Файл: metodichka.pdf

Розділ 3. ПОВТОРНІ ВИПРОБУВАННЯ

§ 3.1 Формула Бернуллі

Теоретичні відомості.

Коли виконуються послідовні випробування, то в результаті кожного з них може відбутися або не відбутися деяка подія А. Випробування повторюються n разів. Нехай ймовірність події А у кожному випробуванні одна й та ж сама P(A) = p. Яка ймовір-

ність того, що у виконаних n випробуваннях подія А відбудеться k разів?

На це питання дає відповідь наступне твердження: імовірність того, що в серії з n незалежних випробувань подія А з’явиться рівно k разів, за умови, що в кожному випробуванні подія А з’являється з імовірністю p і не з’являється з імовірністю q = 1 – p, обчислюється за формулою:

Цю формулу називають формулою Бернуллі.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Два рівносильних шахісти грають в шахи. Що ймовірніше: виграти дві партії з чотирьох чи три партії з шести?

2.Монету кинуто п’ять разів. Знайти ймовірність того, що “герб” випаде: а) менше двох разів; б) не менше двох разів.

3.Бізнесмен, вивчивши попит ринку на нові автомобілі, вирішив продати пробну партію з дев’яти таких автомашин. Ймовірність отримати високий прибуток за рахунок кожної машини оцінена в 0,8. Яка ймовірність отримати високий прибуток за рахунок продажу не більше двох автомашин?

4. В родині п’ятеро дітей. Знайти ймовірність того, що серед них: а) два хлопчики; б) не більше як два хлопчики; в) більше як два хлопчики; г) не менше як два та не більше три хлопчики. Ймовірність народження хлопчика вважати рівною 0,51.

5.Митниця дає офіційну оцінку того, що 20% усіх осіб, що повертаються з-за кордону, не декларує весь товар, на який накладається податок. Якщо випадково відібрали 6 осіб, які повертаються з-за кордону, то яка ймовірність того, що не менше трьох з них не задекларує товар, який обкладається податком?

Варіант 2.

1.Два рівносильних шахісти грають в шахи. Що ймовірніше: а) виграти одну партію з двох чи дві партії з чотирьох? б) виграти не менше двох партій з чотирьох чи не менше трьох партій з п’яти? Нічиї до уваги не беруться.

2.Служба податків визначила, що 50% всіх особистих декларацій про прибуток містить принаймні одну помилку. Якщо випадково відібрати 10 декларацій, то яка ймовірність того, що рівно 6 із них будуть містити принаймні одну помилку?

3.Банк видає кредитні картки VISA. Було встановлено, що 40% усіх рахунків оплачуються повністю за їх допомогою. З попереднього року вибрано навмання 6 рахунків. Яка ймовірність того, що: а) 4 з них оплачено за допомогою карток VISA; б) не більше чотирьох з них оплачено за допомогою карток VISA?

4.а) Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться не менше як три рази в чотирьох незалежних випробуваннях, якщо ймовірність появи події А в одному випробуванні дорівнює 0,4; б) подія Б з’явиться у випадку, коли подія А настане не менше як чотири рази. Знайти ймовірність появи події Б, якщо буде проведено п’ять незалежних випробувань, в кожному з яких ймовірність появи події А дорівнює 0,8.

5.Відрізок АВ поділено точкою С у відношенні 2 : 1. На цей відрізок навмання кинуто чотири точки. Знайти ймовірність того, що дві з них виявляться ліворуч від точки С та дві – праворуч.

§ 3.2 Локальна та інтегральна теореми Лапласа,

формула Пуассона

Теоретичні відомості.

Локальна теорема Лапласа. Якщо ймовірність появи події А в кожному випробуванні стала і дорівнює p, але відмінна від нуля і одиниці, а число випробувань достатньо велике, то ймовірність Pn (k) того, що в n незалежних випробуваннях подія А з’явиться k разів обчислюється за співвідношенням:

Лапласа) для додатних х записується у вигляді таблиці (див. табл. 1 у додатках). Для від’ємних значень х користуються цією ж таблицею, оскільки функція (x) є парною: ( x) (x).

Якщо, x 5 то вважаємо, що (x) 0.

Інтегральна теорема Лапласа. Якщо ймовірність р появи події А в кожному випробуванні стала, відмінна від нуля і одиниці, а число випробувань достатньо велике, то ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А наступить не менше k1 разів і не більше k2 разів наближено обчислюється за формулою

q – імовірність появи події A , тому q = 1 – p.

Таблицю значень інтегральної функції Лапласа для додатних значень х (0 x 5) подано у додатках (див. табл. 2),

для значення x > 5 приймають (x) 0,5; для від’ємних значень

х користуються цією ж таблицею, враховуючи, що інтегральна функція Лапласа непарна, тобто, ( x) (x).

Формула Пуассона. Якщо ймовірність p появи деякої події дуже мала, тобто близька до 0, а число незалежних випробувань n досить велике і при цьому добуток np залишається

невеликим, то для обчислення ймовірності Pn (k) того, що в цих випробуваннях подія А з’явиться k разів, наближено обчислюється за формулою

Ця рівність називається формулою Пуассона. Вона застосовується у випадках, коли не перевищує 10. Для спрощення розрахунків, пов’язаних з цією формулою, існує

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться рівно 70 разів у 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,25.

2.Для забезпечення нормальної роботи банку потрібно, щоб справними були не менше як 80% із наявних 50 комп’ютерів. Яка ймовірність нормальної роботи банку, якщо ймовірність вийти з ладу для кожного з комп’ютерів дорівнює 1/9?

3.Ймовірність народження хлопчика дорівнює 0,51. Знайти ймовірність того, що серед 100 новонароджених виявиться 50 хлопчиків.

4.Ймовірність появи події в кожному із 100 незалежних випробувань стала та дорівнює р = 0,8. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше як 75 разів та не більше як 90 разів; б) не менше як 75 разів; в) не більше як 74 рази.

5.Ймовірність появи події в кожному з незалежних випробувань дорівнює 0,8. Скільки необхідно провести випробувань, щоб з ймовірністю 0,9 можна було очікувати, що подія з’явиться не менше як 75 разів?

6.Підручник видано тиражем 100000 екземплярів. Ймовірність того, що підручник зброшурований невірно, дорівнює 0,0001. Знайти ймовірність того, що тираж містить рівно п’ять бракованих книг.

7.Завод відправив на базу 500 виробів. Ймовірність пошкодження виробу по дорозі дорівнює 0,002. Знайти ймовірності того, що по дорозі буде пошкоджено виробів: а) рівно три; б) менше трьох; в) більше трьох; г) принаймні один.

Варіант 2.

1.На фірмі є 500 працівників. Знайти ймовірність того, що у двох осіб день народження припадає на Новий рік.

2.Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться рівно 1400 раз в 2400 випробуваннях, якщо ймовірність появи цієї події в кожному випробуванні дорівнює 0,6.

3.Ймовірність враження мішені в одному пострілі дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що в 100 пострілах мішень буде вражено рівно 75 разів.

4.Ймовірність появи події в кожному з 2100 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться: а) не менше як 1470 та не більше як 1500 разів; б) не менше як 1470 разів; в) не більше як 1469 разів.

5.Ймовірність несплати податку для кожного із 400 підприємців дорівнює 0,1. Яка ймовірність того, що податки не сплатять не більше як 37 підприємців?

6.Ймовірність появи події в кожному з 21 незалежних випробувань дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що подія з’явиться в більшості випробувань.

7.Ймовірність появи позитивного результату в кожному з n дослідів дорівнює 0,9. Скільки треба провести дослідів, щоб з імовірністю 0,98 можна було очікувати, що не менше як 150 дослідів дадуть позитивний результат?

8.Магазин отримав 1000 пляшок мінеральної води. Ймовірність того, що при тр7анспортуванні пляшка виявиться розбитою, дорівнює 0,003. Знайти ймовірності того, що магазин отримає розбитих пляшок: а) рівно дві; б) менше двох; в) більше двох; г) принаймні одну.

§ 3.3 Відхилення відносної частоти від сталої імовірності в незалежних випробуваннях

Теоретичні відомості.

Оцінка відхилення відносної частоти від сталої імовір-

ності. Ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p 0 p 1 , абсолютна величина відхилення відносної частоти появи події від імовірності появи події не перевищить додатного числа ,