Файл: Шпоры переделан.docx

6. Иерархия мм и формы представления

Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей. Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов. Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областей можно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трех обобщенных уровней, называемых далее микро-, макро - и метауровнями.

В зависимости от места в иерархии математические модели делятся на ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне — дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов, давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентных средах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, напряжения и силы тока электрических систем, давления и расходы гидравлических и пневматических систем и т. п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 10³, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям на метауровне.

На метауровне в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей. Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системами ОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые переменные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макроуровне.

Модель может быть представлена различными способами:

- инвариантная - запись соотношений модели с помощью традиционного математического языка безотносительно к методу решения уравнений модели;

- аналитическая - запись модели в виде результата аналитического решения исходных уравнений модели;

- алгоритмическая - запись соотношений модели и выбранного численного метода решения в форме алгоритма;

- схемная (графическая) - представление модели на некотором графическом языке (например, язык графов, эквивалентные схемы, диаграммы и т.п.);

- физическая;

- аналоговая.

7. Краевые задачи проектирования

Проектирование многих технических объектов свя­зано с необходимостью анализа непрерывных физиче­ских процессов, математическим описанием которых являются дифференциальные уравнения в частных произ­водных. Примером тому служат современные летательные аппараты, при проектировании и расчете которых широко используется анализ подобных моделей.

Примеры уравнений, составляющих основу моделей объектов на микроуровне. Первая важная задача проектирования летательного аппарата — определение прочности узлов и элементов конструкции при различных видах нагружения. Поэтому исследование напряженного состояния деталей конструкции и связан­ные с ним расчеты на прочность относятся к наиболее ответственным в самолетостроении.

Напряженное состояние деталей конструкции в за­висимости от геометрии исследуемого узла, вида при­ложенной нагрузки и свойств материала описывается дифференциальными уравнениями различного вида. Лю­бое из этих уравнений может быть получено из общего квазигармонического уравнения

(2.1.) где х, у, z — пространственные координаты; φ — искомая непрерывная функция; К_х, К_у,K_z — коэффициенты; Q— внешнее воздействие. В двухмерном случае при К_х = К_у=1 уравнение (2.1) сводится к уравнению, описывающему напряженное состояние, возникающее в поперечном сечении упругого однородного стержня под воздействием крутящего мо­мента М:

д²φ/дх² + д²φ/ду² + 2Еθ = 0, (2.2)

где Е — модуль сдвига материала стержня; θ — угол закручивания на единицу длины, а функция φ — функ­ция, связанная с напряжениями сдвига τ_х и τ_у уравне­ниями

τ_х = дφ/ду; τ_у = дφ/дх. (2.3)

В (1.2) в явном виде не входит крутящий момент, связанный с искомой функцией напряжения φ уравне­нием

М = 2 ,

где S — площадь рассматриваемого сечения.

Вторая важная задача проектирова­ния летательного аппарата — изучение его аэродинами­ческих свойств. Решение этой задачи связано с исследо­ванием процессов обтекания газом поверхностей произ­вольной формы. Наиболее общими уравнениями, описы­вающими этот процесс, являются уравнения Навье — Стокса, которые в декартовой системе координат имеют вид

(2.4)

где и, v, ω— проекции вектора скорости; F_х , F_y ,F_z — проекции вектора силы на оси координат; ρ — плотность; р — давление; v = μ/ ρ(коэффициент вязкости).

Третья задача проектирования лета­тельных аппаратов — расчет тепловых режимов работы деталей и узлов конструкции. Одним из основных аспек­тов задачи является определение температурных полей, имеющих место в конструкциях.

Примечание. Знание температурных полей необходимо для вычисления количества теплоты, подводимой к телу или отводи­мой от него. Кроме того, температурные поля влияют на рас­пределение напряжений в конструкциях. Это обстоятельство особенно важно учитывать при проектировании вращающихся элементов летательных аппаратов.

Температурное поле в сплошной среде описывается уравнением теплопроводности. Последнее может быть получено из уравнения (1.1), если под функцией φ по­нимать температуру Т, а под коэффициентом К — коэф­фициент теплопроводности λ. Так, в двухмерном случае при условии, что коэффициенты теплопроводности λ_х и λ_у по соответствующим направлениям не зависят от координат, стационарное уравнение теплопроводности имеет вид

(2.5)

где Q — источник теплоты внутри тела, который счи­тается положительным, если теплота подводится к телу. Сформулированные выше задачи — типичные для многих областей техники. Так, задачу исследования ме­ханических напряжений, возникающих в конструкциях, необходимо решать при проектировании мостов, арок, опор электропередачи и т. д. Рост быстроходности и удельной мощности тепловых двигателей вызывает не­обходимость более тщательного, чем ранее, исследования проблем механической прочности и тепловых режимов работы их деталей. Аналогичные проблемы возникают в автомобиле и турбиностроении. Проектирование дамб, плотин, дренажных и оросительных каналов невозможно без тщательного анализа течения грунтовых вод. Пос­ледняя задача является частным случаем сформулиро­ванной выше задачи о течении жидкостей и газов. В градостроительстве при проектировании системы водо­снабжения городов необходим анализ течения грунто­вых вод.

Анализ течения жидкого или газообразного тепло­носителя на основе уравнений Навье — Стокса прово­дится при проектировании ядерных реакторов. Кроме того, особо важная роль при проектировании ядерных установок отводится расчету тепловыделяющей системы, математической моделью (ММ) которой является неста­ционарное уравнение теплопроводности. В этом случае в уравнении (1.6) дополнительно появляется член, опи­сывающий изменение искомого температурного поля во времени. При анализе тепловых процессов в тепловыде­ляющих элементах (ТВЭЛах), например в высокотем­пературных газоохлаждаемых реакторах, уравнение теплопроводности удобнее записывать в сферических координатах в виде