Файл: metodichka.pdf

3.Куб, усі грані якого пофарбовано, розрізаний на тисячу кубиків однакового розміру, які потім ретельно перемішані. Знайти ймовірність того, що навмання витягнутий кубик має дві пофарбовані грані.

4.В конверті серед 100 фотокарток є одна картка, що розшукується. З конверта навмання витягнули 10 карток. Знайти ймовірність того, що серед них виявиться необхідна.

5.В ящику 100 деталей, з яких 10 бракованих. Навмання відібрано чотири деталі. Знайти ймовірність того, що серед вилучених деталей: а) немає бракованих; в) немає придатних.

6.На складі є 15 кінескопів, 10 з яких виготовлено Львівським заводом. Знайти ймовірність того, що серед п’яти відібраних навмання кінескопів виявиться три кінескопи Львівського заводу.

7.В групі 12 студентів, серед яких 8 відмінників. За списком навмання відібрано 9 студентів. Знайти ймовірність того, що серед відібраних студентів п’ять відмінників

8.В партії з 100 деталей відділ технічного контролю знайшов 5 нестандартних деталей. Чому дорівнює відносна частота появи нестандартних деталей?

9.При стрілянині з рушниці відносна частота влучення по мішені виявилась рівною 0,85. Знайти кількість влучень, якщо було проведено 120 пострілів.

§ 1.3 Геометричні ймовірності

Теоретичні відомості.

Нехай відрізок l є частиною відрізка L. На відрізок L кинуто навмання точку. Якщо припустити, що ймовірність попадання точки на відрізок l пропорційна довжині цього відрізку і не залежить від його розташування відносно відрізка L, то

ймовірність попадання точки на відрізок l визначається рівністю:

P A Довжина l . Довжина L

Нехай плоска фігура g є частиною плоскої фігури G. На фігуру G кинуто навмання точку. Якщо припустити, що ймовірність попадання кинутої точки на фігуру g пропорційна площі цієї фігури і не залежить ані від її розташування відносно G, ані від форми g, то ймовірність попадання точки в фігуру g визначається рівністю:

P A Площа g . Площа G

Аналогічно визначається ймовірність попадання точки в просторову фігуру , яка є частиною фігури V:

P A Об`єм . Об`єм V

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.На відрізку L довжиною 20 см розміщений менший відрізок l довжиною 10 см. знайти ймовірність того, що кинута навмання точка на більший відрізок, попаде також і на менший відрізок.

2.На площину з нанесеною сіткою квадратів зі стороною 12 см навмання кинуто монету радіусом 2 см. Знайти ймовірність того, що монета не перетне жодної з сторін квадрата.

3.На площині накреслено два концентричні кола, радіуси яких 5 та 10 см відповідно. Знайти ймовірність того, що точка кинута навмання в більше коло, попаде також і в кільце, що утворене накресленими колами.

5.Навмання вибрано два додатних числа x та y , кожне з яких не перевищує 2. Знайти ймовірність того, що добуток xy не

більший за одиницю, а частка y не більша за двійку. x

Варіант 2.

1.Коло радіусом R містить в собі менше коло радіусом r . Знайти ймовірність того, що точка навмання кинута в більше коло, влучить також і в менше коло.

2.На площину, яку поділено паралельними прямими, що розміщені на відстані 6 см одна від одної, кинуто навмання коло радіусом 1 см. Знайти ймовірність того, що коло не перетне жодної з прямих.

3.Всередину кола радіуса 10 см навмання кинуто точку. Знайти ймовірність того, що точка опиниться всередині вписаного в коло: а) квадрата; б) правильного трикутника.

4.В квадрат АВСD, з координатами вершин: A 0 ; 0 , B 0 ; 1 ,

5.Навмання вибрано два додатних числа x та y , кожне з яких не перевищує 1. Знайти ймовірність того, що сума x y не більша за одиницю, а добуток xy не менший за 0,09.

Розділ 2. ОСНОВНІ ТЕОРЕМИ

§ 2.1 Теореми додавання і множення ймовірностей

Теоретичні відомості.

Теорема додавання ймовірностей несумісних подій.

Ймовірність суми двох несумісних подій А, В дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P A B P A P B .

Наслідок. Ймовірність суми декількох попарно несумісних подій, дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

P A1 A2 ... An P A1 P A2 ... P An .

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Ймовірність суми двох сумісних подій А, В дорівнює сумі ймовірностей цих подій без ймовірності їх сумісної появи:

P A B P A P B P AB .

Теорема може бути узагальнена на довільне число сумісних подій. Наприклад, для трьох сумісних подій

P A B C P A P B P C P AB

.

P AC P BC P ABC

Теорема множення ймовірностей. Ймовірність сумісної появи двох подій дорівнює добутку ймовірності однієї з них на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша подія вже відбулась:

P AB P A PA B .

Зокрема, для залежних подій

P AB P A P B .

тобто, ймовірність сумісної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей цих подій.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Агенція оцінює стан кредиту, що визначає кредит особи як “відмінний”, “добрий”, “задовільний” і “поганий”. Ймовірність того, що особа отримає відмінний рейтинг – 0,25, добрий – 0,3, задовільний – 0,3. Яка ймовірність того, що особа: а) не матиме відмінного рейтингу; б) не буде мати ні доброго, ні відмінного рейтингу; в) матиме, не більше як добрий рейтинг?

2.Ймовірність того, що покупець, зайшовши у певний магазин, придбає що-небудь – 0,3. Якщо двоє покупців

заходять до магазину, то яка ймовірність того, що: а) вони обоє що-небудь куплять; б) жоден не зробить покупки; в) один із двох точно зробить покупку?

3.Для сигналізації про аварію встановлено два сигналізатори, що працюють незалежно. Ймовірність того, що при аварії сигналізатор спрацює, дорівнює 0,95 для першого сигналізатора та 0,9 для другого. Знайти ймовірність того, що при аварії спрацює лише один сигналізатор.

4.Ймовірність одного влучення в мішень в одному пострілі з двох гармат дорівнює 0,38. Знайти ймовірність враження мішені в одному пострілі першою з гармат, якщо для другої гармати ця ймовірність дорівнює 0,8.

5.Ймовірність того, що при вимірюванні деякої фізичної величини виникне помилка, яка перевищуватиме задану точність, дорівнює 0,4. Проведено три незалежних вимірювання. Знайти ймовірність того, що лише в одному з них помилка перевищить задану точність.

6.Пристрій складається з трьох елементів, що працюють незалежно. Ймовірності безвідмовної роботи (за час t )

першого, другого та третього елементів відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8. Знайти ймовірність того, що за час t безвідмовно працюватимуть: а) лише один елемент; б) лише два елементи; в) всі три елементи.

7.Кинуто три гральних кубики. Знайти ймовірності таких подій: а) на кожній грані з’явиться п’ять очок; б) на всіх трьох гранях з’явиться однакова кількість очок.

8.Серед 100 лотерейних білетів є 5 виграшних. Знайти ймовірність того, що 2 навмання витягнуті білети будуть виграшними.

9.В ящику 10 деталей, серед яких шість пофарбованих. Робітник навмання вибирає чотири деталі. Знайти ймовірність того, що усі взяті деталі будуть пофарбованими.

10.У мішечку є 10 однакових кубиків з номерами від 1 до 10. Навмання виймають один за одним три кубики. Знайти ймовірність того, що послідовно з’являться кубики з номерами 1, 2, 3, якщо кубики виймаються: а) без повернення; б) з поверненням.

11.Ймовірність прибуткової діяльності для першої фірми дорівнює 0,7, для другої – 0,5, для третьої ця ймовірність у три рази менша за суму ймовірностей для першої та другої фірм. Знайти ймовірність того, що прибутковими будуть рівно дві фірми.

12.Ймовірність виконання договору для першого підприємства становить 3/5, для другого ця ймовірність є розв’язком рівняння 5p2 6p 8 0. Визначити ймовірність виконання договору хоча б одним підприємством.

Варіант 2.

1.Студент оцінює ймовірність отримання оцінки “відмінно” в 0,2 і “добре” в 0,4. Яка ймовірність, що студент: а) не

отримає балу “відмінно”; б) не отримає балу “добре”; в) не отримає ні “відмінно”, ні “добре”?

2.Ймовірність того, що ціна окремої акції зростатиме впродовж ділового дня дорівнює 0,4. Якщо природа зміни ціни будь-якого дня є незалежною від того, що сталося попереднього дня, то яка ймовірність того, що ціна буде: а) зростати чотири дні підряд; б) залишиться такою ж чи спадатиме три дні підряд; в) зростатиме два з трьох днів?

3.Два мисливці стріляють по мішені. Ймовірність влучення в мішень в одному пострілі для першого мисливця дорівнює 0,7, а для другого – 0,8. Знайти ймовірність того, що в одному залпі в мішень влучить лише один з мисливців.

4.Відділ технічного контролю перевіряє виріб на стандартність. Ймовірність того, що виріб є стандартним, дорівнює 0,9. Знайти ймовірність того, що з двох перевірених виробів лише один стандартний.

5.З партії виробів товарознавець відбирає вироби вищого сорту. Ймовірність того, що навмання взятий виріб виявиться вищого сорту, дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що з трьох перевірених виробів лише два вироби вищого сорту.

6.Ймовірності того, що потрібна робітникові деталь знаходиться у першому, другому, третьому, четвертому ящику, відповідно дорівнюють 0,6; 0,7; 0,8; 0,9. Знайти ймовірності того, що деталь знаходиться: а) не більше як в трьох ящиках; б) не менше як в двох ящиках.

7.Кинуто три гральних кубики. Знайти ймовірності таких подій: а) на двох гранях з’явиться по одному очку, а на третій – інше число очок; б) на двох гранях з’явиться однакове число очок, а на третій – інше число очок.

8.У цеху працюють сім чоловіків та три жінки. За табельним журналом навмання відібрано три особи. Знайти ймовірність того, що всі відібрані особи – чоловіки.