ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 07.12.2021
Просмотров: 2113
Скачиваний: 1
161
Получим
коэффициенты
k
C
:
.
10
875523
,
1
10
138911
,
3
074989
,
1
514572
,
0
797172
,
0
465166
,
0
59365
,
0
919679
,
0
012859
,
2
13
13
T
C
Выписываем
получившееся
пробное
решение
при
9
n
.
232
10
875523
,
1
15
42
10
138911
,
3
210
6
074989
,
1
15
42
514572
,
0
105
797172
,
0
14
15
465166
,
0
210
6
59365
,
0
14
15
919679
,
0
30
012859
,
2
10
10
)
,
(
3
3
9
13
3
2
8
13
3
7
2
3
8
2
2
7
2
6
3
7
2
6
5
33
9
23
8
13
7
32
6
22
5
12
4
31
3
21
2
11
1
9
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
y
y
x
x
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
y
x
u
3
вариант
.
В
качестве
пробных
и
поверочных
функций
выбираем
нормированные
функции
my
kx
y
x
u
km
sin
sin
)
,
(
1
.
Программа
автоматически
вычисляет
нормирующие
множители
n
m
k
dxdy
y
x
u
y
x
u
V
D
km
km
km
,...,
2
,
1
,
,
2
)
,
(
1
)
,
(
1
2
и
получает
функции
.
)
,
(
1
)
,
(
1
)
,
(
y
x
u
y
x
u
y
x
u
km
km
km
Получим
коэффициенты
k
C
:
.
10
486968
,
5
10
738087
,
1
266667
,
0
011396
,
0
10
222324
,
6
8
,
0
02963
,
0
10
943335
,
3
4
3
15
15
14
T
C
Выписываем
получившееся
пробное
решение
при
9
n
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
u
C
y
x
u
2
sin
3
sin
2
011396
,
0
2
sin
2
sin
2
10
222324
,
6
2
sin
sin
2
8
,
0
sin
3
sin
2
02963
,
0
sin
2
sin
2
10
943335
,
3
sin
sin
2
4
10
10
)
,
(
15
14
33
9
23
8
13
7
32
6
22
5
12
4
31
3
21
2
11
1
9
.
3
sin
3
sin
2
10
486968
,
5
3
sin
2
sin
2
10
738087
,
1
3
sin
sin
2
266667
,
0
3
15
y
x
y
x
y
x
162
5.
Копируем
в
файл
отчета
пункт
«
Выводы
»:
max
|
U
(
x
,
y
)–
u
n
(
x
,
y
)|
max
|
u
n
(
x
,
y
)–
u
n
-1
(
x
,
y
)|
max
|
R
n
(
x
,
y
)|
1.
11
0.01527
21
0.11439
31
0.796
2.
12
0.044826
22
0.13375
32
0.564773
3.
13
0.140652
23
0.185135
33
7.751569
Делаем
вывод
,
что
лучшее
приближение
решения
дифференциального
уравнения
дает
функция
(5.19).
5.6.
Основные
термины
Уравнение
эллиптического
типа
,
краевая
задача
.
Точное
,
приближенное
,
пробное
решения
уравнения
.
Невязка
пробного
решения
уравнения
.
Метод
Галеркина
.
Пробные
и
поверочные
функции
.
5.7.
Вопросы
для
самоконтроля
1.
Как
находится
функция
,
названная
в
методе
Галеркина
невязкой
?
2.
Как
строится
система
линейных
алгебраических
уравнений
для
определения
коэффициентов
пробного
решения
?
3.
Проверьте
истинность
формул
(5.8), (5.9).
4.
В
каком
случае
невязка
пробного
решения
сходится
при
n
к
нулю
в
среднем
?
5.
Опишите
алгоритм
приближенного
решения
задачи
(5.1)–(5.2)
методом
Галеркина
.
6.
Приведите
физическую
интерпретацию
задачи
(5.10)–(5.11).
7.
Найдите
решение
задачи
(5.10)–(5.11),
используя
двойной
тригонометрический
ряд
Фурье
.
8.
Приведите
пример
пробных
функций
для
задачи
(5.10)–(5.11).
9.
Как
проверить
ортогональность
функций
двух
переменных
на
плоской
области
D
?
10.
Как
нормировать
функцию
двух
переменных
на
области
D
?
163
6.
Прикладной
математический
пакет
«MathCAD»
6.1.
О
системе
«MathCAD»
Миллионы
людей
занимаются
математическими
расчетами
,
иногда
в
силу
влечения
к
таинствам
математики
и
ее
внутренней
красоте
,
а
чаще
в
силу
профессиональной
или
иной
необходимости
,
не
говоря
уже
об
учебе
.
Ни
одна
серьезная
разработка
в
любой
отрасли
науки
и
производства
не
обходится
без
трудоемких
математических
расчетов
.
Вначале
эти
расчеты
выполнялись
на
программируемых
микрокалькуляторах
или
с
помощью
программ
на
универсальных
языках
программирования
,
таких
,
как
Бейсик
или
Паскаль
.
Постепенно
для
облегчения
расчетов
были
созданы
специальные
математические
компьютерные
системы
.
Одна
из
самых
мощных
и
эффективных
математических
систем
–
MathCAD.
Она
существует
в
двух
вариантах
:
стандартном
MathCAD Standard
и
профессиональном
MathCAD Professional (PRO).
Стандартная
версия
ориентирована
на
большинство
пользователей
,
а
профессиональная
–
на
профессионалов
,
серьезно
занимающихся
математическими
расчетами
.
Системы
MathCAD
традиционно
занимают
особое
место
среди
множества
таких
систем
(MatLAB, Mathematica
и
др
.)
и
по
праву
могут
называться
самыми
современными
,
универсальными
и
массовыми
математическими
системами
.
Они
позволяют
выполнять
как
численные
,
так
и
аналитические
(
символьные
)
вычисления
,
имеют
чрезвычайно
удобный
математико
-
ориентированный
интерфейс
и
прекрасные
средства
графики
.
Системы
класса
MathCAD
предоставляют
уже
привычные
,
мощные
,
удобные
и
наглядные
средства
описания
алгоритмов
решения
математических
задач
.
Преподаватели
и
студенты
вузов
получили
возможность
подготовки
с
их
помощью
наглядных
и
красочных
обучающих
программ
в
виде
электронных
книг
с
действующими
в
реальном
времени
примерами
.
Новейшая
система
MathCAD PRO
настолько
гибка
и
универсальна
,
что
может
оказать
неоценимую
помощь
в
решении
математических
задач
как
школьнику
,
постигающему
азы
математики
,
так
и
академику
,
работающему
со
сложнейшими
научными
проблемами
.
Система
имеет
достаточные
возможности
для
выполнения
наиболее
массовых
символьных
(
аналитических
)
вычислений
и
преобразований
.
Исключительно
велика
роль
систем
класса
MathCAD
в
образовании
.
Облегчая
и
делая
интересным
решение
сложных
математических
задач
,
система
снимает
психологический
барьер
при
изучении
математики
.
Грамотное
применение
систем
в
учебном
процессе
обеспечивает
повышение
фундаментальности
математического
и
технического
образования
,
содействует
подлинной
интеграции
процесса
образования
в
нашей
стране
.
164
6.2.
Основные
понятия
и
функции
Для
работы
в
системе
MathCAD
достаточно
поместить
курсор
в
желаемое
место
окна
редактирования
(
красный
крестик
на
цветном
дисплее
)
и
затем
начать
ввод
математического
выражения
(
черное
обрамление
,
называемое
математической
областью
,
внутри
которой
это
выражение
набирается
).
Маленькая
черная
рамка
■
в
математической
области
есть
поле
ввода
.
Наличие
поля
ввода
указывает
на
то
,
что
ввод
математического
выражения
или
графика
не
закончен
.
Для
заполнения
этого
поля
нужно
щелкнуть
по
нему
мышью
и
начать
ввод
.
Для
создания
математических
выражений
используются
следующие
операции
.
Арифметические
операции
:
сложение
– ‘+’;
возведение
в
степень
– ‘^’;
факториал
– ‘!’;
абсолютная
величина
– ‘|’;
умножение
– ‘*’;
корень
n
-
ой
степени
– ‘Ctrl’+’\’ (
т
.
е
.
необходимо
одновременно
нажать
две
клавиши
‘Ctrl’
и
’\’);
квадратный
корень
– ‘\’;
вычитание
– ‘–‘;
суммирование
– ‘Ctrl’+‘Shift’+‘4’
(
например
, 14
3
1
2
i
i
);
произведение
– ‘Ctrl’+‘Shift’+‘3’ (
например
, 36
3
1
2
i
i
).
Логические
операторы
:
больше
– ‘>’;
меньше
– ‘<’;
больше
либо
равно
–
‘Ctrl’+’0’;
меньше
либо
равно
– ‘Ctrl’+’9’;
не
равно
– ‘Ctrl’+’3’;
равно
–
‘Ctrl’+’=’.
Символы
присвоений
(
вводится
правая
и
левая
части
):
присвоение
значений
переменных
и
функций
(
на
экране
появится
“
:
”) – ‘:’;
булево
равенство
(
на
экране
–
жирный
знак
“=”) – ‘Ctrl’+’=’.
Символы
вычислений
(
вводятся
левая
часть
,
а
правая
вычисляется
автоматически
):
получение
числового
значения
– ‘=’;
получение
символьного
значения
(“
”) – ‘Ctrl’+’.’.
Для
определения
точности
полученного
результата
необходимо
два
раза
щелкнуть
левой
кнопкой
мыши
на
поле
,
его
содержащем
(
или
через
меню
инструментов
: Format
Result,
или
,
если
программа
русифицирована
,
Формат
Результат
),
и
во
всплывающем
окне
«Format result»
установить
число
десятичных
знаков
(
Точность
отображения
или
Number of decimal places)
от
0
до
15.
После
нажатия
кнопки
«OK»
результат
автоматически
будет
округлен
до
необходимого
числа
знаков
.
Введение
основных
аналитических
функций
:
синус
– sin(
x
);
косинус
–
cos(
x
);
тангенс
– tan(
x
);
котангенс
– cot(
x
);
арксинус
– asin(
x
);
арккосинус
–
acos(
x
);
арктангенс
– atan(
x
);
арккотангенс
– acot(
x
);
экспонента
– exp(
x
)
или
x
e
;
натуральный
логарифм
– ln(
x
);
десятичный
логарифм
– log(
x
);
логарифм
x
по
основанию
a
– log(x,a),
синус
гиперболический
– sinh(
x
);
косинус
гиперболический
– cosh(
x
);
тангенс
гиперболический
– tanh(
x
);
котангенс
гиперболический
– coth(
x
);
арксинус
гиперболический
– asinh(
x
);
арккосинус
гиперболический
– acosh(
x
);
арктангенс
гиперболический
– atanh(
x
);
арккотангенс
гиперболический
– acoth(
x
).
Все
встроенные
функции
системы
Mathcad
можно
получить
при
нажатии
‘Ctrl’+’E’ (
или
через
меню
инструментов
: Insert
Function,
или
,
если
165
программа
русифицирована
,
Вставка
Функция
)
и
во
всплывающем
окне
«Insert function»
выбрать
необходимую
функцию
.
После
нажатия
кнопки
«OK»
выбранная
функция
будет
вставлена
в
место
,
где
установлен
курсор
.
В
частности
,
при
разработке
лабораторных
работ
были
использованы
функции
:
rkfixed(
y
,
x
1,
x
2,
npoints
,
D
) –
возвращает
матрицу
решений
задачи
Коши
для
нормальной
системы
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
.
Решение
отыскивается
численно
по
методу
Рунге
-
Кутта
.
Функция
имеет
пять
аргументов
:
y
–
вектор
,
содержащий
начальные
условия
неизвестных
функций
;
2
,
1
x
x
–
начальная
и
конечная
точка
интегрирования
;
npoints
–
число
точек
раз
-
биения
отрезка
]
2
,
1
[
x
x
(
чем
больше
,
тем
точнее
найденное
решение
);
D
–
векто
-
розначная
функция
,
содержащая
правые
части
дифференциальных
уравнений
;
bvalfit(
v
1,
v
2,
x
1,
x
2,
xf
,
D
, load1, load2, score) –
позволяет
привести
краевую
задачу
для
нормальной
системы
обыкновенных
дифференциальных
уравнений
к
задаче
Коши
(
которая
решается
с
помощью
функции
rkfixed
)
и
возвращает
начальные
условия
,
оставшиеся
неизвестными
в
точке
x
1.
Функция
имеет
девять
аргументов
:
v
1,
v
2 –
вектора
,
содержащие
предположительные
началь
-
ные
условия
,
оставшиеся
неизвестными
в
точках
x
1
и
2
x
соответственно
; 2
,
1
x
x
–
начальная
и
конечная
точка
интегрирования
;
xf
–
точка
между
1
x
и
2
x
,
в
которой
траектории
решений
начинающихся
в
точках
1
x
и
2
x
будут
равны
;
D
–
n
-
элементная
векторозначная
функция
,
содержащая
правые
части
дифферен
-
циальных
уравнений
;
load
1,
load
2 –
векторозначная
функция
,
в
чьи
n
элементы
переписываются
величины
n
неизвестных
функций
в
1
x
и
2
x
соответственно
;
score
–
n
-
элементная
векторозначная
функция
используемая
для
того
,
чтобы
определить
как
решения
сочетаются
в
точке
xf
(
обычно
определяют
score
(
xf
,
y
):=
y
,
чтобы
решения
по
всем
неизвестным
функциям
сочетались
в
xf
);
root(
f
(
x
),
x
,
a
,
b
) –
возвращает
корень
уравнения
0
)
(
x
f
по
переменной
x
на
отрезке
]
,
[
b
a
;
if(
cond
,
a
,
b
) –
возвращает
значение
a
,
если
условие
cond
истинно
,
и
значение
b
,
если
ложно
(
в
качестве
условия
cond
обычно
используется
логический
оператор
,
например
, 2
i
).
Задание
дискретных
величин
осуществляется
при
нажатии
‘;’.
Например
,
5
.
1
..
1
.
1
,
1
:
3
..
0
:
j
i
.
Чтобы
набрать
эти
формулы
,
необходимо
с
клавиатуры
набрать
3
;
0
:
i
и
5
.
1
;
1
.
1
,
1
:
j
.
Первая
формула
означает
,
что
i
принимает
значения
0, 1, 2, 3,
а
вторая
,
что
j
принимает
значения
1.0, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5 (
т
.
е
.
вторая
цифра
показывает
каков
шаг
дискретной
величины
).
С
помощью
дискретных
величин
в
системе
Mathcad
можно
организовывать
простейшие
циклы
,
с
помощью
которых
удобно
задавать
матрицы
и
векторы
(
см
.
раздел
6.4).
Все
описанные
символы
операторов
и
основных
элементарных
функций
можно
ввести
с
помощью
мыши
из
всплывающего
меню
(View
Toolbars