ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2110
Скачиваний: 1
156
R x y
(
)
1
n1
k
1
n1
m
C
k
1
n1 m
1
(
)
L k m
x
y
V
(
)
L
0 0
x
y
V
(
)
f x y
(
)
Получим
таблицу
невязки
пробного
решения
,
разбив
область
D
на
100
частей
i
0 10
j
0 10
U4
i j
R a
i
10
b
j
10
Таблица
невязки
U4
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0.213
0.408
0.539
0.604
0.622
0.604
0.539
0.408
0.213
0
0
0.183
0.37
0.491
0.543
0.555
0.543
0.491
0.37
0.183
3.453
10
15
0
0.084
0.103
0.129
0.167
0.185
0.167
0.129
0.103
0.084
2.52 10
15
0
0.32
0.521
0.677
0.794
0.839
0.794
0.677
0.521
0.32
8.544
10
15
0
0.244
0.365
0.47
0.566
0.606
0.566
0.47
0.365
0.244
3.16
10
15
0
0.137
0.352
0.477
0.5
0.494
0.5
0.477
0.352
0.137
1.438
10
14
0
0.442
0.93
1.24
1.358
1.379
1.358
1.24
0.93
0.442
2.608
10
15
0
0.151
0.411
0.559
0.58
0.568
0.58
0.559
0.411
0.151
6.58
10
15
0
1.005
1.696
2.214
2.568
2.697
2.568
2.214
1.696
1.005
3.863
10
15
0
2.791
4.961
6.511
7.442
7.752
7.442
6.511
4.961
2.791
0
Максимальное
значение
|U4
ij
|
равно
33
max max U4
(
)
min U4
(
)
(
)
33
7.75157
Выводы
Таким
образом
,
при
3
1
n
получаем
следующие
результаты
использования
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
max
|
U
(
x
,
y
)–
u
n
(
x
,
y
)|
max
|
u
n
(
x
,
y
)–
u
n
-1
(
x
,
y
)|
max
|
R
n
(
x
,
y
)|
1.
11
0.01527
21
0.11439
31
0.796
2.
12
0.044826
22
0.13375
32
0.564773
3.
13
0.140652
23
0.185135
33
7.751569
Скопируйте
в
файл
отчета
полученные
результаты
.
Сделайте
вывод
о
точности
трех
полученных
решений
и
запишите
лучшее
из
них
.
(
В
примере
первая
система
пробных
и
поверочных
функций
дает
лучшее
приближение
решения
дифференциального
уравнения
.)
5.6.
Расчетная
часть
лабораторной
работы
для
тестирующего
примера
Выполним
расчетную
часть
лабораторной
работы
.
Найдем
решение
)
,
(
y
x
u
задачи
(5.12) – (5.13).
1.
Найдем
точное
решение
)
,
(
y
x
U
этой
задачи
,
используя
разложение
функции
в
двойной
тригонометрический
ряд
Фурье
[4], [5].
Ищем
)
,
(
y
x
U
в
виде
my
kx
H
y
x
U
mk
m
k
sin
sin
10
)
,
(
1
1
. (5.14)
157
Заметим
,
что
любая
функция
вида
(5.14)
удовлетворяет
краевым
условиям
(5.13).
Подставляем
(5.14)
в
(5.12),
получаем
xy
x
my
kx
m
k
H
mk
m
k
)
(
sin
sin
)
(
2
2
1
1
.
Значит
,
постоянные
)
(
2
2
m
k
H
mk
должны
быть
коэффициентами
двойного
ряда
Фурье
для
функции
xy
x
)
(
,
т
.
е
.
0
0
2
2
2
2
sin
sin
)
(
4
sin
sin
)
(
4
)
(
mydy
y
kxdx
x
x
dxdy
my
kx
xy
x
m
k
H
D
mk
.
Отсюда
,
так
как
k
k
kx
k
kx
k
x
kx
k
x
x
kxdx
x
x
)
1
(
1
2
cos
2
sin
1
)
2
(
cos
1
)
(
sin
)
(
3
0
3
2
0
,
m
m
my
m
my
m
y
mydy
y
)
1
(
sin
1
cos
1
sin
0
2
0
,
то
)
(
)
1
(
)
1
(
1
8
)
(
)
1
(
)
1
(
1
2
4
2
2
3
1
2
2
3
2
m
k
m
k
m
k
m
k
H
m
k
m
k
mk
.
Следовательно
,
точное
решение
задачи
(5.12)–(5.13)
аналитически
задается
выражением
my
kx
m
k
m
k
y
x
U
k
m
m
k
sin
sin
)
(
)
1
(
)
1
(
1
8
10
)
,
(
1
1
2
2
3
1
. (5.15)
Найдем
такое
значение
M
,
при
котором
функция
my
kx
m
k
m
k
y
x
U
M
k
M
m
m
k
sin
sin
)
(
)
1
(
)
1
(
1
8
10
)
,
(
ˆ
1
1
2
2
3
1
(5.16)
с
точностью
001
,
0
приближенно
определяет
)
,
(
y
x
U
,
т
.
е
.
001
,
0
)
,
(
ˆ
)
,
(
:
)
,
(
y
x
U
y
x
U
D
y
x
. (5.17)
Оценим
сверху
величину
.
1
1
2
2
3
1
1
2
2
3
1
)
(
1
16
sin
sin
)
(
)
1
(
)
1
(
1
8
M
k
M
m
M
k
M
m
m
k
m
k
m
k
my
kx
m
k
m
k
M
y
M
M
M
M M
y
x
y
x
dx
x
y
x
y
dy
dx
x
y
x
y
x
dxdy
2
2
2
3
2
2
3
2
2
3
ln
1
1
16
)
(
1
16
)
(
16
5
5
5
2
5
2
2
5
,
1
1
ln
1
16
ln
1
16
M
z
x
Mdz
dx
z
M
x
dx
M
x
x
dx
M
x
M
x
M
M
158
4
5
2
2
1
5
2
4
2
1
5
4
4
1
,
1
2
),
1
ln(
)
1
ln(
8
1
1
ln
1
1
16
z
v
z
dz
dv
dz
z
z
du
z
u
dz
z
z
M
dz
z
z
M
1
3
2
4
1
4
2
1
2
4
4
)
1
(
2
1
2
ln
4
1
8
)
1
(
2
)
1
ln(
4
1
8
z
z
dz
M
dz
z
z
z
z
z
M
1
2
2
4
1
3
2
4
2
1
1
ln
2
1
2
ln
4
1
8
1
1
1
2
1
2
ln
4
1
8
z
z
z
M
dz
z
z
z
z
M
4
4
2
4
1
2
ln
2
1
2
ln
4
1
8
M
M
.
Значит
условие
(5.17)
будет
заведомо
выполнено
,
если
001
,
0
2
4
M
.
Отсюда
6
,
636
2000
4
M
,
6
M
.
Итак
,
функция
6
1
6
1
2
2
3
1
sin
sin
)
(
)
1
(
)
1
(
1
8
10
)
,
(
ˆ
k
m
m
k
my
kx
m
k
m
k
y
x
U
гарантированно
с
точностью
до
0,001
определяет
значение
функции
(5.15)
в
прямоугольнике
D
.
2.
Продолжаем
выполнение
работы
в
компьютерном
классе
.
Запускаем
программу
Mathcad.
Открываем
файл
Ellipt.mcd.
В
пункте
«
Постановка
задачи
»
программы
вводим
числовые
данные
10
1
d
c
b
a
.
3.
В
пункте
«
Получение
точного
решения
»
вводим
число
превышающее
,
найденное
в
1-
м
пункте
число
6
M
,
например
,
27
M
.
После
этого
программа
автоматически
вычисляет
коэффициенты
km
H
и
выдает
матрицу
1
U
трехзначных
значений
функции
)
,
(
ˆ
y
x
U
с
шагом
1
,
0
h
(
см
.
раздел
5.5)
159
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
72
.
10
02
.
11
111
.
11
083
.
11
979
.
10
828
.
10
644
.
10
44
.
10
223
.
10
10
10
02
.
11
529
.
11
721
.
11
711
.
11
567
.
11
336
.
11
045
.
11
716
.
10
364
.
10
10
10
111
.
11
721
.
11
981
.
11
12
852
.
11
59
.
11
251
.
11
859
.
10
437
.
10
10
10
083
.
11
711
.
11
12
043
.
12
908
.
11
648
.
11
302
.
11
897
.
10
457
.
10
10
10
979
.
10
567
.
11
852
.
11
908
.
11
794
.
11
558
.
11
235
.
11
853
.
10
435
.
10
10
10
828
.
10
336
.
11
59
.
11
648
.
11
558
.
11
358
.
11
079
.
11
747
.
10
381
.
10
10
10
644
.
10
045
.
11
251
.
11
302
.
11
235
.
11
079
.
11
86
.
10
596
.
10
305
.
10
10
10
44
.
10
716
.
10
859
.
10
897
.
10
853
.
10
747
.
10
596
.
10
413
.
10
211
.
10
10
10
223
.
10
364
.
10
437
.
10
457
.
10
435
.
10
381
.
10
305
.
10
211
.
10
108
.
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
1
U
,
которую
копируем
в
файл
отчета
.
Также
копируем
в
файл
отчета
график
решения
(
рис
5.1).
Рис
. 5.1.
График
точного
решения
4.
Построим
теперь
приближенные
решения
задачи
методом
Галеркина
.
Для
этого
в
пункте
«
Получение
приближенного
решения
»
вводим
порядок
приближенного
решения
(
для
этого
вычисляем
3
9
1
n
n
)
3
1
n
.
1
вариант
.
Построим
систему
произведений
пробных
функций
вида
(2.28),
зависящих
от
x
и
y
для
задачи
с
однородными
краевыми
условиями
:
0
)
,
(
)
0
,
(
)
,
(
)
,
0
(
x
u
x
u
y
u
y
u
.
Так
как
4
)
(
2
2
1
n
n
,
то
отыскиваем
все
многочлены
порядка
меньше
4,
удовлетворяющие
краевым
условиям
.
Если
1
1
A
u
,
y
A
x
A
A
u
3
2
1
1
,
2
6
5
2
4
3
2
1
1
y
A
xy
A
x
A
y
A
x
A
A
u
,
xy
A
x
A
y
A
x
A
A
u
5
2
4
3
2
1
1
3
10
2
9
2
8
3
7
2
6
y
A
xy
A
y
x
A
x
A
y
A
,
то
однородные
условия
выполняются
,
если
0
1
u
,
что
невозможно
из
-
за
требования
линейной
независимости
пробных
функций
.
Поэтому
в
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
функции
)
(
)
(
)
,
(
1
y
y
x
x
y
x
u
m
k
km
.
Вычисляем
нормирующие
множители
(
программа
нормирует
функции
автоматически
):
160
n
m
k
m
m
m
k
k
k
dxdy
y
x
u
y
x
u
V
m
k
D
km
km
km
,...,
2
,
1
,
,
)
3
2
)(
1
2
)(
1
)(
3
2
)(
1
2
)(
1
(
)
,
(
1
)
,
(
1
3
2
и
получаем
функции
.
)
,
(
1
)
,
(
1
)
,
(
y
x
u
y
x
u
y
x
u
km
km
km
(5.18)
Замечание
.
Процедуру
получения
всех
пробных
и
поверочных
функций
необходимо
описать
в
файле
отчета
.
После
этого
в
программе
вычисляются
коэффициенты
(5.9)
системы
уравнений
(5.8)
и
,
решая
эту
систему
,
находятся
коэффициенты
k
C
:
.
10
11211
,
1
10
124301
,
2
036596
,
1
464849
,
0
720142
,
0
415005
,
0
601769
,
0
932257
,
0
115416
,
2
12
12
T
C
Выписываем
получившееся
пробное
решение
при
9
n
.
232
10
11211
,
1
15
42
10
124301
,
2
210
6
036596
,
1
15
42
464849
,
0
105
720142
,
0
14
15
415005
,
0
210
6
601769
,
0
14
15
932257
,
0
30
115416
,
2
10
10
)
,
(
3
3
9
12
3
2
8
12
3
7
2
3
8
2
2
7
2
6
3
7
2
6
5
33
9
23
8
13
7
32
6
22
5
12
4
31
3
21
2
11
1
9
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
y
x
u
(5.19)
Затем
в
программе
автоматически
отыскивается
предыдушее
пробное
решение
,
строятся
таблица
сравнения
точного
и
приближенного
решения
,
таблица
сравнения
n
-
го
и
(
n–
1)-
го
пробных
решений
,
таблица
невязки
.
На
основании
анализа
полученных
таблиц
,
программа
автоматически
определяет
меры
точности
полученного
решения
,
которые
отображаются
в
пункте
«
Выводы
»
для
всех
трех
систем
пробных
и
поверочных
функций
.
2
вариант
.
В
качестве
пробных
возьмем
функции
(5.18),
а
в
качестве
поверочных
–
произведения
нормированных
многочленов
Лежандра
(2.31),
т
.
е
.
функции
;
5
,
1
,
,
)
(
)
(
)
,
(
1
1
1
1
m
k
P
P
y
P
x
P
y
x
w
m
k
m
k
km
где
2
1
0
2
1
2
)
(
||
||
k
dx
x
P
P
k
k
.