Файл: Kurs_OTK_UA.doc

Передавальні функції складаються за функціями R, 1/pC, pL повного опору RCL-елементів і формуються у вигляді дрібно-раціональної функції від комплексної частоти р:

, (1.4)

де k - чисельний коефіцієнт.

Коефіцієнти , в цьому виразі дійсні числа, тому коренями поліномів , у функції (1.4) є дійсні і комплексно-зв'язані числа. Корені поліномів , називаються особливими точками функції , причому корені знаменника - це полюси, а корені чисельника - це нулі функції . Полюси функції для позитивних значень параметрів RCL-елементів розташовуються в лівій напівплощині комплексної площини, тобто корені знаменника або негативні дійсні числа або комплексно-зв'язані числа з негативною дійсною частиною. Таким чином, функції, що використовуються для апроксимації частотних характеристик, повинні відповідно до вимоги фізичної реалізації бути дрібно-раціональними функціями з дійсними коефіцієнтами і полюсами в лівій напівплощині комплексної площини. Цим вимогам задовольняє ряд функцій. Серед них для вирішення завдання синтезу фільтрів широко використовуються функції Баттерворту і Чебишева.

В процесі синтезу необхідно від функції , що апроксимує частотну залежність коефіцієнта передавання за потужністю, перейти до передавальної функції за напругою. Коефіцієнт передавання за потужністю у формулі (1.2) є речовинною функцією:

. (1.5)

Функція ця парна і тому може бути надана у вигляді відношення двох поліномів від змінної :

. (1.6)

Для комплексної змінної функція аналітично продовжується з уявної вісі на всю комплексну площину:

. (1.7)

Тому, якщо особлива точка передавальної функції , то у передавальної функції будуть дві особливі точки: і . Отже, для складання функції по заданій функції необхідно з усіх пар особливих точок функції вибрати особливі точки з від’ємною дійсною частиною, що належать функції .

Завдання синтезу має, як правило, неоднозначне рішення, тобто необхідні характеристики фільтру можуть бути реалізовані за допомогою різних схем. Наприклад, фільтр може бути реалізований у вигляді зображеного на рис. 1.3 драбинного кола, навантаженого з обох боків на активні опори.

Рисунок 1.3 - Фільтр із драбинною структурою

Для мінімізації витрат використовується драбинне реактивне коло (коло без втрат), що складається з L і C елементів. Драбинне реактивне коло відноситься до класу мінімально-фазових кіл. У таких кіл не тільки корені знаменника, але і корені чисельника передавальної функції розташовуються в лівій напівплощині комплексної площини

Процедура синтезу фільтра із драбинною структурою складається з двох етапів. На першому етапі по заданих вимогах на характеристики фільтру проводиться синтез його НЧ прототипу з нормованою до одиниці смугою пропускання. Синтез схеми НЧ прототипу полягає у визначенні структури (схеми фільтру) і нормованих параметрів, відповідних елементам L і C фільтру. Другий етап пов'язаний з частотним перетворенням і полягає у визначенні типу і значень елементів фільтру, що синтезується, по нормованих значеннях елементів фільтру-прототипу.

1.3 Фільтри з максимально-плоскою характеристикою

Максимально плоска характеристика описується функцією Баттерворту:

. (1.8)

Дана функція виходить з функції (1.6) при і при прирівнюванні нулю максимального числа похідних як на частоті , так і на частоті . Графік цієї функції наведено на рис. 1.4. Фільтри з такою характеристикою називаються фільтрами Баттерворту.

Рисунок 1.4 - Частотні характеристики фільтру Баттерворту

Ціле число n в (1.8) - порядок фільтру. Чим вище порядок, тим ближче частотна характеристика до ідеальної прямокутної форми. Частота - частота зрізу. На частоті зрізу:

;

дБ.

Порядок фільтру визначається заданим значенням загасання А_п на межі смуги пропускання ω_п і значенням загасання А_з на межі смуги загородження ω_з (див. рис. 1.2). У випадку має місце:

дБ;

, дБ.

Звідси витікає формула для визначення порядку фільтру:

. (1.9)

Число n округляється до найближчого більшого цілого числа. Наприклад, для дБ, отримаємо

Беремо та забезпечуємо загасання більше 25 дБ.

Функції (1.8) на підставі (1.5), (1.7) відповідає передавальна функція за потужністю

. (1.10)

Для складання передавальної функції за напругою вибираються корені рівняння

, (1.11)

які лежать в лівій напівплощині комплексної площини. Наприклад, при розрахунок за допомогою Mathcad-програми дає наступний набір коренів:

Тут вектор N складений з коефіцієнтів полінома 6-го порядку:

Функція polyroots знаходить корені цього полінома. Ці корені розташовуються на колі одиничного радіусу через рівні кутові інтервали. Передавальну функцію за напругою складаємо з коренів із від’ємною дійсною частиною:

Н
а рис.1.5 наведено АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу, побудована Mathcad-програмою за даною передавальною функцією.

Рисунок 1.5 - АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу Баттерворту 3-го порядку

1.4 Фільтри з Чебишевською характеристикою

Характеристика Чебишева описується функцією

, (1.12)

де - коефіцієнт нерівномірності характеристики в смузі пропускання, - поліном Чебишева першого роду n-го порядку, що визначається за формулою

. (1.13)

На інтервалі поліноми Чебишева мають осцилюючий характер, рівномірно відхиляючись від нуля на величину .

У явній формі поліноми Чебишева записуються наступним чином:

;

При використовується рекурентна формула

. (1.14)

У інтервалі поліноми Чебишева монотонно зростають.

Графік функції (1.12) для різного порядку n наведено на рис 1.6.

Рисунок 1.6 - Частотні характеристики фільтру Чебишева

На частоті зрізу має місце , тому

; (1.15)

. (1.16)

Для визначення порядку фільтру при і заданому значенні , а також при заданому значенні Аз на частоті ω_з, використовується формула, що витікає з (1.12) - (1.16):

. (1.17)

Наприклад, для дБ, дБ, отримаємо

Беремо , забезпечуючи загасання Аз, більше 25 дБ.

Функції (1.12) на підставі (1.5), (1.7) відповідає передавальна функція

. (1.18)

Для складання передавальної функції береться коріння рівняння

, (1.19)

що лежать в лівій напівплощині комплексної площини Наприклад, при і (дБ) рівняння (1.19) на підставі (1.14) запишеться у вигляді

Розрахунок за допомогою Mathcad-програми дає записані у векторі N коефіцієнти полінома, вказаного в квадратних дужках, і набір коренів цього рівняння, отриманий за допомогою функції polyroots:

Ці корені розташовуються на еліпсі через рівні кутові інтервали. Передавальну функцію за напругою складаємо з коренів із від’ємною дійсною частиною

де .

На рис 1.7 наведено АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу, що побудована за допомогою Mathcad-програми за даною передавальною функцією.

Рисунок 1.7 - АЧХ низькочастотного фільтру-прототипу Чебишева 3-го порядку

1.5 Реалізація драбинного реактивного кола

За передавальною функцією низькочастотного фільтру-прототипу визначаються число ланок і параметри елементів драбинного кола. Для драбинної реалізації фільтру можуть бути використані кола на рис. 1.8.

а) б)

Рисунок 1.8 - Різновиди драбинних кіл

Вхідний опір або вхідна провідність драбинних кіл надається безперервним дробом. Для кола на рис. 1.8, а, складеного з П-подібних каскадів:

. (1.20)

Для кола на рис 1.8, б, складеного з Т- подібних каскадів:

. (1.21)

Тут при реалізації НЧ фільтру беруться: ,

Синтез драбинного кола проводиться шляхом безпосереднього ділення чисельника на знаменник дрібно-раціональної функції вхідного опору або вхідної провідності, складеної з передавальної функції фільтру. Наприклад, для функції

діленням чисельника на знаменник отримаємо наступний безперервний дріб:

На рис. 1.9 наведено коло, що відповідає даному дробу

Рисунок 1.9 - Триланкове драбинне коло, навантажене на провідність в 1 См

1.6 Розрахунок нормованих параметрів низькочастотних фільтрів - прототипів

Перший етап синтезу фільтру полягає в побудові його низькочастотного фільтру - прототипу. Фільтр - прототип характеризується частотою зрізу і нормованими g- параметрами, які відповідають опору генератора R_Г, опору навантаження Rн, параметрам LC-елементів драбинного кола (див. рис. 1.3). Розрахунок нормованих g-параметрів проводиться за наступними формулами.

При апроксимації за Баттервортом:

. (1.22)

При апроксимації за Чебишевим:

(1.23)

Тут ;

У наведених співвідношеннях g₀ відповідає опору генератора, R_Г, g_n₊₁ відповідає опору навантаження Rн, n – порядок фільтру (кількість ланок драбинного кола), Ас – амплітуда осциляцій в смузі пропускання в дБ.

1.7 Частотні перетворення

На другому етапі синтезу параметри НЧ фільтру-прототипу перераховуються в параметри проектованого фільтру при відповідних перетвореннях комплексної частоти.

Мають місце наступні формули перетворення комплексної частоти для НЧ фільтру - прототипу в комплексну частоту р для проектованого фільтру.

Для перетворення НЧ фільтру-прототипу в НЧ фільтр з граничною частотою смуги пропускання (див. рис.1.1,а):

. (1.24)

Ця формула забезпечує зміну значень індуктивності та ємності.

Для перетворення НЧ фільтру-прототипу у ВЧ фільтр з граничною частотою смуги пропускання (див. рис 1.1,б):

. (1.25)

Ця формула забезпечує перетворення індуктивності в ємність, а ємності в індуктивність.

Для перетворення НЧ фільтру-прототипу в смуговий фільтр з граничними частотами смуги пропускання , (див. рис. 1.1,в):

, (1.26)

де - середня частота смуги пропускання; - ширина смуги пропускання.

Ця формула забезпечує перетворення індуктивності в послідовне з'єднання індуктивності і ємності, а ємності - в паралельне з'єднання індуктивності і ємності.

Для перетворення НЧ фільтру-прототипу у загороджувальний фільтр з граничними частотами смуги загородження , (див. рис. 1.1,г):

, (1.27)

де - середня частота смуги загородження; - ширина смуги загородження.

Ця формула забезпечує перетворення індуктивності в паралельне з'єднання індуктивності і ємності, а ємності - в послідовне з'єднання індуктивності і ємності.

У табл. 1.1 наведено схеми Т-подібних і П-подібних каскадів драбинного кола і формули перерахунку g-параметрів НЧ фільтру-прототипу в параметри елементів проектованого фільтру.

Розрахунок значень активних опорів виконується за формулами:

. (1.28)

Тут - скоректоване значення навантаження для фільтру Чебишева парного порядку (див. формулу (1.23)).

Таблиця 1.1 – Схеми фільтрів та формули перерахунку їх параметрів

Схема фільтру

Формули перерахунку

ФНЧ

ФВЧ

СФ

Продовження табл.1.1

ЗФ

1.8 Алгоритм розрахунку параметрів фільтрів

Початковими даними для розрахунку фільтру являються граничні частоти смуг пропускання і загородження і значення на цих частотах робочого загасання. Розрахунок фільтру проводиться в наступному порядку:

а) за заданими значеннями загасання визначається за формулами (1.9) або (1.17) порядок (число LC-елементів) НЧ фільтру-прототипу;

б) за формулами (1.22) або (1.23) розраховуються нормовані g-параметри фільтру-прототипу;

в) за даними табл. 1.1 і формулами (1.28) проводиться перерахунок g-параметрів фільтру-прототипу в параметри проектованого фільтру.

Приклад 1. Розрахувати Т- і П-подібний фільтри нижніх частот з характеристикою Баттерворту. Гранична частота смуги пропускання Мгц, гранична частота смуги загородження . Загасання на цих частотах дБ, дБ. Опори генератора і навантаження Ом, Ом.

З (1.9) при, , знаходимо . Беремо . З (1.22) визначаємо g-параметри:

;

З табл. 1.1 знаходимо параметри триланкового Т-подібного ФНЧ:

Ом, Ом, Гн;

Ф, Гн.

З табл. 1.1 знаходимо параметри триланкового П-подібного ФНЧ:

Ом, Ом, Ф,

Гн, Ф.

На рис. 1.10 наведено схеми розрахованих фільтрів.

Рисунок 1.10 - Фільтр нижніх частот: а) - Т-подібна схема

б) - П-подібна схема

Приклад 2. Розрахувати Т-подібний фільтр верхніх частот з характеристикою Баттерворту. Гранична частота смуги пропускання Мгц, гранична частота смуги загородження . Загасання на цих частотах дБ, дБ. Опори генератора і навантаження Ом, Ом.

Із прикладу 1 беремо g-параметри НЧ фільтру-прототипу.

З табл. 1.1 знаходимо параметри триланкового Т-подібного ФВЧ:

Ом, Ом, Ф;

Гн, Ф.

Приклад 3. Розрахувати П-подібний фільтр нижніх частот з характеристикою Чебишева. Гранична частота смуги пропускання Мгц, гранична частота смуги загородження . Загасання в смузі пропускання дБ, на частоті загородження дБ. Опори генератора і навантаження Ом, Ом.

З (1.17) при, , знаходимо Беремо . З (1.23) визначаємо g-параметри:

; ;

; ; ;

; ; , .

З табл. 1.1 знаходимо параметри триланкового П-подібного ФНЧ:

Ом, Ом, Ф;

Гн, Ф.

Приклад 4. Розрахувати Т-подібний смуговий фільтр з характеристикою Чебишева. Граничні частоти смуги пропускання Мгц, Мгц. Загасання в смузі пропускання дБ. На частоті загородження загасання дБ. Опори генератора і навантаження Ом, Ом.

Значення g-параметрів НЧ фільтру-прототипу для , дБ, , дБ, отримані у прикладі 3.

Визначаємо середню частоту смуги пропускання і ширину смуги пропускання: МГц, МГц.

З табл. 1.1 знаходимо параметри Т-подібного СФ:

Ом, Ом;

Гн, Ф;

Гн, Ф.

Приклад 5. Розрахувати Т-подібний загороджувальний фільтр з характеристикою Чебишева. Граничні частоти смуги загородження Мгц, Мгц, Загасання в смузі загородження дБ. На частоті загасання дБ. Опори генератора і навантаження Ом, Ом.

Значення g-параметрів НЧ фільтру-прототипу для , дБ, , дБ отримані у прикладі 3.

Визначаємо середню частоту: МГц, МГц.

За табл. 1.1 знаходимо параметри Т-подібного ЗФ:

Ом, Ом;

Гн, Ф;

Гн, Ф.