Файл: Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера.docx

ТУЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТИЭИ)
Частная образовательная организация высшего образования, ассоциация
ЧОО ВО – АССОЦИАЦИЯ «ТУЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ (ТИЭИ)»

Кафедра____________________________________

Учебная дисциплина_________________________

___________________________________________

КУРСОВАЯ РАБОТА

На тему Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений. Метод Эйлера____________________________________

Выполнил студент ________________________________

(Ф.И.О., № группы)

_______________________

(подпись)

Руководитель_____________________________________

(Ф.И.О., ученая степень, звание)

_______________________

(подпись)

Тула, 2016 год

Содержание

Введение

Возможность постановки вычислительного эксперимента на ЭВМ приводит к существенному ускорению процессов математизации науки и техники, к постоянному расширению области приложения современных разделов математики. Количественные методы внедряются практически во все сферы человеческой деятельности, что приводит к расширению круга профессий, для которых математическая грамотность становится необходимой.

Однако, развитие науки и техники, современная технология производства ставят перед специалистами задачи, для которых либо не возможно

---

, либо крайне громоздко и сложно получение алгоритма классическими методами математического анализа. Отсюда стремление использовать различные численные методы, разрабатываемые вычислительной математикой и позволяющие получить конечный числовой результат с приемлемой для практических целей точностью.

Численный метод решения задачи - это определенная последовательность операций над числами, т.е. вычислительный алгоритм, языком которого являются числа и арифметические действия. Такая примитивность языка позволяет реализовать численные методы на ЭВМ, что делает их мощными и универсальными инструментами исследования.

Численные методы используются в тех случаях, когда не удается найти точное решение возникающей математической задачи. Это происходит главным образом, потому, что искомое решение обычно не выражается в привычных для нас элементах или других известных функциях. Даже для достаточно простых математических моделей иногда не удается получить результат решения в аналитической форме. В таких случаях основным инструментом решения многих математических задач выступают численные методы, позволяющие свести решение задачи к выполнению конечного числа арифметических действий над числами, при этом результаты получаются также в виде числовых значений.

Многие численные методы разработаны давно, однако при ручных вычислениях они могли использоваться лишь для решения узкого круга не слишком сложных задач, и только с появлением высоко производительных ЭВМ начался период бурного развития методов вычислительной математики и их внедрения в практику. Численные методы приобрели важнейшее значение как мощное математическое средство решения практических задач в различных областях науки и техники.

В этом нам видится актуальность выбранной темы работы.

Целью исследования в работе является изучение Численных методов.

Исходя из цели в работе, постановлены следующие задачи:

- показать различные решения численными методами;

- проанализировать приближенное решение уравнений;

- проанализировать численное интегрирование по методу Эйлера;

- рассмотреть численное интегрирование дифференциальных уравнений.

---

1 Численное интегрирование дифференциальных уравнений

1.1 Характеристика численного интегрирования систем дифференциальных уравнений

Вычислительные (численные) методы — методы решения математических задач в численном виде.¹

Представление как исходных данных в задаче, так и её решения — в виде числа или набора чисел.

Многие ну численные ну методы ну являются ну частью ну библиотек ну математических ну программ. В ну системе ну подготовки ну инженеров ну технических ну специальностей ну являются ну важной ну составляющей.

Основами ну для ну вычислительных ну методов ну являются:

- решение ну систем ну линейных ну уравнений;

- интерполирование ну и ну приближённое ну вычисление ну функций;

- численное ну интегрирование;

- численное ну решение ну системы ну нелинейных ну уравнений;

- численное ну решение ну обыкновенных ну дифференциальных ну уравнений;

- численное ну решение ну уравнений ну в ну частных ну производных ну (уравнений ну математической ну физики);

- решение ну задач ну оптимизации.

В ну современной ну науке ну для ну решения ну задач ну прикладной ну математики ну формулируется ну математическая ну модель ну в ну терминах ну интегральных ну и ну дифференциальных ну уравнений ну функций ну непрерывного ну аргумента. Переход ну от ну континуальной ну к ну дискретной ну математической ну модели ну осуществляется ну заменой ну функций ну непрерывного ну аргумента ну функциями ну дискретного ну аргумента. В ну получившихся

---

ну конечно-разностных ну уравнениях ну интеграл ну и ну производная ну представлены ну конечной ну суммой ну и ну разностным ну отношением, ну соответственно. Получившаяся ну модель ну представляет ну собой ну систему ну алгебраических ну уравнений, ну для ну решения ну которой ну с ну определённой ну точностью ну составляется ну вычислительный ну алгоритм, ну который ну реализуется ну на ну вычислительных ну машинах.

Основными ну требованиями ну к ну вычислительному ну алгоритму ну являются: высокая ну точность, ну устойчивость ну и ну экономичность. При переходе к дискретной модели появляется погрешность аппроксимации, а при реализации вычислений — погрешность округления, поэтому для реальных вычислительных алгоритмов проводится анализ погрешностей и устойчивости вычислительного алгоритма. Необходимо ну помнить, ну что ну вычислительная ну машина ну выполняет ну только ну четыре ну основных ну арифметических ну операции. Точность ну решения ну при ну этом ну должна ну быть ну несколько ну выше ну ожидаемой ну точности ну физического ну эксперимента. При ну определении ну

---

критериев ну и ну условий ну роста ну погрешности ну долгое ну время ну не ну принималась ну во ну внимание ну погрешность ну округления. Необходимость ну гарантированных ну оценок ну точности ну реальных ну вычислений ну привела ну к ну возникновению ну интервального ну анализа. Оптимальным ну алгоритмом ну считается ну алгоритм ну с ну минимальной ну погрешностью ну или ну с ну минимальным ну числом ну операций ну при ну заданной ну погрешности. При ну этом ну разрабатывается ну теория ну параллельных ну вычислительных ну алгоритмов.

Для ну многих ну важных ну классов ну задач ну разработаны ну разнообразные ну численные ну методы ну решения. По ну способу ну дискретизации ну численные ну методы ну делятся ну на ну проекционные ну и ну конечно-разностные, ну по ну способу ну решения ну — ну на ну прямые ну и ну итерационные. В ну методах ну конечных ну разностей ну ставится ну задача ну определить ну значения ну функции ну на ну дискретном ну множестве ну точек, ну в ну то ну время ну как ну в ну проекционных ну методах ну функция ну представлена ну линейной ну комбинацией

---