Контрольні питання

1. Пояснити алгоритм операторного методу аналізу лінійних кіл.

2. Отримайте зображення по Лапласу одиничної ступінчастої функції (функції Хевісайда).

3. Отримайте зображення по Лапласу імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

4. Основні властивості імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

5. Дайте визначення перехідної характеристики. Зв'язок перехідної характеристики з передавальною функцією кола.

6. Дайте визначення імпульсної характеристики. Зв'язок імпульсної характеристики з передавальною функцією кола.

7. Запишіть і поясніть формулу згортки для аналогового сигналу.

8. Запишіть і поясніть формулу згортки для дискретного сигналу.

9. Пояснити, як визначається постійна σ і інтервал дискретизації сигналу.

10. Пояснити, як розраховується крок дискретизації при використанні БПФ.

Лабораторна робота № 6

Моделювання і аналіз лінійних цифрових фільтрів

Мета роботи – вивчення методів складання і аналізу математичних моделей лінійних цифрових фільтрів.

Теоретичні відомості

Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ) - це лінійні дискретні схеми, призначені для обробки дискретних сигналів в дискретній формі. Модель ЛЦФ може бути представлена у вигляді різністного рівняння або у графічній формі у вигляді структурної схеми. Властивості ЛЦФ можуть бути описані за допомогою передавальної функції, а також за допомогою імпульсної або перехідної характеристик.

Різністні рівняння - це аналог диференціальних рівнянь, які є математичними моделями аналогових схем, складених з LCR-елементів. Різницеве рівняння зазвичай отримують шляхом алгебраїзації| диференціального рівняння аналогового прототипу цифрового фільтру. Алгебраїзация - це перетворення диференціального рівняння в рівняння алгебри (різницеве) в результаті застосування того або іншого чисельного методу рішення диференціальних рівнянь. Наприклад, для RC-кола на рис.2.3, що є простим фільтром низьких частот, диференціальне рівняння має наступний вигляд:

, (6.1)

де - вхідний сигнал, - постійна часу кола.

Перетворимо це диференціальне рівняння в різністне, наприклад, за допомогою явного методу Ейлера. Відповідно до цього методу диференціальне рівняння вигляду

(6.2)

приблизно замінюється різницевим рівнянням

. (6.3)

Тут використана проста апроксимація похідної кінцевими різницями:

, (6.4)

де , – дискретні значення функції для моментів часу і - крок дискретизації. Права частина диференціального рівняння (6.2) береться для моменту часу .

Перетворивши (6.1) на підставі (6.3), отримаємо різністне рівняння ЛЦФ, відповідне даному RC-колу:

. (6.5)

Тут використано позначення: .

Явний метод Ейлера має обмеження на величину кроку . Для даного RC-кола крок вибирається з умови .

Різністне рівняння повинне бути доповнене початковими умовами. Для рівняння (6.5) початкова умова при нульових початкових умов задається у вигляді .

---

Рішення різністних рівнянь виконується рекурсивно, крок за кроком. Наприклад, рішення рівняння (6.5) за нульових початкових умов представляється у вигляді послідовності наступних кроків:

(6.6)

По різницевому рівнянню ЛЦФ можна скласти його структурну схему і, навпаки, по структурній схемі фільтру можна отримати різністне рівняння. При побудові структурних схем ЛЦФ зазвичай використовуються наступні базові елементи:

- суматор ;

- підсилювач (α>1) або ослаблювач (α<1) ;

- ланка запізнювання .

З використанням даних базових елементів структурна схема ЛЦФ, складена по різністному рівнянню (6.5), має вигляд, показаний на рис. 6.1.

Рисунок 6.1

Для складання передавальних функцій ЛЦФ використовується z-перетворення, що є різновидом дискретного перетворення Лапласа. Передавальна функція ЛЦФ – це відношення z-зображення вихідного сигналу фільтру до z-зображення вхідного сигналу :

. (6.6)

Для отримання z-зображення до дискретного сигналу

(6.7)

застосовують перетворення Лапласа:

. (6.8)

Тут - дельта - функція Дирака.

Потім оператора замінюють оператором z і отримують формулу прямого z-перетворення:

. (6.9)

Відзначимо, що заміна в перетворенні Лапласа комплексної частоти p змінної z, здійснює відображення лівої напівплощини комплексної площини за змінною p у середину круга одиничного радіусу, розташованого в центрі на комплексній площині за змінною z.

Ряд (6.7) є ряд Лорана, тому по теоремі Коші формула зворотного z-перетворення набуває наступного вигляду:

. (6.10)

Інтеграція тут проводиться по контуру ξ, що охоплює все p полюсів функції .

Алгоритм аналізу ЛЦФ за допомогою z-перетворення включає наступні етапи.

1. Знаходження z-зображення вхідного дискретного сигналу :

. (6.11)

2. Складання передавальної функції ЛЦФ.

3. Знаходження z-зображення вихідного дискретного сигналу:

. (6.12)

4. Знаходження вихідного дискретного сигналу по його z-зображенню :

. (6.13)

Тут Z, Z^-1 – оператори прямого і зворотного z-перетворення.

При складанні передавальної функції ЛЦФ по передавальній функції аналогового прототипу використовуються різні апроксимації оператора p оператором . При лінійному перетворенні має місце наступна апроксимація:

. (6.14)

При білінійному перетворенні:

. (6.15)

Ці співвідношення отримані в результаті розкладання експоненти у степінний ряд, представлений першими двома членами:

. (6.16)

Наприклад, RC-коло на рис. 2.3 з передавальною функцією

(6.17)

у разі лінійного перетворення (6.14) відповідатиме ЛЦФ з передавальною функцією

, (6.18)

де , .

По передавальній функції і зображенню вхідного сигналу можна скласти z-зображення різністного рівняння. Наприклад, для передавальної функції (6.18) в результаті множення лівої і правої частин виразу (6.12) на знаменник можна отримати:

. (6.19)

Цьому рівнянню алгебри з урахуванням теореми запізнювання:

---

(6.20)

відповідатиме різністне рівняння даного ЛЦФ:

. (6.21)

Імпульсна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:

. (6.22)

Наприклад, імпульсна характеристика ЛЦФ з передавальної функції (6.18) може бути отримана з рішення наступного різністного рівняння:

, (6.23)

де

По відомій імпульсній характеристиці за допомогою інтеграла згортки обчислюється реакція ЛЦФ на вхідний сигнал :

. (6.24)

Перехідна характеристика ЛЦФ визначається по співвідношенню:

. (6.25)

Тут - зображення дискретної одиничної ступінчастої функції.

Лабораторне завдання

1. Скласти різністне рівняння ЛЦФ по диференціальному рівнянню кола, заданого в лабораторній роботі №2, застосувавши для процедури алгебраізації явний метод Ейлера, формула (6.3). Скласти по різністному рівнянню структурну схему ЛЦФ.

2. Скласти програму і виконати за допомогою різністного рівняння розрахунок реакції ЛЦФ на вхідну дію, задану в лабораторній роботі №1. При рішенні різністного рівняння використовувати нульові початкові умови. Вхідну дію визначити на інтервалі [0, τ].

3. Скласти передавальну функцію ЛЦФ за передавальною функцією аналогового прототипу фільтру, скориставшись лінійним перетворенням (6.14).

4. Скласти програму і виконати аналіз ЛЦФ методом z-перетворення, формули (6.11) – (6.13) і (6.19) –(6.21).

5. Скласти програму для розрахунку імпульсної характеристики ЛЦФ по співвідношенню (6.22), а також реакції фільтру на вхідну дію методом інтеграла згортки, формула (6.24).

При складанні програм аналізу ЛЦФ можна скористатися фрагментами програми моделювання і дослідження реакції цифрового прототипу аналогового RC-фільтру низьких частот (см. рис. 2.3) на вхідну дію у вигляді дискретного сигналу прямокутної форми.

Дискретизація аналогового сигналу

Рішення різністного рівняння, складеного за диференціальним рівнянням аналогового прототипу фільтру

Рішення різністного рівняння, складеного по передавальній функції аналогового прототипу фільтру

Складання імпульсної характеристики і аналіз ЛЦФ методом інтеграла згортки

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості, схема ЛЦФ, розрахункові співвідношення, різністни рівняння, передавальні функції.

2. Графіки за результатами розрахунку реакції ЛЦФ на вхідний сигнал по різністному рівнянню, складеному за диференціальним рівнянням аналогового прототипу.

3. Графіки з реакцією ЛЦФ на вхідний сигнал, розрахованої за допомогою різністного рівняння, що складено по передавальній функції аналогового прототипу.

4. Графіки імпульсної характеристики і результати розрахунку реакції ЛЦФ на вхідний сигнал, розрахованої за допомогою інтеграла згортки.

5. Висновки по виконаній роботі.

Контрольні питання

1. Лінійні цифрові фільтри (ЛЦФ). Визначення, способи моделювання і опису їх властивостей.

2. Різницеві рівняння, визначення, способи складання.

3. Приклад складання різницевого рівняння по диференціальному рівнянню.

4. Явний метод Ейлера рішення диференціального рівняння.

5. Вибір кроку рішення по явному методу Ейлера, якщо відома постійна часу RC - або RL – кола.

6. Приклад рішення різницевого рівняння.

7. Елементна база для складання схем ЛЦФ.

8. Приклад складання схеми ЛЦФ.

9. Передавальна функція ЛЦФ, визначення.

10. Методика отримання z-зображення дискретного сигналу. Формула прямого z-перетворення.

11. Методика отримання дискретного сигналу по z-зображенню. Формула зворотного z-перетворення.

12. Алгоритм аналізу ЛЦФ методом z-перетворення.

13. Отримання передавальної функції ЛЦФ по передавальній функції аналогового прототипу за допомогою лінійного перетворення.

14. Отримання передавальної функції ЛЦФ по передавальній функції аналогового прототипу за допомогою білінійного перетворення.

15. Приклад складання по .

16. Теорема запізнювання для z-перетворення.

17. Імпульсна і одинична ступінчаста функції, їх z-зображення.

18. Зв'язок імпульсної і одиничної ступінчастої функцій з передавальною функцією ЛЦФ|.

---

Список літературних джерел

1. Корсаков В.В., Крылов С.Я. Основы теории цепей для системотехников.- М.: Высшая школа, 1990. - 224 с.

2. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 2000. - 486 с.

3. Зиновьев А.Л., Филиппов Л.И. Введение в теорию сигналов и цепей. - М.: Высшая школа, 1988. - 198 с.

4. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. - М.: Высшая школа, 1988. - 394 с.

5. Бобало Ю.А. та інш. Основи радіоелектроніки.: Навчальний посібник. /За ред. Б.А. Мандзія – Львів, В-во НУ «Львівська політехніка», 2002.-.456 с.

Додаток А. Інтерфейс системи MATHCAD

Призначений для користувача інтерфейс системи MATHCAD - це набір графічних методів, що дозволяють легко управляти системою, використовуючи мишку або клавіатуру.

Інтерфейс системи представлено на рис. А.1. Він складається із стандартних елементів ОС Windows, що включають:

• поточне вікно;

• головне меню;

• панель інструментів;

• вбудований текстовий редактор;

• рядок стану.

Перший рядок на рис. А.1 – заголовок вікна, що містить ім'я відкритого або створеного документа у вікні редактора. Після знаку двокрапки в заголовку указується номер документа відкритого в системі MATHCAD.

Рисунок А.1 – Робоче вікно системи MATHCAD

Другий рядок містить головне меню.

Третій і четвертий рядки – панелі інструментів Standard і Formatting, що забезпечують швидкий доступ до основних операцій при роботі з файлами, робочими листами і документами.

Четвертий рядок – панель інструментів Math (Математика). Містить набір піктограм (ікон), що забезпечують відкриття панелей для введення в робочий лист шаблонів математичних операторів і символів математичних операцій.

П'ятий рядок – рядок стану, він знаходиться в нижній частині вікна, в ньому указується поточний стан системи і виводяться різні підказки.

П.1 Основні правила створення текстових і обчислювальних блоків

Система MATHCAD містить текстовий, формульний| і графічний редактори. Кожен з цих редакторів призначений для програмування блоків відповідного типу.

Звернення до блоків в процесі обчислень проводиться строго у певному порядку – построково зверху вниз.

Перед складанням блоку необхідно встановити курсор у вигляді червоного хрестика у вільне місце екрану.

Види курсорів:

• маленький червоний хрестик – цей тип курсору показує місце, з якого можна почати побудову блоку, він активізується тільки поза блоком, тобто на вільній області екрану;

• лінія (маркер), показує місце введення;

• кутовий курсор, використовується для позначення окремих частин в блоці обчислення.

Текстовий блок. Текстовий блок використовується для складання коментарів до обчислень. Для створення текстового блоку слід натиснути кнопку “ на клавіатурі або скористатися командою меню Insert/Test Region. Установка параметрів шрифтів проводиться за допомогою меню Format.

Меню Insert/Math Region дозволяє вставляти формули в текстову область.

---

Обчислювальний блок. Для введення формул досить встановити курсор у вигляді червоного хрестика у вільне місце екрану. Кожна формула – окремий обчислювальний блок. Одна формула може бути розташована в декількох рядках. Перехід на наступний рядок забезпечується натисненням клавіш CTRL+ENTER.

Для побудови графіків слід встановити курсор у вигляді червоного хрестика у вільне місце екрану і скористатися панеллю інструментів Graph (Графіки).

П.2 Панель інструментів Math (Математика)

– Calculator (Арифметика).

– Evaluation (Рівність).

– Graph (Графіки).

– Matrix (Матриці).

– Calculus (Математичний аналіз).

– Boolean (Логіка).

– Programming (Програмування).

– Greek (Грецький алфавіт).

– Symbolic (Символьні обчислення).

П .2.1 Calculator (Арифметика)

• sin(x),cos(x),tan(x) - тригонометричні функції;

• ln(x), log(x) – натуральний і десятковий логарифми;

• n! - факторіал цілого числа

• i - уявна одиниця;

• |x| - абсолютне значення числа;

• - квадратний корінь з числа;

• - корінь n-ого ступеня з числа;

• - експонента;

• - зворотне значення числа;

• ( ) - відкриваюча і закриваюча дужки;

• - квадрат числа;

• - ступінь числа;

• - шаблон для операції множення на дріб;

• := - знак локального привласнення змінній значення;

• = - знак виведення результату.

П.2.2 Evaluation (Рівність)

• = - знак виведення результату;

• := - знак локального привласнення змінній значення;

• - знак глобального привласнення змінній значення;

• - знак рівності при символьних обчисленнях;

•  - знак рівності при символьних обчисленнях з використанням ключового слова;

• fx, xf, xfy, xfy — кнопки завдання власних операторів.

1.2.3 Matrix (Матриці)

• - вставка матриці або вектора (номер індексу першого елементу вектора або матриці задається за допомогою службової змінної ORIGIN, за умовчанням її значення рівне 0, тобто нумерація елементів починається з нуля);

• - вказівка значення індексу елементу вектора (для вказівки індексів рядка і стовпця елементу матриці їх значення записуються через кому);

• - обчислення зворотної матриці;

• - обчислення визначника матриці;

• - векторизація матриці М, тобто виконання заданої скалярної операції над всіма елементами матриці;

• - виділення стовпця матриці;

• – транспонування матриці;

• n..m - інтервал зміни значень змінних і індексів.

П.2.4 Calculus (Математичний аналіз)

• - обчислення похідної функції першого і n-го порядків, функція вказується у верхній позначці, аргумент - у нижній|, порядок - у середній позначці;

• — символ нескінченності;

• - невизначений і визначений інтеграли;

• - обчислення суми математичного виразу за змінною, ім'я якої вказується в нижній позначці, межі підсумовування задаються в робочому листі або в нижній і верхній позначках;

• - обчислення помноження математичного виразу за змінною, ім'я якої вказується у нижній позначці, межі помноження задаються в робочому листі або в нижній і верхній позначках;

• - обчислення межі функції в точці, а також правосторонньої і лівобічної меж.

---

Смотрите также файлы

• Документ Microsoft Office Word (10).docx

• Seminar_rossia_v_nachale_20_veka.doc

• ЛР №11.doc

• Publisher.doc

• Мультимедиа_конспект.doc