Файл: metodichka.pdf

9.В торбинці є п’ять кульок з номерами від 1 до 5. Навмання одна за одною виймають три кульки без повернення. Знайти ймовірності таких подій: а) послідовно з’являться кульки з номерами 1, 4, 5; б) витягнуті кульки мають номери 1, 4, 5 незалежно від послідовності їх появи.

10.Студент підготовлений по 20 з 25 питань програми. Знайти ймовірність того, що студент знає відповіді на запропоновані йому екзаменатором три питання.

11.Ймовірність банкрутства для першої фірми – це додатний

розв’язок рівняння 5p2 2p 0, для другої фірми ця ймовірність на 25% більша. Знайти ймовірність того, що із двох фірм збанкрутує хоча б одна.

12.Ймовірність своєчасної сплати податків для першого підприємства дорівнює 0,8, для другого – 0,6, для третього – 2/3. Визначити ймовірність своєчасної сплати податків не більше як одним підприємством.

§ 2.2 Ймовірність появи принаймні однієї події

Теоретичні відомості.

Нехай події A1, A2 , ..., An незалежні між собою, причому

P(A1) p1, P(A2 ) p2 , ..., P(An ) pn . Внаслідок випробування можуть настати всі події, або частина їх, або жодна з них. Імовірність настання події А, яка полягає в появі принаймні однієї з подій A1, A2 , ..., An , незалежних між собою, дорівнює різниці між одиницею і добутком ймовірностей протилежних подій A1, A2 , ..., An , а саме:

P(A) 1 q1 q2 ... qn ,

де P(A1) q1, P(A2 ) q2 , ..., P(An ) qn.

Якщо всі події мають одну й ту ж саму ймовірність, яка дорівнює p, то ймовірність появи принаймні однієї з цих подій, обчислюється за формулою

P(A) 1 qn.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.В електричне коло послідовно ввімкнуто три елементи, які працюють незалежно один від одного. Ймовірності відмов першого, другого та третього елемента відповідно

ймовірність того, що струму в колі не буде.

2.Для знищення моста достатньо влучення однієї авіаційної бомби. Знайти ймовірність того, що міст буде знищено, якщо на нього скинуто чотири бомби, ймовірності влучення яких відповідно дорівнюють: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.

3.Ймовірність вдалого виконання вправи для кожного з двох спортсменів дорівнює 0,5. Спортсмени виконують вправи по черзі, причому кожен робить по дві спроби. Той, хто виконає вправу першим, отримує винагороду. Знайти ймовірності отримання винагороди кожним із спортсменів.

4.Ймовірність принаймні одного влучення стрільцем в мішень з трьох пострілів дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення з одного пострілу.

Варіант 2.

1.Пристрій складається з двох елементів, що працюють незалежно. Ймовірності відмов кожного з елементів відповідно дорівнюють 0,05 та 0,08. Знайти ймовірність відмови пристрою, якщо для цього достатньо відмови принаймні одного з двох його елементів.

2.Три дослідники, незалежно один від одного, проводять вимірювання деякої фізичної величини. Ймовірність того, що перший дослідник припуститься помилки дорівнює 0,1. Для другого та третього дослідників ця ймовірність відповідно дорівнює 0,15 та 0,2. Знайти ймовірність того, що при одному вимірюванні принаймні один з дослідників припуститься помилки.

3.Ймовірність влучення в мішень кожним з двох лучників дорівнює 0,3. Лучники стріляють по черзі, причому кожен повинен зробити по два постріли. Той хто влучить першим отримує приз. Знайти ймовірність того, що лучники отримають приз.

4.Ймовірність принаймні одного влучення в мішень з чотирьох пострілів дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення в мішень з одного пострілу.

§ 2.3 Формула повної ймовірності

Теоретичні відомості.

Ймовірність події А, яка може відбутися лише при появі однієї з несумісних подій (гіпотез) B1 , B2 , ..., Bn , що утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної з гіпотез на відповідну умовну ймовірність події А:

Цю рівність називають формулою повної ймовірності.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.В обчислювальній лабораторії є шість клавішних автоматів та чотири напівавтомати. Ймовірність того, що за час виконання деякого розрахунку автомат не вийде з ладу, дорівнює 0,95; для напівавтомата ця ймовірність дорівнює 0,8. Студент вибирає навмання машину, та виконує розрахунок. Знайти ймовірність того, що до завершення розрахунку машина не вийде з ладу.

2.В ящику є 12 деталей, які виготовлені заводом № 1, 20 деталей – заводом № 2 та 18 деталей – заводом № 3. Ймовірність того, що деталь, яка виготовлена заводом № 1, відмінної якості, дорівнює 0,9; для деталей виготовлених заводами № 2 та № 3 ці ймовірності відповідно дорівнюють 0,6 та 0,9. Знайти ймовірність того, що вилучена навмання деталь виявиться відмінної якості.

3.В першій урні є 10 кульок, з яких 8 білих; в другій урні 20 кульок, з яких 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кульці, а потім з цих двох кульок навмання вибрали одну. Знайти ймовірність того, що вона біла.

Варіант 2.

1.В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець влучить в мішень в пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що в мішень буде влучено, якщо стрілець зробить один постріл, з навмання взятої гвинтівки.

2.В кожній з трьох урн є 6 чорних та 4 білих кульки. З першої урни навмання вилучено одну кульку та перекладено в другу урну, після чого з другої урни навмання вилучено одну

кульку та перекладено в третю урну. Знайти ймовірність того, що кульку, яку навмання вилучено з третьої урни, буде білою.

3.Ймовірності того, що за час роботи цифрової електронної машини відбудеться відмова арифметичного пристрою, оперативної пам’яті, інших пристроїв відносяться як 3 : 2 : 5. Ймовірності виявлення відмови арифметичного пристрою, оперативної пам’яті та інших пристроїв, відповідно дорівнюють 0,8; 0,9; 0,9. Знайти ймовірність того, що відмову буде виявлено.

§ 2.4 Формула Бейєса

Теоретичні відомості.

Якщо ймовірності подій (гіпотез) B1, B2 , ..., Bn до випро-

Таким чином, якщо подія А вже відбулася, то ймовірності

гіпотез B1, B2 , ..., Bn , які утворюють повну групу, можуть бути переоцінені за формулою Бейєса.

Практичні завдання.

Варіант 1.

1.Два автомати виробляють однакові деталі, які скидають на загальний конвеєр. Продуктивність праці першого автомата вдвічі більша за продуктивність другого. Перший автомат виконує в середньому 60% деталей вищого ґатунку, а другий – 84%. Навмання вилучено з конвеєра деталь виявилась вищого ґатунку. Знайти ймовірність того, що ця деталь виготовлена першим автоматом.

2.Кількість вантажних автомашин, що їдуть по шосе, на якому стоїть бензоколонка, відноситься до кількості легкових машин як 3 : 2. Ймовірність того, що буде заправлятись вантажна машина, дорівнює 0,1; для легкової машини ця ймовірність дорівнює 0,2. До бензоколонки під’їхав автомобіль. Знайти ймовірність того, що цей автомобіль вантажний.

3.В піраміді є 10 гвинтівок, з яких 4 з оптичним прицілом. Ймовірність того, що стрілець влучить в мішень в пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом, дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,8. Стрілець влучив у мішень з навмання взятої гвинтівки. Що ймовірніше: стрілець стріляв з гвинтівки з оптичним прицілом чи без нього?

4.Батарея з трьох гармат зробила залп, причому 2 снаряди влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що перша гармата влучила в ціль, якщо ймовірності влучення у ціль першою,

другою та третьою гарматою відповідно дорівнюють: p1 0,4, p2 0,3, p3 0,5.

Варіант 2.

1.У спеціалізовану лікарню поступають в середньому 50% хворих з захворюванням К, 30% з захворюванням L, 20% з захворюванням М. Ймовірність повного вилікування хвороби К дорівнює 0,7; для хвороб L та М ці ймовірності

відповідно дорівнюють 0,8 та 0,9. Хворий, що поступив до лікарні, виписався здоровим. Знайти ймовірність того, що він страждав захворюванням К.

2.Виріб перевіряється на стандартність одним з двох товарознавців. Ймовірність того, що виріб потрапить до першого товарознавця, дорівнює 0,55, а до другого – 0,45. Ймовірність того, що стандартний виріб буде визнано стандартним першим товарознавцем, дорівнює 0,9, а другим – 0,98. Стандартний виріб при перевірці було визнано стандартним. Знайти ймовірність того, що виріб перевірив другий товарознавець.

3.Три солдати зробили залп, причому дві кулі влучили в ціль. Знайти ймовірність того, що третій солдат влучив в ціль, якщо ймовірності влучення першим, другим та третім