2 АНАЛІЗ ЕЛЕКТРИЧНИХ ФІЛЬТРІВ

Основною метою аналізу фільтру є розрахунок амплітудно- і фазочастотної характеристик його комплексного коефіцієнту передавання (1.1) за напругою, а також дослідження полюсів і нулів його передавальної функції (1.4).

2.1 Аналіз частотних характеристик

Частотні характеристики (АЧХ і ФЧХ) можуть бути отримані з математичної моделі електричної схеми фільтру. Математична модель є системою рівнянь, складених відносно струмів і напруги в елементах схеми. Математична модель складається за допомогою законів Кірхгофу і Ома.

Закон Кірхгофу для напруги використовується в методі контурних струмів. Математична модель в цьому випадку формується наступним чином:

, (2.1)

де Z - матриця контурних опорів, I - вектор шуканих контурних струмів, Е - вектор, складений з алгебраїчних сум електрорушійних сил (Е.Р.С.) у контурах схеми.

Елементами головної діагоналі матриці Z є суми опорів контурів. Зовнішні діагональні елементи - це загальні для дотичних контурів опори, узяті зі знаком мінус, якщо контурні струми, що протікають через опори, мають протилежний напрям.

Закон Кірхгофу для струмів використовується у методі вузлових. потенціалів. Математична модель у цьому випадку формується наступним чином:

, (2.2)

де Y - матриця вузлової провідності, Ф - вектор шуканих вузлових потенціалів, J - вектор вузлових задаючих струмів, складений з алгебраїчної суми струмів джерел струму, які підключаються до вузлів схеми.

Елементи головної діагоналі матриці Y дорівнюють сумі провідностей, що підключаються до вузлів. Зовнішні діагональні елементи - це узяті зі знаком мінус провідності, які включені між вузлами. Для аналізу схеми вибирається той метод, який дає менше число рівнянь. Наприклад, для схеми на рис. 1.10,а слід використовувати метод контурних струмів, а для схеми на рис. 1.10,б - метод вузлових потенціалів.

Для схеми на рис 1.10, а Mathcad-програма рішення рівняння (2.1) і визначення комплексного коефіцієнту передавання фільтру може бути складена таким чином:

Для схеми на рис 1.10,б програма рішення рівняння (2.2) і визначення має вигляд:

Тут амплітуда вхідної напруги визначена як В, тому комплексний коефіцієнт передавання дорівнює падінню напруги на опорі навантаження .

При побудові АЧХ і ФЧХ фільтру його комплексний коефіцієнт передавання нормується до максимального значення. Нормований коефіцієнт передавання записується у вигляді

. (2.3)

Значення визначається коефіцієнтом передавання подільника напруги, складеного з резисторів , :

. (2.4)

Для даних з прикладу 1 має місце Mathcad-програма розрахунку:

На рис. 2.1 наведено графіки АЧХ і ФЧХ ФНЧ, розраховані за даними прикладу 1 за допомогою Mathcad-програми.

а)

б)

Рисунок 2.1 - Частотні характеристики ФНЧ: а - АЧХ, б - ФЧХ

Розрахунок за Mathcad-програмою загасання на частотах, дає наступні результати:

Отримані результати задовольняють умовам на проектування ФНЧ з прикладу 1.

2.2 Аналіз передавальних функцій

Передавальні функції комплексної частоти можуть бути складені при вирішенні системи рівнянь математичної моделі схеми фільтру методом Крамера. Наприклад, для схеми на рис.1.10,а, розв’язуванням системи рівнянь (2.1) даним методом, отримаємо:

.

Після розкриття визначників і перетворень:

;

, ;

, .

Подальші перетворення і розрахунки виконаємо за допомогою Mathcad-програми.

Розрахунок АЧХ і ФЧХ ФНЧ з прикладу 1 за нормованою передавальною функцією дає графіки, які повністю співпадають з рис 2.1. Для прикладу на рис. 2.2 наведено АЧХ, що побудована за функцією .

Рисунок 2.2 – АЧХ фільтру нижніх частот

Для визначення коренів знаменника передавальної функції фільтру скористаємося Mathcad-програмою:

Ці корені збіглися з коренями передавальної функції НЧ фільтру-прототипу третього порядку з характеристикою Баттерворту, яку складено в п. 1.3.

2.3 Аналіз часових характеристик

Основними часовими характеристиками кола є перехідна і імпульсна характеристики. Ці характеристики визначаються за нульових початкових умов на реактивних елементах кола, тобто при нульовій початковій напрузі на конденсаторах і нульовому початковому струмі в катушках індуктивності.

Перехідна характеристика - це реакція кола на сигнал у вигляді одиничної ступінчатої функції (функції Хевісайду)

(2.5)

Імпульсна характеристика - це реакція кола на сигнал у вигляді імпульсної функції (дельта - функції Дірака). Імпульсна функція є вузьким прямокутним імпульсом, тривалість якого прямує до нуля, висота - до нескінченності, а площа залишається рівною одиниці. Імпульсна функція володіє властивістю фільтрування:

. (2.6)

За відомими перехідною або імпульсною характеристиками можна за допомогою інтеграла згортки знайти реакцію кола на вхідний сигнал довільної форми. Наприклад, з імпульсної характеристики реакція на вхідний сигнал обчислюється за формулою:

. (2.7)

Аналіз часових характеристик можна здійснити операторним методом на основі інтегральних перетворень Лапласа. Зображення за Лапласом одиничної функції

, (2.8)

зображення за Лапласом імпульсної функції

. (2.9)

Звідси зображення за Лапласом перехідної і імпульсної характеристик:

; (2.10)

. (2.11)

де L – оператор прямого перетворення Лапласа, - передавальна функція кола, p – комплексна частота.

Для знаходження залежності характеристик від часу необхідно виконати зворотне перетворення Лапласа:

; (2.12)

. (2.13)

Це перетворення можна здійснити шляхом розкладання передавальної функції на прості дроби, оригінали від зображення яких відомі. Розкладання передавальної функції (1.4) на прості дроби записується у вигляді

, (2.14)

де при .

Оригінал від членів ряду відомий:

. (2.15)

Тому на підставі (2.13), (2.15) функції (2.14) відповідатиме імпульсна характеристика вигляду

. (2.16)

Для отримання перехідної характеристики використовується співвідношення:

. (2.17)

Тому на підставі (2.12), (2.14), (2.17) перехідна характеристика записується у вигляді

. (2.18)

Реакція кола на вхідний сигнал довільної форми може бути розрахована з (2.7). Зокрема, реакція кола на синусоїдальний вхідний сигнал обчислюється за формулою

, (2.19)

де - амплітуда вхідного коливання, - його частота.

У сталому режимі вихідний сигнал при вхідному синусоїдальному сигналі буде також синусоїдальним, причому його амплітуда і фаза визначатимуться відповідними значеннями амплітудно-частотної і фазо-частотної характеристик на частоті .

Нижче наведено фрагменти програми часового аналізу.

Розкладання передавальної функції на прості дроби наступне

Імпульсна характеристика

Перехідна характеристика

Реакція на синусоїдальний сигнал

3 ТЕХНІЧНЕ ЗАВДАННЯ НА ПРОЕКТУВАННЯ ФІЛЬТРУ І ГРАФІК ВИКОНАННЯ КУРСОВОЇ РОБОТИ

Варіанти завдань наведено в табл. 3.1. У наведеній таблиці в колонці "Загасання, дБ” вказані два значення. Верхнє відповідає загасанню на частоті загородження для обох видів апроксимації. Цифра в дужках відповідає загасанню , яке визначається величиною осциляцій АЧХ при апроксимації за Чебишевим. У колонці "Граничні частоти, МГц" обидва значення частоти беруться для смугового фільтру (СФ) або загороджувального фільтру (ЗФ). Для фільтру нижніх частот (ФНЧ) береться перше значення, а для фільтру верхніх частот (ФВЧ) береться друге значення з вказаних частот.

Вибір варіанту проводиться по чотирьох останніх цифрах номера студентського квитка. Наприклад, для 8-значного номеру квитка (n=8) варіант визначається по 8-ій, 7-ій, 6-ій і 5-ій цифрам номеру. Данні беруться на перетині стовпця, який відповідає порядковому номеру цифри в номері квитка, і рядка, який відповідає значенню цифри. Наприклад, для номеру 23678924: – "ФНЧ, СФ"; - "8,6 12,6"; - "Чебишева, П - подібна - "27 (0,7)". Таким чином, потрібно спроектувати П - подібні ФНЧ і СФ з характеристикою Чебишева при загасанні дБ на частоті загородження і загасання в смузі пропусканнядБ. Граничні частоти смуги пропускання СФ 8,6 Мгц і 12,6 МГЦ. Гранична частота смуги пропускання ФНЧ 8,6 Мгц.

У курсовій роботі потрібно виконати розрахунок двох типів фільтрів: ФНЧ або ФВЧ і СФ або ЗФ. Етапи і графік виконання курсової роботи наведено в табл. 3.2. Робота складається з двох частин. У першій частині проводиться синтез фільтрів і дослідження характеристик апроксимуючих функцій. У другій частині здійснюється частотний та часовий аналіз синтезованих фільтрів. В процесі аналізу за схемою фільтру розраховуються:

• амплітудно-частотна (АЧХ) і фазо-частотна (ФЧХ) характеристики;

• передавальна функція ;

• полюси передавальної функції;

• перехідна і імпульсна характеристики;

• реакція на синусоїдальний сигнал з одиничною амплітудою та різною частотою коливань.

Результати частотного аналізу і аналізу передавальних функцій повинні повністю співпасти з початковими даними і характеристиками, використаними в процесі синтезу. Результати розрахунку реакції фільтру на синусоїдальний сигнал повинні в сталому режимі давати значення амплітуди коливань, які співпадають із значенням АЧХ на частоті коливань.

Таблиця 3.1 - Варіанти завдань

Продовження табл. 3.1

Додаткові дані: гранична частота смуги загородження ; опори генератора і навантаження Ом, Ом.

Таблиця 3.2 - Етапи і графік виконання курсової роботи

Продовження табл. 3.2