Файл: Учебник для вузов. М Издво мгту им. Баумана, 2002, 336 с. Теоретические основы сапр Учебник для вузов Корячко В. П., Корейчик В. М., Норенков И. П. М. Энергоатомиздат, 1987, 400 с.doc

Основное преимущество параметрического описания – возможность передачи геометрической формы очень сложных поверхностей, которые др. методами описать очень сложно.

Например, винтообразная улитка может быть описана параметрическим представлением суммы трех векторов: первого, вокруг которого завивается улитка; второго, конец которого очерчивает спираль, а начало скользит по первому; и третьего, начало которого скользит по спирали, а конец вращается вокруг спирали.

Тор, симметричный относительно оси OZ и плоскости XOY:



где а – радиус кольцевого "баллона" тора; R – расстояние от центра тора до оси "баллона"; u = [0, 2],  = [0, 2]. Неявное описание вида f (X, Y, Z ) = 0 этих поверхностей невозможно.

Другое преимущество параметрического описания заключается в приспособленности к физическим процессам управления резцом в станках с числовым программным управлением. Резец в этом случае должен вытачивать деталь, двигаясь в пространстве по законам, заданным в параметрической модели.

Параметрические поверхности очень легко ограничиваются в пространстве путем задания пределов изменения параметров. Например, наружная поверхность дольки апельсина в виде 1/8 шара радиуса r задается в виде X = r sin u cos , Y = r sin u sin , Z = r cos u,  = [0, /4], u = [-/2, /2]. Описание ограничений в неявно заданных поверхностях гораздо более сложно.

Описание поверхности неявными функциями. Заключается в моделировании поверхностей следующей математической формой: f (X, Y, Z) = 0, где X, Y, Z – координаты объектного пространства.

В качестве функции f могут быть функции различных порядков, однако из-за сложности математической обработки обычно ограничиваются первой и второй степенью. Существуют аналитические методы решения уравнений третьей и четвертой степени, однако поверхности, описываемые функциями такой степени, незначительно расширяют возможности геометрической имитации форм, а вычислительные затраты резко возрастают. Поверхности первого порядка вида AX + BY + CZ + D = 0, где A, B, C, D – коэффициенты, представляют собой плоскости.

Из поверхностей первого порядка можно составить описание поверхности объекта типа

---

полигонального поля. Таким полем называют серию смежных многоугольников, не имеющих разрывов между собой. Каждое ребро поля является общим для смежных многоугольников. Таким образом, составная функция, описывающая поверхность, обладает непрерывностью, а производная имеет разрывы в местах стыка участков плоскостей.

Поверхности второго порядка типа

---

AX² + BY² + CZ² + DXY + EYZ + FZX + GX + HY + JZ + K = 0

в зависимости от значения коэффициентов А – К могут описывать две плоскости, конусы, гиперболоиды, параболоиды и эллипсоиды. Неявная форма задания поверхности хорошо подходит для использования в методе твердотельного моделирования и при трассировании лучей, так как существуют простые приемы определения взаимного положения точки и поверхности такого типа, определения точки пересечения прямой и поверхности.

Поточечное описание поверхностей – представление поверхности множеством отдельных точек, принадлежащих этой поверхности. Теоретически при бесконечном увеличении числа точек такая модель обеспечивает непрерывную форму описания. Точки, используемые для описания, должны располагаться достаточно часто, чтобы можно было передать поверхность без грубых потерь и искажения информации. Основная особенность такого описания – отсутствие информации о поверхности между точками. Например, при задании полигональных поверхностей вершины каждого плоского полигона, а следовательно, и вся модель могут быть описаны точками, но предполагается, что между точками располагаются участки плоскостей.

Поточечное описание поверхностей применяют в тех случаях, когда поверхность очень сложна, не обладает гладкостью, а детальное представление многочисленных геометрических особенностей важно для практики (участки грунта на других планетах, формы малых небесных тел). Исходная информация при данном методе описания представляется в виде матрицы трехмерных координат точек.

Поверхности типа экструзий. Extrusion – выталкивание, выдавливание. Это: металлические профили, выдавленные из расплава, поверхности вращения, вырезанные резцом из заготовки. Большой класс деталей может быть представлен как результат вращения кривой или ломаной линии относительно некоторой оси.


Кривую линию, являющуюся линией вращения фигуры, аппроксимируют ломаной линией. Каждый отдельный участок последней становится образующей отдельного конуса. Описание конуса может быть как неявным, так и параметрическим в зависимости от алгоритма синтеза изображения.

---

Другими представителями поверхностей-экструзий являются поверхности, образованные путем параллельного переноса кривой линии вдоль некоторой прямой. Кривую аппроксимируют ломаной линией, а всю поверхность фигуры представляют множеством смежных четырехугольников. Две стороны каждого четырехугольника параллельны направляющей прямой, а две остальные параллельны соответствующему отрезку ломаной. Если в качестве направляющей используется кривая линия, то она тоже аппроксимируется ломаной.

Модели объектов и их классификация

Три основных типа: описание объекта поверхностями, сплошными телами и типа проволочной сетки (каркасом).

Проволочная модель или каркасное моделирование. Поверхность представляется серией пересекающихся линий, принадлежащих поверхности объекта. Каркасная модель полностью описывается в терминах точек и линий. Каркасное моделирование представляет собой моделирование самого низкого уровня и имеет ряд серьезных ограничений, большинство из которых возникает из-за недостатка информации о гранях, заключенных между ребрами, и невозможности выделить внешнюю и внутреннюю области изображения твердотельного объема.

Главный недостаток – неоднозначность распознавания ориентации и видимости граней каркасного изображения. В отличие от твердотельной модели, в каркасной нельзя отличить видимые грани геометрической формы от невидимых (скрытых).

Описание объекта поверхностями. Объект представляется в виде тонких поверхностей, под которыми находится пустое пространство, не заполненное материалом объекта (эллипсоид – пустое внутри яйцо). В рамках этого метода конструируют полигонные поля и бикубические участки. Это модель более высокого уровня, чем каркасная, более гибкая и функциональная. Поверхности описываются различными способами (рассмотрено выше).

Описание сплошными телами. Объекту или отдельному примитиву принадлежат все точки объекта или примитива – как наружные, так и внутренние (эллипсоид – однородно заполненное яйцо). Модель описывается в терминах того трехмерного объема, который занимает определяемое ею тело.

Преимущества:

– полное определение объема и формы;

– обеспечение автоматического удаления невидимых (скрытых) линий;

– автоматизированное построение трехмерных разрезов проектируемого изделия, что особенно важно при анализе сложных сборочных единиц;

---

– автоматическое получение точных значений массы, площади поверхности, центра тяжести, момента инерции для любой детали или изделия в целом;

– повышение эффективности имитации движения инструмента или рабочих органов изделия;

– наличие разнообразной палитры цветов, получение тоновых эффектов – качественное изображение формы.

Описание сплошными телами

Ячеечные методы. Ограниченный участок пространства, охватывающий весь моделируемый объект, считается разбитым на большое число дискретных кубических ячеек. В простейшем случае размеры ребра куба равны единице измерения длины. Моделирующая система должна просто записать информацию о принадлежности или непринадлежности каждого куба телу объекта. Структура данных представляется трехмерной матрицей, в которой каждый элемент соответствует пространственной ячейке. Преимущество – прост, недостатки – требуется большой объем памяти для записи объекта с высоким разрешением. Для преодоления этого недостатка можно ячейки, которые захватывают границу объекта, разбить на подъячейки меньшего размера.

Представление объекта границами. В памяти машины сохраняют все элементы, которые создают границы объекта. Это: поверхности, края поверхности и указатели пересечений поверхностей. Также необходимо записать топологическую информацию, которая показывает, как элементы связаны друг с другом. Поверхности края и пересечения являются топологической основой конструкции объекта. При моделировании объекта границами структура данных строится одновременно с процессом создания модели. Преимущества: большие возможности геометрического моделирования форм, чем при описании сплошными телами; быстрый и эффективный доступ к геометрической информации, которая требуется для выполнения сечений тел или др. прикладных целей; относительно простое создание геометрических поверхностей свободных форм. Недостатки: больший объем исходных данных, чем при твердотельном моделировании; модель логически менее устойчива, чем твердотельная, т.е. возможно создание противоречивых конструкций; сложности построения вариаций форм.

Моделирование сплошными геометрическими конструктивами (твердотельное моделирование). Сложные объекты представляются составленными из простых объемных примитивов (кубы, цилиндры, конусы, эллипсоиды и др.). Основан на использовании булевых операций. Булевы операции над примитивами позволяют достигать объединения, вычитания и выделения общей части примитивов.

---