Файл: Шпоры переделан.docx

1. Определение математической модели и математического моделирования.

2. Основные этапы математического моделирования.

3. Свойства математических моделей.

4. Требования к математическим моделям.

5. Классификация моделей.

6. Иерархия ММ и формы представления

7. Краевые задачи при проектировании технических объектов

8. Типы связей между подсистемами различной физической природы

9. ММ на микроуровне

10. ММ на макроуровне

11. \

12. сновные положения получения математических моделей технических объектов на макроуровне.

13. Методика получения функциональных моделей

14. Метод получения топологических уравнений

15. Метод конечных элементов.

16. Метод конечных разностей.

17. Методы граничных элементов.

18. Аналогии компонентных уравнений.

19. Аналогии топологических уравнений.

20. Получение эквивалентных схем технических объектов.

21. Аппроксимация табличных данных. Метод наименьших квадратов.

23. Внутренняя аппроксимация. Метод Ритца-Галеркина

24. .

25. Табличный метод получения математических моделей систем.

26. Узловой метод получения математических моделей систем.

27. .

28. Метод вращения Якоби

29. Методы решения систем линейных и нелинейных алгебраических уравнений.

30. Анализ в частотной области.

31. Сравнение методов конечныx элементов и конечных разностей

32. .

33. Математические модели дискретных устройств.

34. Многовариантный анализ.

35. Математические модели технических объектов на метауровне. Математические модели систем массового обслуживания.

36. Имитационное моделирование СМО

37. .

38. Геометрические модели.

39. Методы и алгоритмы машинной графики.

40. Программно-методические комплексы геометрического моделирования и машинной графики

1. Определение математической модели и математического моделирования

Математическая модель объекта моделирования – это система математических элементов (чисел, переменных, уравнений, неравенств, множеств, матриц, графов и т.д.) и отношений между ними, адекватно отражающая некоторые свойства объекта, существенные с точки зрения инженера, для решения той или иной задачи.

Моделирование - исследование объектов познания на их моделях; построение и изучение моделей реально существующих предметов и явлений (живых и неживых систем, инженерных конструкций, разнообразных процессов — физических, химических, биологических, социальных) и конструируемых объектов (для определения, уточнения их характеристик, рационализации способов их построения и т. п.).

Под объектами моделирования следует понимать:

1. Технологические системы (ТС) – участки из универсальных станков, автоматические линии, гибкие производственные системы (ГПС).

2. Технологические процессы (ТП).

3. Физические процессы (ФП).

Математические модели разрабатываются для:

1. Описания ФП, ТП, ТС.

2. Исследования ФП, ТП, ТС.

3. Проектирования ТП, ТС.

4. Оптимизации в ходе проектирования ТП, ТС и организации работы ТС.

5. Построения систем автоматизированного проектирования.

Вид, состав, сложность математической модели зависит от того, какой объект она описывает и для каких целей разработана.

В общем виде математическая модель объекта записывается:

где – вектор выходных параметров,

–вектор внутренних параметров,

–вектор внешних (входных) параметров,

2. Основные этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью М. м., можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап - формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап - исследование математических задач, к которым приводят М. м. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа М. м., и вычислительная техника - мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе М. м. различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программированияотражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.

Третий этап - выяснение того, удовлетворяет ли принятая гипотетическая модель критерию практики, то есть выяснение вопроса о том, согласуются ли результаты наблюдений с теоретическими следствиями модели в пределах точности наблюдений. Если модель была вполне определена - все параметры её были заданы, - то определение уклонений теоретических следствий от наблюдений даёт решения прямой задачи с последующей оценкой уклонений. Если уклонения выходят за пределы точности наблюдений, то модель не может быть принята. Часто при построении модели некоторые её характеристики остаются не определёнными. Задачи, в которых определяются характеристики модели (параметрические, функциональные) таким образом, чтобы выходная информация была сопоставима в пределах точности наблюдений с результатами наблюдений изучаемых явлений, называются обратными задачами. Если М. м. такова, что ни при каком выборе характеристик этим условиям нельзя удовлетворить, то модель непригодна для исследования рассматриваемых явлений. Применение критерия практики к оценке М. м. позволяет делать вывод о правильности положений, лежащих в основе подлежащей изучению (гипотетической) модели. Этот метод является единственным методом изучения недоступных нам непосредственно явлений макро- и микромира.

Четвёртый этап - последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

3. Свойства математических моделей

Свойства математических моделей: полнота, точность, адекватность, экономичность, работоспособность.

Полнота: Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отражает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании, предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационных процессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов.

Точность: Точность математической модели оценивается степенью совпадения значений выходных параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью модели.

Адекватность: Адекватность MM — способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Поскольку выходные параметры являются функциями векторов параметров внешних Q и внутренних Х, погрешность _j зависит от значений Q и X.

Экономичность: Экономичность математической модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов на ее реализацию. Если работа с математической моделью осуществляется вручную, то ее экономичность определяется затратами личного времени проектировщика. Если модель используется при автоматизированном проектировании, то затратами машинного времени и памяти компьютера.

Работоспособность: При использовании математической модели должны быть решены поставленные задачи.

Качество моделирования может быть оценено характеристикой его потребительских свойств:

- эффективность использования его по назначению (цели);

- ресурсоемкость;

- стоимость.

4 Требования к математическим моделям

Требования к математическим моделям:

·      универсальность;

·      адекватность;

·      точность;

·      экономичность.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Например, пусть - вектор входных параметров, тогда относительная погрешность расчета j-го параметра может быть оценена по формуле

, (3.1)

где y_jm, y_ист- значения выходного параметра истинное и рассчитанное по математической модели.

Адекватность ММ - способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ, как правило, имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров - в области адекватности (ОА):

ОА = , (3.2)

где d>0 - заданная константа, равная предельно допустимой погрешности ММ; Q- вектор внешних параметров.

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (времени и памяти) на ее реализацию

5 Классификация моделей

При построении математических моделей процессов функционирования систем существуют следующие основные подходы: непрерывно-детерминированный (например, дифференциальные уравнения, уравнения состояния); дискретно-детерминированный (конечные автоматы); дискретно-стохастический (вероятностные автоматы); непрерывно-стохастический (системы массового обслуживания); обобщенный или универсальный (агрегативные системы).