Файл: Выбор управленческого решения методом анализа иерархий. Оценить корректность метода (на примере КОАО «Прибор»).pdf

Второй шаг: синтез «локальных приоритетов». В каждой из матриц парных сравнений выполняем следующие действия: считаем среднее геометрическое каждой строки и нормализуем эти величины к единице, для чего делим каждое среднее геометрическое на сумму средних геометрических. Полученные нормализованные средние геометрические объявляем локальными приоритетами альтернатив, соответствующих строкам матриц. В результате получаем вектор локальных приоритетов для критериев и матрицу из локальных приоритетов, каждая строка которой соответствует одному возможному решению, а каждый столбец – одному критерию.

Третий шаг: проверка согласованности матриц парных сравнений.

Несогласованность МПС выражается в нарушении транзитивности отношения превосходства (если A>B и B>C, то должно быть A>C). Нарушение это может носить характер качественный (A>B, B>C, C>A; это возможно, поскольку альтернативы сравниваются попарно), а может – количественный. Количественная несогласованность связана с тем, что мы не просто говорим о превосходстве той или иной альтернативы, но пытаемся оценить это превосходство по некоторой шкале (слабое/среднее/сильное). Отсюда возможна ситуация: A>>B, B>>C, A>C.

Дело осложняется тем, что при сравнении необходимо оперировать качественными понятиями (сильный - слабый), а в МПС мы записываем их числовое обозначение. Причина несогласованности матрицы заключается в следующем. Вообще говоря, содержимое МПС определяется n числами – «истинными весами» альтернатив. В идеале матрица должна состоять из отношений этих n чисел. Но поскольку истинных весов мы не знаем, мы вынуждены выбрать для матрицы (n2-n)/2 различных значений (размер матрицы – n×n, но на главной диагонали стоят единицы, а левый нижний треугольник заполнен величинами, обратными по отношению к величинам из правого верхнего треугольника), которые будут служить некоторыми приближениями для отношений истинных весов. При построении матрицы парных сравнений обеспечивается ее обратная симметричность, но в матрице, построенной из отношений истинных весов, связи между элементами гораздо более многообразны, поскольку вес каждой альтернативы входит в (2n-1) элементов матрицы (все элементы одной строки и одного столбца).

В МАИ существует простая процедура, которая позволяет легко определить «оценку согласованности» МПС. Даются рекомендации о том, какую оценку можно считать хорошей, какую – приемлемой.

Для оценки согласованности используются оценка максимума λ_max , ее расчет производится путем суммирования столбца суждений, а затем сумма первого столбца умножается на величину первой компоненты нормализованного вектора приоритетов, сумма второго столбца – на второю компоненту и т.д. Затем полученные числа суммируются. Чем ближе λ_max к n, тем более согласованным является представление в матрице M(n) суждений.

Отклонения от согласованности могут быть выражены величиной, которая называется индексом согласованности (ИС).

При оценивании величины порога несогласованности суждений для матриц размером от 1 до 15 методом имитационного моделирования получены оценки случайного индекса (СИ). СИ является индексом согласованности для сгенерированной случайным образом (по шкале от 1 до 9) положительной обратно симметричной матрицы. В таблице 3 приведены средние значения СИ для матриц с порядком от 1 до 15.

Таблица 3 – Индексы согласованности

Отношение ИС к среднему СИ для матрицы суждений того же порядка Саати называет отношением согласованности (ОС):

Значение ОС ≤ 0,1 считается приемлемым порогом допустимой согласованности суждений. Если значение ОС > 0,1, данные в матрице суждений необходимо уточнить.

Четвертый шаг: синтез глобальных приоритетов. В МАИ рекомендованы четыре способа обработки данных.

1. Суммировать элементы каждой строки и нормализовать делением каждой строки и нормализовать делением каждой суммы на суммы всех элементов. Сумма полученных результатов равна 1. Первый элемент результирующего вектора будет приоритетом первого объекта и т.д.
2. Суммировать элементы каждого столбца и получить обратные элементы этих сумм. Нормализовать их так, чтобы сумма равнялась 1, разделив каждую обратную величину на сумму всех обратных величин.
3. Разделить элементы каждого столбца на сумму элементов этого столбца, т.е. нормализовать столбец. Затем сложить элементы каждой полученной строки и разделить эту сумму на число элементов в строке – усреднение по нормализованным столбцам.
4. Умножить n-элементов каждой строки и извлечь из произведения корень n-й степени. Нормализовать полученные числа.

В общем случае, когда матрица М[n] содержит элементы согласованности суждений, указанные способы дают различные результаты векторов приоритетов.

Последний пятый шаг: оценка согласованности всей иерархии. Описанный метод естественным образом распространяется на случай многоуровневой иерархии.

2.3. Пути уменьшения трудоемкости метода анализа иерархий

Суть МАИ заключается в двух моментах: в постепенности построения оценки и в использовании специальной «мягкой» (качественной) шкалы сравнений. Многошаговость метода заключается в том, что МАИ не пытается разом оценить приоритетность того или иного решения с точки зрения поставленной проблемы. Сначала, попарно сравнивая между собой критерии, эксперт должен ответить на вопрос, какой из каждой пары критериев важнее с точки зрения решаемой проблемы и насколько важнее. По полученной матрице парных сравнений (МПС) определяются сравнительные веса (приоритеты) критериев. На следующем шаге выполняется сопоставление альтернативных решений. Эксперт должен ответить на вопрос, какое из двух решений предпочтительней с точки зрения конкретного критерия и насколько предпочтительней. По полученной МПС определяются локальные приоритеты (веса) решений относительно каждого из критериев. После этого на основе весов критериев и локальных весов решений относительно критериев вычисляются глобальные веса решений.

В случае невозможности «жесткого» количественного сравнения применяется качественная шкала из значений типа «равная важность», «слабое превосходство», «сильное превосходство» и т.п.

Одним из главных недостатков метода является его чрезвычайно высокая «экспертоемкость». Она связана с двумя моментами: необходимостью большого числа парных сравнений и несогласованностью (противоречивостью) экспертных оценок.

Для снижения экспертоемкости метода могут быть использованы следующие механизмы:

1) построение МПС, согласованных «по построению»;

2) уменьшение числа сравнений за счет исключения из иерархии части элементов;

3) ускорение поиска рассогласованностей в матрице парных сравнений, выбор элементов, согласование которых даст максимальный эффект.

Для построения МПС, согласованных «по построению», разработана специальная «таблица сложения сравнений» (ТСС).

Применение ТСС базируется на следующем факте. Рассмотрим тройку альтернатив ai, aj, ak с весами wi, wj, wk. Элементы МПС, соответствующие сравнению этих альтернатив друг с другом, будут равны , , . (в числителе – вес «элемента-строки», в знаменателе – вес «элемента-столбца»). После заполнения экспертом любых 2-х элементов МПС возникает возможность третий вычислить автоматически. Такому автоматическому вычислению препятствует нечеткость шкалы сравнений. Для этого была разработана специальная таблица «сложения сравнений». Таблица составлена в терминах качественной шкалы и предлагает для каждой пары «складываемых сравнений» диапазон возможных вариантов (очень слабое превосходство + очень слабое превосходство = от очень слабого до среднего превосходства, слабое превосходство + средне превосходство = от средне-сильного до сильного превосходства и т.д.). Все значения диапазона считаются равновероятными [11, с. 67].

При ручном заполнении МПС таблица сложения сравнений может использоваться для оперативного контроля действия эксперта. Начиная со второй строки, вводимые экспертом элементы МПС могут с помощью ТСС поверяться на соответствие ранее введенным значениям. Таким образом, можно выявить несогласованность МПС непосредственно во время построения. При этом необходимо иметь в виду два момента. Во-первых, несоответствие «нижних» строк «верхним» может означать неточность как «внизу», так и «наверху». Нельзя считать «верхние» элементы «более правильными» только потому, что они были записаны ранее «нижних». Во-вторых, значения из ТСС являются не более чем рекомендацией, которую эксперт волен принимать или не принимать.

Таблица 4 – Таблица сложения сравнений

Еще одним свойством МПС, которое хочется использовать для уменьшения нагрузки на эксперта при заполнении матрицы, является ее обратная симметричность. Кажется естественным использовать эксперта для заполнения только одной половины матрицы, а вторую получить автоматически. Но как показывает опыт, при заполнении полной матрицы, называемые экспертом оценки далеко не всегда являются обратно симметричными. Более того, иногда оценка меняется не только количественно, но и качественно. Поэтому обратную симметричность можно и должно использовать, но не для автоматизации заполнения МПС, а для контроля принимаемых экспертом решений.

Второй механизм – исключение из иерархии некоторых элементов – основывается на следующих рассуждениях. Качество вырабатываемых рекомендаций зависит, как минимум, от трех факторов: качества иерархии, квалификации эксперта и качества заполнения экспертом матриц парных сравнений. Увеличивая детальность иерархии, мы можем увеличить качество иерархии. Но при этом стремительно возрастает количество и размер МПС. Соответственно возрастает нагрузка на эксперта, их заполняющего. Для качественного выполнения работы требуется высококвалифицированный специалист. Поэтому увеличение нагрузки ведет к сокращению внимания, уделяемого каждому конкретному вопросу, ведет к снижению качества заполнения матриц. В результате может оказаться, что увеличивая детализацию иерархии, мы не повышаем, а понижаем качество рекомендаций. Поэтому необходимо определить наилучшую степень детализации. В ходе построения иерархии мы не имеем еще никакой информации о значимости того или иного ее элемента. Поэтому в это время нет никаких оснований принимать решение о том, следует ли включать тот или иной элемент в иерархию. Поэтому, чем более подробная иерархия будет построена, тем лучше.

Процесс анализа иерархии заключается в том, что мы двигаемся сверху вниз, заполняем матрицы парных сравнений и вычисляем сначала локальные, а потом и глобальные веса элементов. При этом элементы естественным образом кластеризуются (например, все акторы, все цели одного актора, все политики одного актора). Появляется возможность в каждом кластере отделить весомые, значимые элементы от незначимых. И незначимые – отбросить. Такое динамическое прореживание иерархии позволяет значительно сократить трудоемкость анализа.

Поскольку оценка влияния прореживания на конечный результат неточна, было предложено заменить прореживание более мягкой операцией – сверткой. Заключается она в том, что часть наименее значимых элементов кластера включается в новый элемент с именем «другие» и с весом, равным суммарному весу исключенных элементов. Таким образом, исключенные элементы продолжают влиять на принятие решения. Но поскольку все они свернуты в один-единственный элемент, их дальнейший анализ уже не требует трудозатрат. В том случае, если элемент «другие» должен появиться в МПС, во всех позициях строки и столбца матрицы, относящихся к этому элементу, ставится одно и то же «нейтральное» значение, не влияющее на веса остальных элементов (1/n, где n – количество сравниваемых альтернатив).