D₂(ω)=(Т_и+40)ω – 100Т_иω³

ω²= (Т_и+40)/100Т_и

5К₀ – 15Т_и((Т_и+40)/100Т_и)=0

5К₀ – 15Т_и((0,01+0,4/Т_и)=0

К₀=3Т_и(0,01+0,04/Т_и))=0,03Т_и+1,2

4. Построение переходного процесса замкнутой системы по задающему воздействию.

Ф(p) =

Выбрав параметры САР из области устойчивости, К₀ = 1,Т_и = 20

Ф(p) =

H(p) = Ф(p)/p =

Приведем выражение к сумме табличных функций. Для этого представим паленом знаменателя в виде:

a₀(p-p₁) (p-p₂) (p-p₃), где p₁ p₂ p₃ – корни паленома

p₁ = -0,1

p₂ = = -0,025 + j0,156

p₃ = = -0,025 - j0,156

H(p) =

где α₁ = -0,025 – вещественная, α₃ = -0,1 – мнимая части корней p₁ и p₂;

β₁ = 0,156.

Решая систему уравнений, получили:

A =1602,49989

C =-400,93786

D = -140,20309

E =-1201,56203

Подставляем значения коэффициентов в выражение H(р):

H(p) =

Производим обратное преобразование Лапласа для данного выражения:

Строим график переходного процесса замкнутой системы по задающему воздействию

Рисунок 6. График построения процесса замкнутой системы

по задающему воздействию.

5. Запасы устойчивости замкнутой системы по модулю и фазе

Выполнение требований устойчивости САР является необходимым, но недостаточным условием. При расчетах САР требуется, чтобы система была не только устойчива, но и обладала определенным запасом устойчивости.

Запас устойчивости системы по модулю, это длина отрезка h, равная расстоянию от точки пересечения АФХ разомкнутой системы и отрицательной вещественной полуоси до точки (0;j0). Численно запас устойчивости по модулю показывает, на сколько должен измениться модуль АФХ разомкнутой системы на частоте, при которой φ(ωπ)=-180̊ для выхода системы на границу устойчивости.

Запас устойчивости системы по фазе – это угол φ, который лежит между вещественной отрицательной полуосью и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения АФХ с окружностью единственного радиуса с центром в начале координат. Численно запас устойчивости системы по фазе показывает, на сколько должно увеличиться отставание по фазе в разомкнутой системе на частоте w_cp, при которой АЧХ = 1 для выхода системы на границу устойчивости.

Ф(p) =

Выполним подстановку p=jω и представим W(jω) в виде W(jω) = U(ω)+jV(ω), тогда:

=

= =

U(ω) =

V(ω) =

Рисунок 7. Определение запаса устойчивости системы.

Найдем точку пересечения графиков. Для этого решим систему уравнений:

x =

y =

x² + y² = 1

x = - 0,94

y = - 0,36

Запас устойчивости системы по модулю:

-∆L = 20∙lg│1/x│ = 0,53 дб

Запас устойчивости системы по фазе

∆γ = arctg(y/x) = arctg(0,36/0,94) ≈ 21̊

6. Оценка качества замкнутой системы с помощью интегральных и корневых методов.

Устойчивость САР является необходимым условием её работоспособности, однако, это условие не обеспечивает всех требований, предъявляемых к работе системы. Во многих случаях требуется, чтобы система за строго определенное время переходила из одного устойчивого состояния в другое или чтобы система достаточно точно воспроизводила задающие воздействия, несущие информацию об изменении регулируемых переменных.

---

На практике применяют прямые и косвенные методы исследования качества процессов регулирования. Если показатели качества определяются непосредственно по кривой переходного процесса, то они называются прямыми показателями качества.

Прямые оценки качества определяют по кривой переходной функции h(t), полученной при g(t)=l(t). Переходные процессы при ступенчатых воздействиях делят на монотонные, апериодические и колебательные.

Время регулирования t_p или время переходного процесса – это время от момента начала изменения входного воздействия до момента, когда абсолютная разность между текущим и установившимся значением регулируемой величины будет оставаться меньше некоторого заданного значения ∆.

/h(t) - h_уст/ ≤ ∆,

при t > t_p ∆ = (0,03…0,05) h_уст

Перерегулирование или выброс, представляет собой максимальное отклонение регулируемой переменной от нового установившегося значения. Перерегулирование характеризует плавность протекания процесса.

σ = (h_max-h_уст) / h_уст *100%

Т.к. h_уст = 26,9 = h_max σ = 0

Число колебаний характеризует колебательность переходного процесса, определяется числом максимумов кривой переходного процесса за время регулирования.

Косвенными оценками называются некоторые числа, характеризующие отдельные стороны переходного процесса. Они подразделяются на корневые, частотные, интегральные. В основе корневых методов лежит изучение влияния на процесс регулирования расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Наиболее распространенной является оценка быстроты затухания переходного процесса по степени устойчивости.

Под степенью устойчивости η понимается абсолютное значение вещественной части ближайшего к мнимой оси корня, т.е.

η = min|α₁|

p₁ = -0,1

p₂ = = -0,025 + j0,156

p₃ = = -0,025 - j0,156

Выбираем самый маленький по модулю корень η = 0,025.

Составляющая в переходном процессе, определяемая парой комплексных корней будет y(t) = C_ηe^-ηt sin(βt+ψ).

При sin(βt+ψ) = 1 найдем время регулирования:

t_p≤119,829 с,

где m = 0,05 некоторая числовая характеристика, показывающая во сколько раз уменьшается регулируемая величина за время t_p.

Коэффициент затухания α – вещественная часть корня, угловая частота колебаний – мнимая часть корня. Тогда степень затухания будет определяться как

φ = 1 – е^-2πα/β = 1 - е^{-2*3,14*0,025/0,156} = 0,634

Рассмотрим понятие среднегеометрического корня:

Ω₀ = -0,1356

Величина Ω₀ зависит от свободного члена a_n исходного характеристического уравнения, который определяется коэффициентом передачи К разомкнутой системы:

К = a_n = 5

Найдем меру колебательной системы μ:

μ = max |ω/α|

μ = tg |0,156/0,025| = 0,1093

Интегральные методы дают общую оценку переходного процесса, не выделяя те или иные показатели качества, например быстродействие, колебательность и т.д.

Чем меньше I₁ – интегральная оценка, тем выше качество системы.

Передаточная функция замкнутой системы:

---

Е(p) = Ф(p)/p

I =

(t) = 0 => (t) = (t)

I =

I₁ =

I₁ = = 2,57

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Главная цель курсовой работы состояла в исследовании системы автоматизированного регулирования, ее основных и важнейших параметров. Большое внимание было уделено устойчивости системы, определению границ, а также запаса устойчивости исследованной САР. Устойчивость является одной из основных динамических характеристик САР. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего равновесие. Определены передаточные функции разомкнутой САР и замкнутой системы по каналу задающего, возмущающего воздействий. С помощью критерия Рауса-Гурвица и критерия Михайлова было установлено, что система является устойчивой, и была построена область устойчивости системы в плоскости параметров K₀, T_и.

Для построения переходного процесса замкнутой системы по задающему воздействию мы выбрали точку из области устойчивости, однако близкую к границе устойчивости. Определили запас устойчивости системы по модулю 0,53 дб. Так как разомкнутая система имеет запас устойчивости, можно сделать вывод, что замкнутая система тем более будет устойчива.

Также в данной курсовой работе были рассмотрены два метода оценки качества работы сситемы – интегральный и корневой. Качество процессов регулирования – комплекс требований, определяющих поведение системы в установившемся и переходном режимах при заданном воздействии. Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная оценка. Соответственно чем меньше эта величина, тем выше качество системы. В основе корневых методов лежит изучение влияния на процесс регулирования расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Коряковская Н.В. Методические указания к выполнению курсовой работы. – Архангельск.2002;

2. Бесекерский А.В., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования, Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, М., 1972, 768 с;

3. Шульгин В.А. Методические указания к выполнению курсовой работы.

Т.к. , то в итоге получим

Рисунок 3.- Определение области устойчивости (Гурвиц)

б) критерий Михайлова

По критерию Михайлова система находится на границе апериодической устойчивости, когда имеется нулевой корень и годограф начинает своё движение из начала координат, и находится на границе колебательной устойчивости, когда годограф при частотах отличных от нуля проходит через начало координат.

Если характеристический вектор замкнутой системы имеет вид

, то уравнение границы устойчивости можно получить решив систему уравнений:

– линия границы устойчивости.

В характеристическом уравнении проведем замену p на j∙ω, в результате получаем функцию комплексной переменной, представляющую собой характеристический вектор:

---

Для нанесения штриховки найдем знак определителя. Необходимые для этого частные производные будут при и .

Определитель равен

.

При изменении частоты в пределах от 0,0035 до определитель будет отрицательным. Поэтому при движении по полученной кривой необходимо штриховать область, лежащую справа от кривой.

Рисунок 4 - Определение области устойчивости (Михайлов)

ω² = (T_и+8K_p)/100T_и

1,5K_p-15T_и(T_и+8K_p)/100T_и = 0

Kp=0,2143T_и

Kp= 0

T_и = 0

A(jω)

При ;

При ;

;

Промежуточные точки:

;

;

;

;

Рис. 2

Вывод: система устойчива, т.к. годограф Михайлова, начинаясь на вещественной положительной оси, последовательно проходит в положительном направлении 3 квадранта (степень характеристического уравнения n=3).

7. Построение области устойчивости системы в плоскости параметров

Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используют критерий устойчивости.

а) критерий устойчивости Гурвица:

Для выделения области, обеспечивающей устойчивость САУ, запишем все условия устойчивости. Это положительность всех главных миноров до (n-1) при a₀>0. При равенстве нулю минора получаем границу устойчивости.

; ; ; .

Составляем неравенство для коэффициентов и миноров:

;

;

.

;

;

.

;

;

;

.

Рис 3

б) критерий устойчивости Михайлова

По критерию Михайлова если система находится на колебательной границе устойчивости, то годограф проходит через начало координат при ≠0.

Если характеристический вектор замкнутой системы имеет вид

, то уравнение границы устойчивости можно получить, решив систему уравнений:

линия границы устойчивости.

;

;

;

;

;

; .

Рис 4

8. Выбор параметров системы из области устойчивости и вычисление ее статистической погрешности

Устойчивость САУ является необходимым, но не достаточным условием ее работоспособности. Системы, работают в различных режимах и при различных выходных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , получаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой.

;

Если на вход системы подается типовое воздействие в виде единичной ступенчатой функции, то на выходе получаем статистическую ошибку. Найдем установившуюся ошибку системы по обоим каналам. Для этого воспользуемся теоремой Лапласа по конечным значениям функции.

;

;

;

;

;

По каналу задающего воздействия:

;

;

Ошибка по данному каналу является астатической, т.к. ;

По каналу возмущающего воздействия:

;

;

;

;

Ошибка по данному каналу также является астатической, т.к. ;

9. Построение переходного процесса ошибке от задающего воздействия

;

Передаточная функция замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия:

;

. (1)

;

Приведем выражение (1) к сумме табличных функций. Для этого представим полином знаменателя в виде:

, где - корни полинома.

;

Получаем выражение: .

;

; ; ;

;

Рис. 5

10. Оценка запаса устойчивости замкнутой системы по модулю и фазе для параметров из области устойчивости

---

;

;

;

; .

	0,01	0,04	0,2	0,5	1
U()	6.555	2.16	-0,102	-0,2	-0,172
V()	-22.741	-8.408	-1.968	-0,739	-0,296

Рисунок 6

Найдем точку пересечения графиков. Для этого решим систему уравнений:

; ; .

Запас устойчивости системы по модулю:

;

Запас устойчивости системы по фазе:

.

11. Вычисление интегральной оценки качества переходного процесса при

;

;

;

;

.

12. Оценка качества замкнутой системы с использованием корневых методов

Рассмотрим характеристическое уравнение системы:

Корни характеристического уравнения:

Ближайший к мнимой оси корень: .

, где - некоторая числовая характеристика, показывающая во сколько раз уменьшается регулируемая величина за время .

.

Рассмотрим понятие средне-геометрического корня:

.

Величина зависит от свободного члена a_n исходного характеристического уравнения, который определяется коэффициентом передачи К разомкнутой системы: .

13. Заключение

Основной целью курсовой работы являлось исследование системы автоматизированного регулирования, ее основных и важнейших параметров. Большое внимание было уделено устойчивости системы, определение границ, а также запаса устойчивости исследованной САР. Устойчивость является одной из основных динамических характеристик САР. Под устойчивостью понимается свойство системы возвращаться к состоянию установившегося равновесия после устранения возмущения, нарушившего равновесие. В результате несколькими методами было установлено, что исследуемая система устойчива, был найден запас ее устойчивости, выраженный в виде двух параметров:  - запас устойчивости по фазе и h – запас устойчивости по фазе.

Также в данной курсовой работе были рассмотрены два подхода к оценке качества работы системы – интегральный и корневой. Интегральная оценка представляет из себя критерий, учитывающий отклонение регулируемой величины от заданного значения. Соответственно чем меньше эта величина, тем выше качество системы. Среди корневых методов оценки качества наиболее распространенной является оценка быстроты затухания переходного процесса по степени устойчивости, т.е. вычисление времени его затухания, а также метод, предназначенный для синтеза САР на заданное качество переходного процесса. В работе был рассчитан коэффициент передачи К разомкнутой системы, засчет увеличения которого можно добиться повышения быстродействия системы, но следует также учитывать то, что это не должно приводить к нарушению требований по запасу устойчивости.

---