Федеральное агентство по образованию

Федеральное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Алтайский государственный колледж»

Математика: методические указания и контрольные задания

для студентов заочной формы обучения

специальность: 050501 – «Профессиональное обучение»

(по отраслям)

2009 г.

---

Обсуждено на заседании ЦМК психолого-педагогических дисциплин Протокол № ____ от ________ «____» ____________ 200___г. Председатель ЦМК _____________ О.М. Кузеванова

Утверждено «____» ____________ 200__ г. Зав. заочным отделением ____________ Н.К.Кононова

Поляничко О.Ю.

Математика: методические указания и контрольные задания для студентов: Учебное пособие для средних профессиональных учебных заведений.

Рецензент: Одинцова Л.А. – заведующая кафедрой математического анализа факультета математики и информатики Алтайской государственной педагогической академии, канд. пед. наук, профессор.

Настоящая методическая разработка представляет методические указания к выполнению домашней контрольной работы, содержащие краткий теоретический материал, примеры решения типовых задач и контрольные задания, предлагаемые студенту для самостоятельного решения, по темам «Элементы теории множеств», «Элементы линейной и векторной алгебры», «Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной», «Элементы теории вероятностей и математической статистики».

Методическая разработка предназначена для студентов-заочников средних профессиональных учебных заведений по специальности 050501 «Профессиональное обучение» (по отраслям).

Содержание

Введение 4

Тема 1. Элементы теории множеств 5

1. Понятие множества, способы задания множеств 5

1.2. Примеры решения задач 7

Тема 2. Элементы линейной алгебры 8

2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами 8

2.2. Примеры решения задач 9

Тема 3. Элементы векторной алгебры 10

3.1. Вектор на плоскости 10

3.2. Примеры решения задач 11

Тема 4. Дифференциальное исчисление 11

4.1. Понятие производной функции 11

4.2. Примеры решения зада 13

Тема 5. Интегральное исчисление 14

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл 14

5.2. Примеры решения задач 15

Тема 6. Элементы теории вероятностей 16

6.1. Понятие вероятности случайного события 16

6.2. Примеры решения задач 18

Тема 7. Элементы математической статистики 18

7.1. Основные понятия 18

7.2. Примеры решения задач 19

Контрольные задания 20

Литература 24

Приложения 25

ВВЕДЕНИЕ

По дисциплине «Математика» студенты должны выполнить одну домашнюю контрольную работу. Контрольная работа выполняется в тетради и высылается в колледж для проверки. Без зачетной контрольной работы студент не допускается к экзамену. Контрольная работа включает в себя выполнение семи задач, которые составляют один из вариантов. Номер варианта контрольной работы определяется по двум последним цифрам индивидуального шифра студента.

При выполнении контрольной работы необходимо соблюдать следующие требования:

• условия каждой задачи переписываются полностью;

• текст домашней контрольной работы должен быть написан четко и разборчиво;

• строчки необходимо располагать через одну клетку;

• решение задачи должно сопровождаться соответствующими пояснениями со ссылкой на те формулы, которые используются;

• на каждой странице оставляется поле шириной 3-4 см для замечаний преподавателя, проверяющего работу.

---

В конце работы приводится список использованной литературы, в котором указываются те источники, по которым работа выполнялась, ставится подпись исполнителя и оставляется место для рецензии преподавателя.

Домашняя контрольная работа оценивается «зачтено» или «не зачтено». «Зачет» выставляется студенту в том случае, если выполнено 70% заданий и выше перечисленных требований. В остальных случаях ставится «незачет».

Зачтенная домашняя контрольная работа предъявляется студентом на экзамене. Незачтенные контрольные работы подлежат повторному выполнению. Задания не своего варианта не засчитываются и возвращаются студенту.

На обложке тетради указываются учебный шифр, наименование дисциплины, курс, отделение, номер учебной группы, фамилия, имя и отчество исполнителя, точный почтовый адрес.

В установленные учебным графиком сроки студент направляет выполненную работу для проверки в учебное заведение. После получения проверенной работы (с рецензией преподавателя) студенту необходимо исправить выявленные ошибки, выполнить все указания преподавателя. Усвоить успешно материал помогут схемы, алгоритмы составления которых и примеры указаны в приложении.

Если студент не может самостоятельно справиться с решением какой-либо задачи, он должен обратиться за консультацией к ведущему преподавателю в колледж.

Тема 1. Элементы теории множеств

1.1. Понятие множества, способы задания множеств

Определение 1. Множество есть любое собрание или совокупность различных между собой объектов. Эти объекты называются элементами или членами множеств.

Обозначатся множества большими буквами латинского алфавита A,B,C,D…, а элементы малыми (xА. xА).

Примеры: 1. Множество студентов группы;

2. Множество R – всех действительных чисел

М ножества

Конечные – состоят из конечного Бесконечные

числа элементов.

Круги Эйлера

R

Q

Z

I

N

C

N – множество натуральных чисел;

Z – множество целых чисел;

Q – множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;

R – множество действительных чисел;

С – множество комплексных чисел.

Способы задания множеств

1) Перечисление элементов.

порядок перечисления элементов значения не имеет.

2) Указание характеристического свойства.

В множестве всех четных чисел (чисел, делящихся на 2).

Читается:

Множество В состоит из элементов x-целых чисел, таких, что x делится на 2.

-2B; 7B.

Операции над множествами.

Определение 2. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов принадлежащих каждому из множеств А и В, т.е.одновременно принадлежащих и множеству А и множеству В.

- знак пересечения

{x/x A и x B}.

A B

N – конъюнкция «и» .

x AB x A x B;

xAB xA xB.

Определение 3. Объединением множеств A и B называется множество состоящие из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств А и В, т.е. или множеству А или множеству В.

---

- знак объединения

А В

А В = {x/ хА хВ}.

хА ВхАхВ

х А Вх Ах В

Определение 4. Разностью множеств А и В называется множество состоящее из элементов принадлежащих только множеству А.

\ - знак разности

А В

А \В ={x / x A xB}.

x A \B x A xB.

xA \ B xA x B.

Определение 5. Дополнение множества А называется множество, состоящие из элементов х А.

С - знак дополнения

С А {x / x A}. А

x CA xA

xCA x A.

1.2. Примеры решения задач

Задача 4.1. Задать с помощью перечисления элементов множества , , , , если , .

Решение. Пользуясь только определениями операций объединения, пересечения, разности множеств, получаем:

- множество - объединение множеств А и В, состоящее из элементов принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В.

- множество - пересечение множеств А и В, состоящее из элементов, принадлежащих одновременно каждому из множеств А и В.

- множество – разность множеств А и В, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множеству В.

- множество - разность множеств В и А, состоящее из элементов, принадлежащих множеству В, но не принадлежащих множеству А.

Задача 4.2. Заданы множества и . Найти , , , .

Решение. Множества А и В являются подмножествами множества действительных чисел R и называются промежутками. Их можно задать с помощью неравенств:

- промежуток не включает свои концы – числа -3 и 5. Такой промежуток называется интервалом.

- промежуток включает свои концы – числа -5 и 3. Такой промежуток называется отрезком.

Пересечение является полуинтервал

, где число -3 не принадлежит множеству А, а значит и пересечению , число 3 принадлежит и множеству В и множеству А.

Объединение является полуинтервал

, где число -5 принадлежит уже хотя бы множеству В, а значит и объединению множеств, число 5 не принадлежит ни множеству А ни множеству В.

Разность множеств является интервал

, где число 3 не принадлежит разности, так как принадлежит множеству В.

Р азность множеств является отрезок

, где числа -5 и -3 принадлежит разности, так как принадлежит множеству В, и не принадлежат множеству А.

Тема 2. Элементы линейной алгебры

2.1. Понятие матрицы, операции над матрицами

Определение1: Матрицей размера называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обозначается .

Операции над матрицами

Определение2: Произведением матрицы А на число λ называется матрица В= λА, элементы которой для .

Обозначается

Определение3: Суммой двух матриц А и В одинакового размера называется матрица С=А+В, элементы которой для , т.е. матрицы складываются поэлементно.

Обозначается

Примечание: Разность двух матриц определяется через предыдущие операции: умножение и сложение матриц: , т.е. матрицы вычитаются поэлементно.

Обозначается

Определение 4: Произведением матриц называется матрица , каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-того столбца матрицы В.

---

Примечание: Операция умножения матрицы А на матрицу В определена, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй.

Пример: Вычислить произведение матриц АВ, где

А=(1 2 3),

Найдем размер матрицы-произведения (умножение матриц возможно, так число столбцов матрицы А совпадает с числом строк матрицы В):

.

2.2. Примеры решения задач

Задача 7.1 . В некоторой отрасли m заводов выпускают n видов продукции. Матрица задает объемы продукции на каждом заводе в первом квартале, матрица - во втором.

; .

Найти: а) объемы продукции; б) прирост объемов производства во втором квартале по сравнению с первым по видам продукции и заводам;

в) стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах), если λ –курс доллара по отношению к рублю.

Решение: а) Объемы продукции за полугодие определяются суммой матриц А и В, как суммой квартальных объемов продукции т.е.

.

б) Прирост во втором квартале по сравнению с первым определяется разностью матриц

Отрицательные элементы матрицы D показывают, что на данном заводе i объем производства j –го продукта уменьшился, положительные элементы матрицы D – увеличился, нулевые элементы матрицы – не изменился.

в) Произведение дает выражение стоимости объемов производства за квартал в долларах по каждому заводу и каждому предприятию. Таким образом, стоимостное выражение выпущенной продукции за полгода (в долларах): .

Задача 7.2. Предприятие производит n типов продукции, объемы выпуска заданы матрицей . Цена реализации единицы i-го типа продукции в j-м регионе задана матрицей , где k- число регионов, в которых реализуется продукция. Найти матрицу выручки С по регионам. Пусть , .

Решение: Выручка определяется матрицей , причем элемент матрицы С – выручка предприятия в j-том регионе (смотри пример произведения матриц выше):

Тема 3. Элементы векторной алгебры

3.1. Векторы на плоскости

Определение1: Вектором называется направленный отрезок.

Обозначается латинскими буквами со стрелкой наверху: .

Вектор, заданный парой (А, В) несовпадающих точек, обозначается символом . Точка А называется началом, а точка В – концом вектора.

Определение2: Длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом.

Обозначается . Вектор , концы которого совпадают, называется нулевым вектором.

Пусть А , В Длина вектора находится по формуле .

Определение3: Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Обозначается символом . Таким образом, по определению,

.

3.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти длины и скалярное произведение векторов , , если известно , , , , угол между векторами .

Решение: . Тогда .

Аналогично .

Длина вектора

Аналогично .

Скалярное произведение векторов:

( ). Ответ:

---