного материала.

Предельный статический цикл гистерезиса ферромагнитных материалов характеризуется следующими параметрами:

Н_с – коэрцитивной силой,

B_r – остаточной индукцией,

k_□=B_r/B_Hc-10Hc – коэффициентом прямоугольности.

По значению параметра Н_с предельного статического цикла гистерезиса ферромагнитные материалы делятся на группы:

а) Магнитные материалы с малыми значениями коэрцитивной силы (Н_с < 0,05 ÷ 0,01 А/м) называются магнитомягкими.

б) Н_с > 20 кА/м – магнитотвердые.

Магнитотвердые материалы используются для изготовления постоянных магнитов, а магнитомягкие – для изготовления магнитопроводов электротехниче­ских устройств, работающих в режиме перемагничивания по предельным или ча­стным циклам.

Магнитомягкие материалы, в свою очередь, делятся на 3 типа:

а) С прямоугольной предельной статической петлей гистерезиса, k>0.95

б) С округлой петлей 0,4<k<0,7

в) С линейными свойствами В=₀Н.

8 МАГНИТНЫЕ ЖИДКОСТИ. СВОЙСТВА И ОСОБЕННОСТИ

Магнитные жидкости (МЖ) – стабилизированные коллоидные растворы ферромагнетиков в некоторой жидкости – носителе. В качестве носителя исполь­зуются различные жидкости, чаще всего – керосин, глицерин, и другие. В каче­стве ферромагнетиков используют железо и его окислы (например, магнетит), сплавы кобальта и другие. Стабилизация магнитной жидкости – это обеспечение постоянства ее состава и однородности. Она достигается применением различных веществ, не позволяющих частицам ферромагнетика слипаться и оседать, напри­мер, олеиновой кислоты /8, с.329/.

Таким образом, магнитная гидродинамика стоит на границе электродина­мики и гидравлики. Магнитная восприимчивость ферроколлоидов в десятки ты­сяч раз выше, чем естественных жидких магнетиков /8, с.4/. Магнитные жидкости имеют огромное число различного рода эффектов, объединяя свойства ферромаг­нетиков и жидкостей. Магнитные свойства МЖ определяются главным образом свойствами ферромагнитных частиц. Это такие свойства, как нелинейность, гис­терезис. Кроме того, МЖ обладают анизотропными свойствами. Процессы уста­новления анизотропии определяются броуновским движением частиц и тепло­выми флуктуациями их магнитного момента.

Для описания магнитных жидкостей применимы общие принципы описа­ния взаимодействия электромагнитного поля со средой. Силовое взаимодействие МЖ с полем можно найти с помощью одной из многочисленных моделей МЖ /8, с.131/.

8.1 Выбор модели МЖ для расчета сенсора

Различные модели магнитных жидкостей ориентированы на решение различных типов задач. Они различаются сложностью и точностью описания процессов. Для расчета поля МЖ сенсора требуются магнитные свойства вещества, а такие свойства, как динамическая вязкость, плотность, теплоемкость не оказывают влияния на картину магнитного поля. Таким образом, для расчета нужна модель магнитной жидкости, включающая характеристику намагничивания, и, возможно, учитывающая различные эффекты при воздействии магнитного поля.

Характеристика намагничивания определяется свойствами ферромагнитных частиц с некоторыми поправками. Свойства различных марок магнитных жидкостей приводятся в документации на поставку (паспорт, ТУ). Кроме обычных свойств ферромагнетиков, у магнитных жидкостей есть множество эффектов, проявляющихся при воздействии магнитного поля. Наиболее распространенный и значимый эффект – деформация поверхности жидкости в вертикальном магнитном поле. Однако, этот, а также многие другие эффекты возникают только при превышении напряженности поля определенной границы, обычно порядка 500 ‑ 1000 А/м /8/.

Поле, создаваемое катушкой, не превышает нескольких сотен А/м в максимальном приближении к проводникам. МЖ сенсор находится на расстоянии 1 ‑ 2 мм (толщина стакана и изолятора) от проводников катушки, следовательно, напряженность поля много меньше достаточной для возникновения таких эффектов, как деформация поверхности.

Большинство производимых промышленностью магнитных жидкостей обладает характеристикой намагничивания, близкой к линейной (коэффициент прямоугольности 0,3 – 0,4). Обычно в паспорте на МЖ указывают значения напряженности насыщения и индукцию насыщения. Из этих параметров можно определить кривую гистерезиса, и проводить расчет с ее использованием.

9 РАСЧЕТ ПОЛЯ СЕНСОРА И СУММАРНОГО ПОЛЯ

Для получения картины магнитного поля с учетом поля МЖ сенсора и дальнейшего определения силовых параметров взаимодействия следует рассчитать поле МЖ сенсора, поле катушки и найти суммарное поле согласно принципу суперпозиции.

9.1 Выбор метода расчета МЖ сенсора

Для расчета поля сенсора будем считать форму МЖ сенсора эллиптической, а свойства магнитной жидкости эквивалентными свойствам ферромагнетика. При этом в расчетном смысле МЖ сенсор можно рассматривать как постоянный магнит, остаточная индукция которого изменяется в зависимости от тока в катушке и различна в каждой точке объема сенсора.

Методы расчета поля ферромагнетика включают расчет по магнитным проводимостям воздушных путей, графические методы, основанные на предположительном расположении путей магнитного потока, метод расчета по эквивалентным токам.

Расчет по проводимостям легко реализуется при правильной геометрической форме ферромагнетика или при известных зависимостях проводимости от формы и размеров ферромагнетика. Так как МЖ сенсор имеет эллиптическую форму (половина эллипса), то расчет по проводимостям очень сложен и практически не применим в данном случае.

Графические методы дают приближенные результаты и имеют погрешность порядка 20%. МЖ сенсор имеет различные значения индукции в различных точках объема, что очень сложно учесть при расчете графическим методом.

Метод расчета по эквивалентным токам основан на замене элементарного тонкого слоя вещества кольцевым проводником с током, создающим эквивалентное магнитное поле. Недостаток метода в том, что его сложно применить для ферромагнетика с формой, отличной от круга (цилиндра). В нашем случае эллипс представляет собой цилиндр с постепенно уменьшающимся радиусом, то есть этот недостаток легко устраняется. К достоинству метода в данном случае относится возможность свести весь расчет поля МЖ сенсора к расчету множества кольцевых проводников.