МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

Запорізький національний технічний університет

Спектральний аналіз сигналів і кіл

Методичні вказівки

до лабораторних| робіт з дисципліни

«Основи теорії кіл, сигналів та процесів»

для студентів спеціальностей 7.160103 – «Системи захисту| від несанкціонованого доступу», 7.160105 – «Захист інформації у комп’ютерних| системах та мережах»

усіх форм навчання|

2007

Спектральний аналіз сигналів і кіл. Методичні вказівки до лабораторних| робіт з дисципліни «Основи теорії кіл, сигналів та процесів» для студентів спеціальностей 7.160103 – «Системи захисту| від несанкціонованого доступу», 7.160105 – «Захист інформації у комп’ютерних| системах та мережах» усіх форм навчання| /Укл: Л.М. Карпуков, - Запоріжжя: ЗНТУ|, 2007. - с. 62.

Укладач: Л.М. Карпуков, професор|, д.т.н.

Рецензент: С.М. Романенко, доцент, к.ф.-м.н.

Відповідальний за випуск|: Л.М. Карпуков

Затверджено

На засіданні кафедри

захисту інформації

Протокол № 7 від 18.04. 2007р.

ЗМІСТ

Вступ. Загальна характеристика циклу лабораторних| робіт ……..4

1. Лабораторна робота № 1 Спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу ……………………………………………….4

2. Лабораторна робота № 2 Спектральний метод аналізу лінійних кіл при періодичних вхідних діях …………………………………14

3. Лабораторна робота № 3 Дослідження сигналів з використанням швидкого перетворення Фур’є …………………..24

4. Лабораторна робота № 4 Операторний метод аналізу сигналів на основі швидкого перетворення Фур’є …………………………31

5. Лабораторна робота № 5 Операторний метод аналізу лінійних кіл на основі швидкого перетворення Фур’є ……………………..36

6. Лабораторна робота №6 Моделювання і аналіз лінійних цифрових фільтрів …………………………………… ……………44

Список літературних джерел ………………………………………55

Додаток А Інтерфейс системи MATHCAD ……………………….55

Загальна характеристика циклу лабораторних| робіт

Цикл лабораторних робіт присвячено вивченню математичних методів, використовуваних для вирішення основних завдань спектрального аналізу аналогових і дискретних сигналів та аналізу лінійних аналогових і дискретних ланцюгів.

Завдання, сформульовані в лабораторних роботах, містять:

- спектральний аналіз і синтез періодичних аналогових сигналів на основі тригонометричних рядів Фур’є;

- спектральний аналіз лінійних аналогових ланцюгів;

- операторний аналіз і синтез аналогових сигналів на основі прямого і зворотного інтегральних перетворень Лапласа;

- операторний аналіз лінійних аналогових кіл на основі інтегральних перетворень Лапласа;

- аналіз сигналів і кіл на основі дискретного перетворення Фур’є;

- аналіз сигналів і кіл на основі швидкого перетворення Фур’є;

- складання різністного рівняння і передавальної функції лінійного цифрового фільтру (ЛЦФ|) на основі аналогового прототипу;

---

- аналіз ЛЦФ| шляхом рішення різністного рівняння;

- аналіз ЛЦФ| за допомогою z-перетворення;

- моделювання перехідної і імпульсної характеристик лінійних аналогових і дискретних кіл;

- аналіз лінійних аналогових і дискретних кіл методом інтеграла згортки.

Лабораторні роботи виконуються з використанням системи математичного моделювання MATHCAD, опис основних функцій якої приведений у Додатку.

Лабораторна робота №1

Спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу

Мета роботи – вивчення методів спектрального аналізу і синтезу періодичних сигналів з використанням тригонометричних рядів Фур’є.

Теоретичні відомості

Сигнал , що задовольняє умові

(1.1)

називається періодичним, а інтервал часу Т – періодом сигналу. Приклад періодичного сигналу у вигляді послідовності прямокутних імпульсів тривалістю τ і висотою h приведений на рис. 1.

Р
исунок 1.1

Важливою характеристикою сигналу є його енергія. Для періодичного сигналу енергія визначається по співвідношенню:

. (1.2)

Періодичний сигнал, який має кінцеве значення енергії, може бути розкладений у ряд Фур’є. Формули розкладання сигналу в ряд Фур’є для тригонометричного базису мають наступний вигляд:

, (1.3)

, (1.4)

де - кутова частота періодичної послідовності імпульсів.

Коефіцієнти рядів обчислюються за співвідношеннями:

, (1.5)

, (1.6)

, (1.7)

де , . (1.8)

Данні формули приведені для функції u(t) загального виду.

В випадку коли функція u(t) парна, тобто u(t) = u(-t), то

a _n = c _n.

Якщо функція u(t) непарна, тобто u(t) = - u(-t) , то

а ₀ = 0, a _n = s _n.

Коефіцієнти ряду (1.4) називаються гармоніками спектру сигналу. Коефіцієнт - це амплітуда, а коефіцієнт - фаза n-й гармоніки спектру. Набір гармонік утворює спектр сигналу. Розрізняють амплітудно-частотний спектр, представлений діаграмою, складеною з амплітуд гармонік набору, а також фазочастотний спектр у вигляді діаграми, складеної з фаз гармонік.

Аналіз спектру сигналу виконується за співвідношеннями (1.5) – (1.8). Синтез сигналу за його спектром здійснюється за співвідношеннями (1.3), (1.4). При синтезі ряди Фур’є складаються з кінцевого числа членів. Число членів N ряду визначається по ефективній ширині спектру сигналу. Ефективна ширина спектру – це інтервал частот, у якому зосереджене 90% енергії сигналу. По відомому спектру сигналу його потужність можна обчислити по співвідношенню Парсеваля:

, (1.9)

де Р- потужність сигналу,

- потужність постійної складової спектру,

- потужність n-й гармоніки спектру.

Спектр, складений з потужностей P₀, P_n називається енергетичним спектром сигналу.

На підставі співвідношення (1.9) число членів ряду N, що визначає ефективну ширину спектру

, (1.10)

обчислюється з умови:

. (1.11)

Лабораторне завдання

Розробити програму і виконати спектральний аналіз і синтез періодичного сигналу, складеного з імпульсів заданої форми. Варіанти завдань приведені в табл. 1.1.

---

Таблиця 1.1

Цифри номери	Останні 3-и цифри N-значного номера студентського квитка
	(N-2)-а цифра	(N-1)-а цифра		N-а цифра
	Період Т (мсек|)	Тривалість імпульсу  (мсек|)		Форма імпульсу
0	2τ	1.0	Рис. 1.2
1	2.5	1.5	Рис. 1.3
2	3τ	2.0	Рис. 1.4
3	3.5	2.5	Рис.1.5
4	4τ	3.0	Рис. 1.6
5	4.5	3.5	Рис. 1.7
6	5τ	4.0	Рис. 1.8
7	5.5	4.5	Рис. 1.9
8	6τ	5.0	Рис. 1.10
9	6.5	5.5	Рис. 1.11

Варіанти форм імпульсів з висотою, рівною 1, представлені на рис.1.2 ‑ 1.11.

Рисунок 1.2 Рисунок 1.3

Рисунок 1.4 Рисунок 1.5

Рисунок 1.6 Рисунок 1.7

Рисунок 1.8 Рисунок 1.9

Рисунок 1.10 Рисунок 1.11

Математичний опис імпульсів має наступний вигляд.

Для рис. 1.2:

(1.12)

Для рис. 1.3:

(1.13)

Для рис. 1.4:

(1.14)

Для рис. 1.5:

(1.15)

Для рис. 1.6:

(1.16)

Для рис. 1.7:

(1.17)

Для рис. 1.8:

(1.18)

Для рис. 1.9:

(1.19)

Для рис. 1.10:

(1.20)

Для рис. 1.11:

(1.21)

У лабораторній роботі потрібно:

1. Визначити за співвідношеннями (1.5) - (1.8) амплітуди і фази гармонік спектру сигналу, узявши число членів ряду Фур’є N=20.

2. Побудувати діаграму для амплітудно-частотного і фазо-частотного спектрів.

3. Скласти таблицю потужностей гармонік і побудувати діаграму для енергетичного спектру.

4. Визначити ефективну ширину спектру.

5. Синтезувати сигнал за його спектром для різного числа членів ряду: N=4, 10, 20. Для кожного варіанту побудувати на одному полі графік початкового сигналу і графік синтезованого сигналу .

6. Повторити п.п. 1, 2 при N=20 при зменшеній удвічі тривалості імпульсу.

7. Повторити п.п. 1, 2 при N=20 при збільшеному удвічі періоді Т.

При виконанні 1-го пункту завдання необхідно описати форму імпульсу за допомогою операторів програмного блоку.

При програмуванні формул (1.5) - (1.7), (1.11) інтеграцію для підвищення точності обчислень слід брати в межах дії імпульсу.

При виконанні 6-го пункту завдання слід до потужності постійної складової P₀ послідовно додавати потужності гармонік, починаючи з першої, до тих пір, поки не виконається умова (1.11).

При побудові графіків зміну за часом узяти в межах періоду, від –Т/2 до T/2.

Наприклад, фрагменти програми спектрального аналізу і синтезу прямокутного імпульсу висотою матимуть наступний вигляд:

Завдання форми сигналу

Аналіз спектру сигналу

Синтез сигналу за його спектром

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення. Рисунок і опис досліджуваного періодичного сигналу.

2. Діаграми амплітудно-частотного і фазо-частотного спектрів при числі членів ряду Фур’є N = 20.

3. Діаграма енергетичного спектру сигналу.

4. Графіки з результатами досліджень впливу на форму відновлюваного сигналу кількості гармонік, що враховуються в спектрі (N=5, 10, 20).

5. Діаграма амплітудного спектру при зменшеній удвічі тривалості імпульсу.

6. Діаграма амплітудного спектру при збільшеному удвічі періоді сигналу.

7. Висновки по виконаній роботі.

---

Контрольні питання

1. Умова, необхідна для розкладання періодичного сигналу в ряд Фур’є.

2. Умова періодичності сигналу.

3. Формули розкладання сигналу в ряд Фур’є по тригонометричному базису.

4. Формули для розрахунку коефіцієнтів ряду Фур’є.

5. Як спроститься розрахунок коефіцієнтів ряду Фур’є уразі аналізу парних або непарних функцій?

6. Що таке спектр сигналу, гармоніки спектру?

7. Як визначається ефективна ширина спектру?

8. Як визначається потужність складових спектру?

9. Що таке енергетичний спектр?

10. Що таке огинаюча спектру?

11. Як зміниться спектр при зміні періоду проходження сигналу?

12. Як зміниться спектр при зміні тривалості імпульсу?

Лабораторна робота №2

Спектральний метод аналізу

лінійних кіл при періодичних вхідних діях

Мета роботи – вивчення методу спектрального аналізу стаціонарного режиму в лінійних колах при вхідних діях у вигляді періодичних сигналів.

Теоретичні відомості

Спектральний метод аналізу лінійних кіл при вхідній дії, що є періодичним сигналом складної форми, включає наступні процедури:

1. Розкладання вхідного сигналу в ряд Фур’є з визначенням амплітуд і фаз гармонік спектру сигналу.

2. Визначення за методом комплексних амплітуд комплексного коефіцієнта передачі досліджуваному кола.

3. Знаходження по комплексному коефіцієнту передачі реакції кола на вхідну дії у вигляді гармоніки спектру сигналу.

4. Визначення вихідної реакції кола шляхом підсумовування реакцій від гармонік спектру сигналу.

При визначенні гармонік спектру вхідного періодичного сигналу використовується ряд Фур’є у формі (1.3), члени якого виражаються через комплексні амплітуди:

, (2.1)

де ; - комплексна амплітуда гармоніки спектру; - уявна одиниця.

Аналіз кола по методу комплексних амплітуд зводиться до визначення комплексного коефіцієнта передачі на частоті :

. (2.2)

Тут - комплексна амплітуда гармонійного коливання на вході кола, - комплексна амплітуда гармонійного коливання на виході кола.

Комплексний коефіцієнт передачі може бути представлений у вигляді:

, (2.3)

де - модуль, - аргумент (фаза) комплексного коефіцієнта передачі.

Залежність модуля комплексного коефіцієнта передачі від частоти називається амплітудно-частотною характеристикою кола (АЧХ|). Залежність аргументу комплексного коефіцієнта передачі від частоти називається фазо-частотною характеристикою кола (ФЧХ|).

При відомому комплексному коефіцієнті передачі кола його реакція на вхідну дію

(2.4)

відповідне n-й гармоніці спектру сигналу, обчислюється таким чином:

. (2.5)

Тут - модуль, - фаза вихідного гармонійного сигналу.

Відповідно до принципу накладення реакція на виході лінійного кола буде рівна сумі реакцій від вхідних дій, складаючих ряд (2.1):

. (2.6)

У частотній області амплітуди, утворюють амплітудно-частотний спектр, фази - фазо-частотний спектр вихідного сигналу.

---

Лабораторне завдання

Розробити програму і виконати аналіз лінійного кола спектральним методом при вхідному імпульсному періодичному сигналі, заданому в лабораторній роботі №1. Імпульс визначити на інтервалі . Варіанти схем кола і значень параметрів її елементів приведені в табл. 2.1. Схеми кіл зображені на рис. 2.1 – 2.4.

Таблиця 2.1

Цифри номери	Останні 3-и цифри N-значного номера студентського квитка
	(N-2)-а цифра	(N-1)-а цифра	N-а цифра
	С(мкФ|) L(мГн|)	R(кОм|)	Схема
0	1	0.1	Рис. 2.1
1	1.5	0.15	Рис. 2.2
2	2	0.2	Рис. 2.3
3	2.5	0.25	Рис. 2.4
4	3	0.3	Рис. 2.1
5	3.5	0.35	Рис. 2.2
6	4	0.4	Рис. 2.3
7	4.5	0.45	Рис. 2.4
8	5	0.5	Рис. 2.1
9	5.5	0.55	Рис. 2.2

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

У лабораторній роботі потрібно:

1. За даними лабораторної роботи №1 визначити комплексні амплітуди гармонік спектру вхідного сигналу, узявши число членів ряду (2.1) рівним N=20.

2. Визначити постійну часу і комплексний коефіцієнт передачі кола.

3. Визначити комплексні амплітуди гармонік і постійну складову спектру вихідного сигналу.

4. Побудувати графіки амплітудного і фазового спектрів вхідного і вихідного сигналів, а також амплітудно-частотну і фазо-частотну характеристики коефіцієнта передачі кола.

5. Побудувати графіки амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик коефіцієнта передачі кола.

6. По формулі (2.6) визначити тимчасову залежність вихідного сигналу.

7. Побудувати на одному графіку залежності і в межах періоду Т.

При виконанні 1-го пункту завдання імпульс задати в інтервалі .

При програмуванні формул (1.5) - (1.7) інтеграцію для підвищення точності обчислень слід брати в межах дії імпульсу.

Наприклад, фрагменти програми дослідження проходження прямокутного імпульсу через лінійний коло спектральним методом матиме наступний вигляд:

Визначення спектру вхідного сигналу

Синтез вхідного сигналу за його спектром

Побудова АЧХ| і ФЧХ| коефіцієнта передачі

Обчислення спектру вихідного сигналу

Синтез вихідного сигналу за його спектром

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення. Рисунок і опис вхідного сигналу, схема досліджуваного кола.

2. Графіки амплітудно-частотного і фазо-частотного спектру вхідного сигналу.

3. Графіки амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик коефіцієнта передачі кола.

4. Графіки амплітудно-частотного і фазо-частотного спектру вихідного сигналу.

5. Графік вихідного сигналу.

6. Висновки по виконаній роботі.

---

Смотрите также файлы

• Документ Microsoft Office Word (10).docx

• Seminar_rossia_v_nachale_20_veka.doc

• ЛР №11.doc

• Publisher.doc

• Мультимедиа_конспект.doc