Файл: Статистика-пособие.doc

Для выявления тренда (тенденции развития ряда) в нашей задаче построим график Y(t) (рис.4):

Рис.4. График динамики смертности от болезней системы кровообращения в РФ.

Из данного графика видно, что есть все основания принять уравнение тренда в виде линейной функции.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( – читается как «игрек, выравненный по t») от фактических ( ) дает метод наименьших квадратов – МНК. При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических уровней :

. (2)

В нашей задаче при выравнивании по прямой вида параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (2) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда . Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные:

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные – оставив в левой, получим систему нормальных уравнений:

(2)

где n – количество уровней ряда; t – порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y – уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно –1, –2, –3 и т.д., а следующие за средним (центральным) – соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают –1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому, система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(2)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой средний уровень ряда. Определим по формуле (2) параметры уравнения прямой, для чего исходные данные и все расчеты необходимых сумм представим в таблице 6.

Из таблицы получаем, что = 12070,2/10 = 1207,02 и = 4195/330 = 12,7121. Отсюда искомое уравнение тренда =1207,02+12,7121t. В 6-м столбце таблицы 6 приведены трендовые уровни, рассчитанные по этому уравнению. Для иллюстрации построим график эмпирических (маркеры-кружочки) и трендовых уровней (рис.5).

Рис.5. График эмпирических и трендовых уровней смертности от болезней системы кровообращения в РФ.

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда ( ) и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда. Оценку надежности проводят с помощью критерия Фишера, сравнивая его расчетное значение F_р с теоретическими значениями F_Т (приложение 1). При этом расчетный критерий Фишера определяется по формуле:

, (2)

где k – число параметров (членов) выбранного уравнения тренда; Д_А – аналитическая дисперсия, определяемая по формуле (2); Д_о – остаточная дисперсия (2), определяемая как разность фактической дисперсии Д_Ф (2) и аналитической дисперсии:

; (2)

; (2)

. (2)

Сравнение расчетного и теоретического значений критерия Фишера ведется обычно при уровне значимости с учетом степеней свободы и . Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой . При условии F_р > F_Т считается, что выбранная математическая модель ряда динамики адекватно отражает обнаруженный в нем тренд.

Таблица 6. Вспомогательные расчеты для решения задачи

Проверим тренд в нашей задаче на адекватность по формуле (2), для чего в 7-м столбце таблицы 6 рассчитан числитель остаточной дисперсии, а в 8-м столбце – числитель аналитической дисперсии. В формуле (2) можно использовать их числители, так как оба они делятся на число уровней n (n сократятся): F_Р = 53327,348*8/(16476,25*1) = 25,893 > F_Т, значит, модель адекватна и ее можно использовать для прогнозирования (F_Т= 5,32 находим по приложению 1 в 1-ом столбце [ = k – 1 = 1] и 8-й строке [ = n – k = 8]).

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле (2):

, (2)

где – точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда; – коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n–1 (приложение 2); – ошибка аппроксимации, определяемая по формуле (2):

, (2)

где и – соответственно фактические и теоретические (трендовые) значения уровней ряда динамики; n – число уровней ряда; k – число параметров (членов) в уравнении тренда.

Определим доверительный интервал в нашей задаче на 2005 год с уровнем значимости = (1–0,95) = 0,05. Для этого найдем ошибку аппроксимации по формуле (2): = = 45,38. Коэффициент доверия по распределению Стьюдента = 2,2622 при = 10 – 1=9.

Прогноз на 2005 с вероятностью 95% осуществим по формуле (2):

Y₂₀₀₅₌(1207,02+12,7121*11) 2,2622*45,38 или 1244,19<Y₂₀₀₅<1449,51 (тыс.чел.).

Контрольные задания по теме

По статистическим данным по России за 2000 – 2005 гг. вычислить: абсолютные, относительные, средние изменения и их темпы базисным и цепным способами. Проверить ряд на наличие в нем линейного тренда, на основе которого рассчитать интервальный прогноз на 2006 год с вероятностью 95%.

Тема 5. Индексы

Методические указания по теме

Задача 1. Имеются следующие данные о продажах торговой точкой двух видов товара:

Определить: 1) индивидуальные индексы цен, физического объема и выручки; 2) общие индексы цен, физического объема и выручки; 3) абсолютное изменение выручки за счет изменений цен, структурного сдвига и объемов продаж (для каждого фактора в отдельности) по всей продукции и по каждому товару в отдельности. По итогам расчетов сделать аргументированные выводы.

Решение. В основе решения задачи лежит формула (2):

Q = pq, (2)

где p – цена товара, q – физический объем (количество), Q – выручка (товарооборот).

Применив формулу (2) к нашей задаче, рассчитаем выручку по каждому товару в январе (Q_0j) и феврале (Q_1j) в таблице 7.

Таблица 7. Расчет выручки и ее изменения по каждому товару

Из таблицы видно, что абсолютное изменение общей выручки составило:

= ∑Q₁–∑Q₀ = 5880-5300 = 580 тыс. руб., то есть она выросла на 580 тыс. руб.

Общий индекс изменения выручки равняется:

= ∑Q₁/∑Q₀ = 5880/5300 = 1,1094, то есть выручка от продажи фруктов увеличилась в 1,1094 раза или на 10,94% в феврале по сравнению с январем.

Определим индивидуальные индексы цен (i_p), физического объема (i_q), выручки (i_Q) и доли товара (i_d) по формуле (2), используя в качестве X_i цены (p), физический объем (q), выручки (Q) и доли товара (d=q/∑q) каждого вида фруктов соответственно. Результаты расчетов представим в таблице 8.

Таблица 8. Расчет индивидуальных индексов

Правильность выполненных расчетов проверяется следующим образом:

1) общее изменение выручки должно равняться сумме ее частных (по каждому товару в отдельности) изменений: = 880+(-300) = 580 (тыс. руб.);

2) произведение факторных индивидуальных индексов по периодам должно равняться соответствующему индивидуальному индексу выручки: i_QА=1,6*0,9 =1,44; i_QБ= 0,8*1,136 = 0,909.

Из таблицы видно, что в феврале по сравнению с январем:

– количество проданных апельсинов увеличилось в 1,6 раза или на 60%, а бананов – уменьшилось в 0,8 раза или на 20%;

– цена апельсинов понизилась в 0,9 раза или на 10%, а бананов – повысилась в 1,136 раза или на 13,6%;

– выручка по апельсинам выросла в 1,44 раза или на 44%, а по бананам – снизилась в 0,909 раза или на 9,1%;

– доля проданных апельсинов увеличилась в 1,429 раза или на 42,9%, а бананов – уменьшилась в 0,714 раза или на 28,6%.

Агрегатный общий индекс физического объема Ласпейреса определяется по формуле Error: Reference source not found:

=(2)

В нашей задаче = = 5840/5300 = 1,10189, то есть количество проданных фруктов в базисных (январских) ценах выросло в 1,10189 раза или на 10,189% в феврале по сравнению с январем.

Агрегатный общий индекс цен Пааше рассчитывается по формуле Error: Reference source not found:

=(2)

В нашей задаче = = 5880/5840 = 1,00685, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж отчетного (февральского) периода выросла в 1,00685 раза или на 0,685% в феврале по сравнению с январем.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,10189*1,00685 = 1,1094.

Агрегатный общий индекс цен Ласпейреса вычисляется по формуле Error: Reference source not found:

=(2)

В нашей задаче = = 5550/5300 = 1,04717, то есть цена проданных фруктов при объемах продаж базисного (январского) периода выросла в 1,04717 раза или на 4,717% в феврале по сравнению с январем.

Агрегатный общий количественный индекс Пааше рассчитывается по формуле Error: Reference source not found:

=(2)

В нашей задаче = 5880/5550 =1,05946, то есть количество проданных фруктов в отчетных (февральских) ценах выросло в 1,05946 раза или на 5,946% в феврале по сравнению с январем.

Контроль осуществляется по формуле: I_Q = = 1,04717*1,05946 =1,1094.

Средняя геометрическая величина определяется из индексов Ласпейреса и Пааше (по методике Фишера) по формуле (2) для количества товаров и по формуле (2) – для цен:

=(2) =(2)

В нашей задаче = =1,0805, то есть в среднем количество проданных фруктов выросло в 1,0805 раза или на 8,05%; = =1,0268, то есть в среднем цена проданных фруктов выросла в 1,0268 раза или на 2,68%.

Далее выполняется факторный анализ общей выручки. В его основе лежит следующая трехфакторная мультипликативная модель выручки:

I_Q = , (2)

где = , – индекс структурных сдвигов, показывающий как изменилась выручка под влиянием фактора изменения долей проданных фруктов в отчетном периоде по сравнению с базисным периодом. Он определяется по формуле (2):

= = . (2)

В нашей задаче = = 0,9838, то есть структурный сдвиг должен был уменьшить отчетную выручку в базисных ценах в 0,9838 раза или на 1,62%.

Тогда изменение выручки за счет изменения общего количества фруктов определяется по формуле (2):

= . (2)

В нашей задаче = (1,12-1)*5300 = 636 (тыс. руб.), то есть изменение количества проданных фруктов увеличило выручку на 636 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет структурных сдвигов находится по формуле (2):

= . (2)

В нашей задаче = 1,12*(0,9838-1)*5300 = –96 (тыс. руб.), то есть структурный сдвиг в количестве проданных фруктов уменьшил выручку на 96 тыс. руб.

Изменение общей выручки за счет изменения отпускных цен рассчитывается по формуле (2):

= . (2)

В нашей задаче =1,12*0,9838*(1,00685-1)*5300 = 40 (тыс. руб.), то есть изменение цен на фрукты увеличило выручку на 40 тыс. руб.

Контроль правильности расчетов производится по формуле (2), согласно которой общее изменение выручки равно сумме ее изменений за счет каждого фактора в отдельности.