Контрольні питання

1. Пояснити алгоритм спектрального методу аналізу лінійних кіл.

2. Як обчислюються комплексні амплітуди спектру сигналу?

3. Складіть ряд Фур’є у формі, зручній для спектрального методу аналізу кіл.

4. Яким чином можуть бути представлені комплексні числа? Пояснити перехід з однієї форми запису в іншу.

5. Пояснити метод комплексних амплітуд аналізу кіл при гармонійній дії.

6. Дайте визначення комплексного коефіцієнта передачі кола.

7. Що таке АЧХ| і ФЧХ| кола?

8. Як визначаються комплексні амплітуди гармонік спектру вихідного сигналу?

9. Як обчислюється залежність вихідного сигналу від часу за його спектром в спектральному методі аналізу кіл?

10. Виведіть формулу для комплексного коефіцієнта передачі досліджуваного кола?

Лабораторна робота №3

Дослідження сигналів з використанням швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики спектрального аналізу і синтезу сигналів за допомогою швидкого перетворення Фур’є

Теоретичні відомості

Швидке перетворення Фур’є (БПФ) засноване на дискретному перетворенні Фур’є (ДПФ|). Дискретне перетворення застосовується до дискретних сигналів. Дискретний сигнал отримують з аналогового сигналу шляхом квантування його в часі з кроком . Для прикладу на рис.3.1,а зображений аналоговий сигнал, а на рис.3.1,б відповідний йому дискретний сигнал, Т – період сигналу.

Дискретний сигнал можна представити динамічною моделлю:

, (3.1)

де - число дискретних значень сигналу на періоді,

- імпульсна функція (дельта-функція Дираку).

Розкладемо сигнал (3.1) в комплексний ряд Фур’є

. (3.2)

Для моменту часу :

. (3.3)

а
)

б
)

Рисунок 3.1

Коефіцієнти у формулі (3.2) обчислюються таким чином:

. (3.4)

Підставимо в дану формулу ряд (3.1) і виконаємо перетворення, помінявши місцями інтеграцію і підсумовування. Замінимо змінну інтеграції і врахуємо властивості імпульсної функції, що фільтрують. В результаті отримаємо:

. (3.5)

Формули (3.3), (3.5) є дискретним перетворенням Фур’є (ДПФ|). Ці формули зазвичай записують в симетричній формі щодо числа N дискретних значень сигналу:

, (3.6)

, (3.7)

де .

Розрахунок за формулами (3.6), (3.7) вимагає операцій, що складаються з множення двох комплексних чисел з подальшим складанням. Якщо число N розкласти на множники і виконувати дії над групами елементів, то можна істотно скоротити число операцій. Найбільший ефект досягається при представленні числа N ступенем числа 2. Відповідні цьому уявленню алгоритми обчислень за формулами (3.6), (3.7) називаються швидким перетворенням Фур’є (БПФ) і вимагають всього операцій.

Алгоритм прямого БПФ реалізовано у функції fft(v) (Fast Fourier Trasform – швидке перетворення Фур’є). Аргументом функції є вектор v, представлений дійсними числами (дискретними значеннями сигналу), кількість яких повинна бути рівною, де р – ціле число. Результат роботи функції – вектор, складений з комплексних амплітуд гармонік спектру сигналу. Довжина вектора . Таким чином, довжина вихідного вектора в два рази менше вхідного.

---

Алгоритм зворотного БПФ реалізовано у функції ifft(w). Аргументом функції є вектор w, представлений комплексними гармоніками спектру сигналу, кількість яких повинна бути рівною, де р – ціле число. Результат роботи функції – вектор, складений з дійсних чисел, відповідних дискретним значенням сигналу, синтезованого за його спектром. Довжина вектора . Таким чином, довжина вихідного вектора в два рази більше вхідного.

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою ДПФ| і БПФ спектральний аналіз і синтез періодичного імпульсного сигналу, заданого в лабораторній роботі № 1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0, T].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Перетворити заданий аналоговий сигнал в дискретний, узявши вибірку об'єму, , р=6.

2. Визначити комплексні амплітуди гармонік спектру сигналу за допомогою функції прямого БПФ. Знайти число М гармонік спектру. Побудувати графіки амплітудно-| і фазо-| частотного спектру сигналу.

3. Для числа гармонік М по формулі (3.6) прямого ДПФ| визначити спектр сигналу і порівняти з даними п.1.

4. Виконати за допомогою функції зворотного БПФ синтез сигналу по його спектру. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.

5. Для числа гармонік М з п.3 по формулі (3.6) зворотного ДПФ| синтезувати сигнал. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.

При складанні програми спектрального аналізу і синтезу можна скористатися фрагментами програми дослідження функцій ДПФ| і БПФ на прикладі періодичної послідовності прямокутних імпульсів.

Дискретизація сигналу.

Аналіз спектру сигналу за допомогою БПФ

Аналіз спектру сигналу за допомогою ДПФ|

Синтез сигналу за його спектром за допомогою БПФ

Синтез сигналу за його спектром за допомогою ДПФ|

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2. Графіки з результатами розрахунку амплітуд і фаз гармонік спектру сигналу, отриманих за допомогою БПФ і ДПФ| для числа відліків .

3. Графіки початкового і синтезованого сигналів, отриманих за допомогою БПФ і ДПФ|.

4. Висновки по виконаній роботі.

Контрольні питання

1. Визначення аналогового і дискретного сигналу.

2. Складання динамічної моделі сигналу.

3. Властивості імпульсної функції (дельта-функції Дираку).

4. Визначення дискретних значень часу і частоти.

5. Формула розкладання сигналу в дискретний ряд Фур’є.

6. Як обчислюються комплексні амплітуди спектру сигналу при ДПФ|?

7. Число операцій в ДПФ| і БПФ.

8. Число відліків значень сигналу на періоді для БПФ.

9. Функція прямого БПФ, ім'я функції, розмірності вхідного і вихідного векторів.

10. Функція зворотного БПФ, ім'я функції, розмірності вхідного і вихідного векторів.

---

Лабораторна робота №4

Операторний метод аналізу

сигналів на основі швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики застосування швидкого перетворення Фур’є (БПФ) для операторного аналізу сигналів.

Теоретичні відомості

Операторний метод аналізу заснований на аналізі сигналів і лінійних кіл за допомогою інтегральних перетворень Лапласа. Перетворення Лапласа є узагальненням інтегральних перетворень Фур’є і застосовуються для сигналів, визначених для моментів часу, які більше нуля:

(4.1)

де - одинична ступінчаста функція (функція Хевісайда).

Перетворення Лапласа виходять з перетворень Фур’є при введенні експоненціальної функції, затухаючої на нескінченності:

, (4.2)

де у – позитивне число.

Для функції (4.2) пряме інтегральне перетворення Фур’є запишеться у вигляді:

, (4.3)

де - комплексна частота.

З формули зворотного перетворення Фур’є виходить:

. (4.4)

Звідси

. (4.5)

Перетворення Лапласа, представлені формулами (4.3), (4.5), можна перетворити у дискретну форму, використовуючи формули (3.6), (3.7) дискретного перетворення Фур’є. З порівняння цих формул витікають співвідношення для дискретного перетворення Лапласа:

, (4.6)

, (4.7)

де – крок квантування.

Для розрахунків за формулами (4.6), (4.7) з використанням функцій БПФ fft і ifft слід задати інтервал [0,T] дискретизації сигналу і точність розрахунку ε. За значеннями ε і Т обчислити константу і крок квантування Δt:

, (4.8)

, (4.9)

де , р – ціле число.

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою БПФ операторний аналіз і синтез аналогового імпульсного періодичного сигналу, заданого у лабораторній роботі № 1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0,Т ].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Визначити по формулі (4.8) постійну загасання σ.

2. Перетворити заданий аналоговий сигнал відповідно до формули (4.2) і представити його в дискретній формі, узявши вибірку об'єму . Побудувати графіки початкового і перетвореного сигналу.

3. Визначити комплексні амплітуди гармонік спектру перетвореного сигналу за допомогою функції прямого БПФ. Знайти число М гармонік спектру. Побудувати графіки амплитудно- і фазо| - частотного спектру сигналу.

4. Виконати за допомогою функції зворотного БПФ синтез перетвореного сигналу за його спектром. Відновити по формулі (4.6) початковий сигнал за перетвореним. Побудувати на одному полі графіки початкового і синтезованого сигналів.

При складанні програми операторного аналізу і синтезу можна скористатися фрагментами програми використання функцій БПФ на прикладі прямокутного імпульсу.

Дискретизація сигналу

Розрахунок спектру перетвореного сигналу

Синтез перетвореного сигналу за його спектром

і відновлення форми сигналу

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2. Графіки початкового і перетвореного сигналів.

3. Графіки з результатами розрахунку амплітуд і фаз гармонік спектру перетвореного сигналу.

4. Графіки початкового і синтезованого сигналів.

5. Висновки по виконаній роботі.

---

Контрольні питання

1. Для яких сигналів застосовується інтегральне перетворення Лапласа?

2. Визначення одиничної ступінчастої функції (функції Хевісайда).

3. Визначення комплексної частоти.

4. Яке перетворення необхідно здійснити з сигналом, щоб застосувати перетворення Лапласа?

5. Формули прямого і зворотного перетворень Лапласа.

6. Дискретна форма прямого і зворотного перетворень Лапласа на основі дискретного перетворення Фур’є.

7. Як визначити константу у комплексної частоти?

8. Як вибрати число відліків значень сигналу БПФ?

9. Функції прямого і зворотного БПФ, ім'я функцій, розмірності вхідного і вихідного векторів.

10. Як відновити початковий сигнал за наслідками зворотного перетворення Лапласа на основі зворотного БПФ?

Лабораторна робота № 5

Операторний метод аналізу

лінійних кіл на основі швидкого перетворення Фур’є

Мета роботи – вивчення методики застосування швидкого перетворення Фур’є (БПФ) для операторного аналізу лінійних кіл.

Теоретичні відомості

Операторний метод аналізу лінійних кіл при вхідній дії у вигляді включення у момент часу сигналу складної форми містить наступні процедури.

1. Знаходження зображення за Лапласом вхідного сигналу :

.

2. Визначення передавальної функції досліджуваного кола:

,

де - зображення за Лапласом вихідного сигналу.

3. Знаходження зображення вихідного сигналу по передавальній функції і зображенню вхідного сигналу:

.

4. Розрахунок за зображенням вихідного сигналу його залежності від часу за допомогою зворотного перетворення Лапласа:

.

Тут L, L^-1 – оператори прямого і зворотного перетворень Лапласа, формули (4.3), (4.5).

На практиці перетворення Лапласа здійснюють чисельно з використанням БПФ, що реалізовує формули (4.6), (4.7) ДПФ|.

Передавальні функції визначаються методами теорії лінійних кіл по схемі досліджуваного кола, в якому миттєві значення струмів і напруги замінено їх зображеннями по Лапласу і , а котушки індуктивності і конденсатори відповідно до закону Ома представлені їх операторними опорами:

Тут - операторний опір котушки індуктивності з індуктивністю L, - операторний опір конденсатора з місткістю С.

Якщо відомо комплексний коефіцієнт передачі кола, то передавальна функція виходить з шляхом простої заміни частоти на комплексну частоту .

Важливими характеристиками кола є перехідна і імпульсна характеристики. Перехідна характеристика – це реакція кола на одиничну ступінчасту функцію (функцію Хевісайда):

(5.1)

Зображення по Лапласу цієї функції:

. (5.2)

За відомою передавальною функцією кола перехідна характеристика визначається таким чином:

. (5.3)

Імпульсна характеристика – це реакція кола на імпульсну функцію (дельта – функцію Дираку) , що задовольняє умові

.

Зображення по Лапласу цієї функції:

. (5.4)

За відомою передавальною функцією кола імпульсна характеристика визначається таким чином:

---

. (5.5)

Якщо відомо імпульсну характеристику кола, то реакція кола на сигнал довільної форми може бути знайдена за допомогою інтеграла згортки:

. (5.6)

У дискретній формі інтеграл згортки записується у вигляді:

. (5.7)

Тут, - дискретні значення вхідного сигналу і імпульсної характеристики, узяті з кроком квантування .

При виконанні операторного аналізу за допомогою функцій БПФ fft і ifft слід задати інтервал [0,T] дискретизації сигналу і точність розрахунку ε. Для усунення коливального характеру зміни сигналу на кінці інтервалу дискретизації, яке пов'язане з виникаючою погрішністю розрахунків при переході від аналогових функцій до дискретних, слід інтервал дискретизації збільшити до . По значеннях ε і обчислити константу і крок квантування Δt:

(5.8)

(5.9)

де N – об'єм вибірки. Отримані результати розрахунків розглядати на інтервалі [0,T].

Лабораторне завдання

Скласти програму і виконати за допомогою БПФ операторний аналіз кола, заданого в лабораторній роботі №2, при дії одиничної ступінчастої функції (5.1) і одиночного імпульсного сигналу, заданого в лабораторній роботі №1. Імпульс визначити в інтервалі [0, τ], квантування сигналу в часі здійснити в інтервалі [0, Т].

У лабораторній роботі потрібно:

1. Визначити за формулами (5.8), (5.9) постійну загасання σ і крок квантування.

2. Скласти передавальну функцію кола.

3. Розрахувати відповідно до формули (5.3) перехідну характеристику кола, використовуючи функцію зворотного БПФ. Побудувати графіки одиничної ступінчастої функції і перехідної характеристики для інтервалів і [0,T].

4. За допомогою БПФ розрахувати реакцію кола на сигнал, форма якого задана в лабораторній роботі №1. Побудувати графіки вхідного і вихідного сигналів в інтервалі [0,T].

5. За допомогою БПФ розрахувати відповідно до формули (5.5) імпульсну характеристику кола.

6. По вхідному сигналу і імпульсній характеристиці кола, представлених в дискретній формі, за допомогою формули (5.7) дискретною згорткою визначити вихідний сигнал. Побудувати графік вихідного сигналу в інтервалі [0,T].

При складанні програми операторного аналізу кола можна скористатися фрагментами програми використання функцій БПФ на прикладі аналізу реакції кола на прямокутний імпульс.

Моделювання перехідної характеристики кола

Операторний аналіз проходження сигналу крізь коло

Аналіз проходження сигналу крізь коло за допомогою інтеграла згортки

1 Розрахунок імпульсної характеристики кола

Розрахунок реакції кола на вхідний сигнал

Зміст звіту

1. Короткі теоретичні відомості і розрахункові співвідношення.

2. Графіки з результатами розрахунку перехідної характеристики кола для інтервалів і [0, T].

3. Графік вхідного сигналу і графік з результатами розрахунку вихідного сигналу операторним методом.

4. Графік вихідного сигналу, розрахований за допомогою інтеграла згортки.

5. Висновки по виконаній роботі.

---

Смотрите также файлы

• Документ Microsoft Office Word (10).docx

• Seminar_rossia_v_nachale_20_veka.doc

• ЛР №11.doc

• Publisher.doc

• Мультимедиа_конспект.doc