Файл: МАТЕМАТИКА Поляничко-методичка.doc

Тема 4. Дифференциальное исчисление

4.1. Понятие производной функции

Определение1: Производной функции f(x) в точке х₀ называется предел (если он существует) отношения приращения функции ∆ f в этой точке к приращению аргумента ∆х, когда последнее стремится к нулю:

Обозначается или

Нахождение производной функции называется дифференцированием.

Определение2: Дифференциалом функции f(x) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента.

Обозначается или , где .

Основные правила дифференцирования

1. Производная постоянной

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: производная постоянной равна нулю.

2. Производная алгебраической суммы функций

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: производная алгебраической суммы функций равна сумме производных этих функций.

3. Производная произведения двух функций

Символьная формулировка

Словесная формулировка: производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго.

4. Производная произведения постоянной на функцию:

Символьная формулировка

Словесная формулировка: Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

5. Производная частного двух функций:

Символьная формулировка:

6. Производная сложной функции:

Пусть y есть функция от u: а переменная u, в свою очередь, есть функция от аргумента х: т.е. если у зависит от х через промежуточный аргумент u, то у называется сложной функцией от х (функцией от функции):

Символьная формулировка:

Словесная формулировка: Производная сложной функции равна производной данной функции по промежуточному аргументу, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х:

Таблица производных элементарных функций

Функция у	Производная
С	0
х	1
для сложной функции:	где n – любое действительное число
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
Функция у	Производная
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:
для сложной функции:

4.2. Примеры решения задач

Задача 1.

Объем продукции u (ед), произведённый бригадой рабочих, может быть описан уравнением (ед), , где -рабочее время, часы. Вычислить производительность труда, скорость и темп ее изменения через час после начала работы и за час до ее окончания.

Решение. Производительность труда выражается производной . Используя правило нахождения производной суммы функций – , получим

---

. Используя правила нахождения производной произведения постоянной на функцию: , производной степенной функции , производной константы:имеем:

(ед/ч)

Скорость изменения производительности – производная . Темп изменения производительности – логарифмическая производная (используем правило вычисления производной сложной функции, где )- сложная функция).

Найдем : (см. выше правила нахождения производной функции).

(ед/ч).

В заданные моменты времени и соответственно имеем:

(ед/ч), (ед/ч),

, ,

(ед/ч), (ед/ч).

Итак, к концу работы производительность труда существенно снижается, при этом изменение знака и с плюса на минус свидетельствует о том, что увеличение производительности труда в первые часы рабочего дня сменяется ее снижением в последние часы.

Задача 2. Найти дифференциал функции

Решение. По определению

(использовали правило нахождения сложной функции см. таблицу = ).

Тема 5. Интегральное исчисление

5.1. Первообразная и неопределенный интеграл

Определение: Первообразной функцией для данной функции f(x) называется функция F(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x).

Определение: Неопределенным интегралом от функции f (x) называется множество {F(x) + C} всех первообразных функций для данной функции f(x), где C принимает все возможные числовые значения,

Обозначается

Обратимость операций дифференцирования и интегрирования

		Проверка
1. (kx) =k		=k
2. (x ) =nx		= =
3. =		(ln|x|+c) = =
4.( ) =		(e ) = +0=
5. =cos x		=sin x+0=sin x
6. =-sin x		(sin x+c) =cos x+0=cos x
7.Ошибка! Объект не может быть создан из кодов полей редактирования.		+0=
8.		+0=
9.		+0=

5.2. Примеры решения задач

Задача 1. Найти интеграл

Решение. При нахождении интегралов, подынтегральные функции которых содержат степенные функции, необходимо помнить, что (по определению)

и знать следующие правила действия со степенями и корнями:

Здесь m и n – любые рациональные числа.

Преобразуем подынтегральную функцию : воспользуемся формулой сокращенного умножения и последующим почленным делением числителя на знаменатель.

Далее используем свойства неопределенного интеграла:

, и

табличные интегралы: , , . Имеем:

.

Обращаем внимание на то, что в конце решения записываем одну общую постоянную С, не выписывая постоянных от интегрирования отдельных слагаемых.

Задача 2. Найти интеграл

Решение: Используем метод замены: пусть . Тогда . По правилам нахождения дифференциала и производной (см. тему 3) . Заменим переменные в интеграле:

(использовали правило интегрирования-вынесения постоянной за знак интеграла и табличный интеграл 6)

Тема 6. Элементы теории вероятностЕЙ

6.1. Понятие вероятности случайного события

---

Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений и событий, способных многократно повторяться при воспроизведении определенного комплекса условий.

Испытание – неопределяемое понятие, понимается как наблюдение того или иного явления. Событие – возможный исход того или иного испытания.

Определение1: Результат наблюдения или эксперимента, который при данном испытании может произойти, а может и не произойти, называется случайным событием.

Определение2: Событие, которое обязательно наступает при каждом испытании, называется достоверным.

Определение3: Событие, которое заведомо не может произойти, называется невозможным.

Определение4: Два события называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают.

Определение5: События, которые не могут произойти одновременно в результате испытания, называются несовместными.

Определение6: Под множеством элементарных событий задачи понимают полное множество взаимоисключающих исходов эксперимента.

Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки».

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, выпадание двойки, тройки и т.д…

Определение7 (классическое определение вероятности): Вероятностью события называется число, равное отношению числа исходов испытания, благоприятствующих событию (m) к числу всевозможных исходов испытания (n). Обозначается: P(A)=, P – вероятность случайного события, A – само событие.

Пример: 1) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании монеты. Два элементарных события: «выпадание орла» и «выпадание решки», значит n=2. Тогда вероятность события-«выпадание орла» равна P(A)=, где m=1.

2) Пусть эксперимент состоит в подбрасывании кости. Шесть элементарных событий: выпадание единицы на верхней грани кости, и т.д… Вероятность события «выпадание шести очков на грани кости» равна P(A)=, где m=1.

Определение 8. Событие (А и B), т. е. событие, состоящее в наступлении обоих событий А и B, называется произведением событий А и B и обозначается через

АB

Определение 9. Событие (А или B), т. е. событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и B, называется суммой событий А и B и обозначается через

А + B

Теорема сложения вероятностей (для попарно несовместимых событий): вероятность того, что произойдет хотя бы одно из попарно несовместимых событий, равна сумме вероятностей этих событий P(A+B+ C) = P(A) + P(B) + P(C).

Теорема произведения вероятностей (для попарно независимых событий): вероятность того, что произойдут одновременно независимые события, равна произведению вероятностей P(A•B) = P(A) • P(B).

6.2. Примеры решения задач

Задача 1. В двух коробках лежат карандаши. В первой коробке – 4 синих и 3 красных карандаша. Во второй коробке – 2 синих, 2 красных. Одновременно из двух коробок извлекают по одному карандашу. Найти вероятность того, что оба карандаша окажутся красными.

---

Решение: Пусть А- событие, что вынут красный карандаш из первой коробки. По классическому определению вероятности P(A)=, где m=3, так как благоприятных исхода 3- в первой коробке 3 красных карандаша, а всего карандашей 7, значит n=7. Пусть В – событие, что вынут красный карандаш из второй коробки. Аналогично, P(В)=. Тогда по теореме произведения вероятностей, так как события происходят одновременно P(A•B) = P(A) • P(B)= = .

Тема 7. Элементы математической статистики

7.1. Основные понятия

Математическая статистика – это раздел современной теории вероятностей, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования данных, полученных в результате экспериментов, для научных и практических выводов.

Определение 1. Генеральной совокупностью называется совокупность объектов, из которых производится выборка.

Определение 2. Выборкой называется совокупность случайно отобранных объектов.

Определение 3. Объемом выборки называется число объектов, заключенных в данной выборке, .

Определение 4. Вариационным рядом выборки называется способ ее записи, при которой элементы упорядочиваются по величине, т.е. записываются в виде последовательности, где первый элемент – наименьший, а последующий за ним больше предыдущего.

Определение 5. Если выборка содержит одинаковые элементы и элемент встречается в ней раз, то число называется частотой элемента .

Определение 6. Статистическим рядом (статистическим распределением выборки) называется перечень всех различных элементов выборки и соответствующих им частот:

			…
			…

Определение 7. Законом распределения выборки называется перечень всех различных элементов выборки и соответствующих им вероятностей:

			…
			…

- объем выборки, - количество одинаковых элементов .

Определение 8. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее значений на вероятности этих значений.

Обозначается: .

Определение 9. Выборочной средней вариационного ряда называется среднее арифметическое значение выборочной совокупности.

Обозначается: .

7.2. Примеры решения задач

Задача. В результате десяти опытов получена следующая выборка: 2,2,3,4,2,4, 6,6,6,6. Найти объем выборки, вариационный ряд выборки, статистический ряд выборки, закон распределения выборки, математическое ожидание и выборочную среднюю вариационного ряда.

Решение: Объем выборки равен 10, так как 10 элементов. Упорядочим элементы и получим вариационный ряд выборки: 2,2,2,3,4,4,6,6,6,6.

Статистический ряд выборки:

	2	3	4	6
	3	1	2	4

Закон распределения выборки:

	2	3	4	6

Математическое ожидание: .

Выборочная средняя вариационного ряда:

---

Контрольные задания

Таблица

№ варианта	№ задач	№ вариан та	№ задач	№ вар иан та	№ задач	№ варианта	№ задач	№ варианта	№ задач
01	1,6,13,20, 26,36,41	21	5,12,14, 22,26,36,41	41	1,11,13, 24,26,36,41	61	4,10,14, 24,26,36,41	81	1,9,19, 20,26,36,41
02	2,7,14,21, 27,37,42	22	4,6,15,23, 27,37,42	42	2,12,14, 25,27,37,42	62	5,11,15, 25,27,37,42	82	2,10,18, 21,27,37,42
03	3,8,15,22, 28,38,43	23	3,7,16,24, 28,38,43	43	3,6,15,20, 28,38,43	63	1,12,16, 20,28,38,43	83	3,11,17, 22,28,38,43
04	4,9,16,23, 29,39,44	24	2,8,17,25, 29,39,44	44	4,7,16,21, 29,39,44	64	2,6,17,21, 29,39,44	84	4,12,16, 23,29,39,44
05	5,10,17,24, 30,40,45	25	1,9,18,20, 30,40,45	45	5,8,17,22, 30,40,45	65	3,7,18,22, 30,40,45	85	5,6,15, 24,30,40,45
06	2,11,18,25, 31,36,46	26	4,10,19, 21,31,36,46	46	2,9,18,23, 31,36,46	66	4,8,19,23, 31,36,46	86	1,7,14, 25,31,36,46
07	3,12,19,20, 32,37,47	27	3,11,13, 22,32,37,47	47	3,10,19, 24,32,37,47	67	5,9,13,24, 32,37,47	87	2,8,13, 20,32,37,47
08	4,6,14,21, 33,38,48	28	2,12,19, 23,33,38,48	48	4,11,13, 25,33,38,48	68	1,10,14, 25,33,38,48	88	3,9,19, 21,33,38,48
09	5,7,15,22, 34,39,49	29	1,6,18,24, 34,39,49	49	5,12,14, 20,34,39,49	69	2,11,15, 20,34,39,49	89	4,10,18, 22,34,39,49
10	1,8,16,23, 35,40,50	30	5,7,17,25, 35,40,50	50	1,6,15,21, 35,40,50	70	3,12,16, 21,35,40,50	90	5,11,17, 23,35,40,50
11	3,9,17,24, 26,36,50	31	3,8,16,20, 26,36,50	51	3,7,16,22, 26,36,50	71	4,6,17,22, 26,36,50	91	1,12,16, 24,26,36,50
12	4,10,18,25, 27,37,49	32	2,9,15,21, 27,37,49	52	4,8,17,23, 27,37,49	72	5,7,18,23, 27,37,49	92	2,6,15, 25,27,37,49
13	5,11,19,20, 28,38,48	33	1,10,14, 22,28,38,48	53	5,9,18,24, 28,38,48	73	1,8,19,24, 28,38,48	93	3,7,14, 20,28,38,48
14	1,12,13,21, 29,39,47	34	5,11,19, 23,29,39,47	54	1,10,19, 25,29,39,47	74	2,9,13,25, 29,39,47	94	4,8,13, 21,29,39,47
15	2,6,15,22, 30,40,46	35	4,12,13, 24,30,40.46	55	2,11,15, 20,30,40,46	75	3,10,14, 20,30,40,46	95	5,9,19, 22,30,40,46
16	4,7,16,23, 31,36,45	36	2,6,14,25, 31,36,45	56	4,12,16, 21,31,36,45	76	5,11,15, 21,31,36,45	96	1,10,18, 23,31,36,45
17	5,8,17,24, 32,37,44	37	1,7,15,20, 32,37,44	57	5,6,17,22, 32,37,44	77	4,12,16, 22,32,37,44	97	2,11,17, 24,32,37,44
18	1,9,18,25, 33,38,43	38	5,8,16,21, 33,38,43	58	1,7,18,23, 33,38,43	78	3,6,17,23, 33,38,43	98	4,12,16, 25,33,38,43
19	2,10,19,20, 34,39,42	39	4,9,17,22, 34,39,42	59	2,8,19,24, 34,39,42	79	1,7,18,24, 34,39,42	99	5,6,15, 20,34,39,42
20	3,11,13,21, 35,40,41	40	3,10,18, 23,35,40,41	60	3,9,13,25, 35,40,41	80	2,8,19,25, 35,40,41	00	1,7,14, 21,35,40,41

Задачи 1-5 Теория множеств

Заданы множества и . Найти , , , .

1. Множества и .

2. Множества и .

3. Множества и .

4. Множества и .

5. Множества и .

---