Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

Подставив в уравнения (4) все численные значения, получим систему уравнений:

35,46 − 3W1 − T1 = 0;

0,2T1 − 0,4T2 −1,2 − 0,1W1 = 0;T2 − 3W1 − 6,93 = 0.

Решая эту систему уравнений, определим T1, T2 , W1

W1 = 1,642 м/с2;

T1 = 30,534 Н;

T2 = 11,856 Н.

4.Аналитическая механика

Ваналитической механике изучается равновесие и движение механических систем.

1. Классификация связей

Рассмотренные ниже методы решения задач механики применимы не при любых связях, наложенных на систему. Некоторые сведения о связях мы уже имеем (из статики), но их недостаточно.

Рассмотрим вопрос о связях, об их классификации несколько подробнее.

Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положение и скорости точек механической системы и выполняются независимо от того, какие силы на систему действуют.

Эти ограничения могут быть записаны аналитически с помощью уравнений связей. Например, если известно, что при движении точки вы-

полняется условие x2 + y2 + z2 = 25, то это означает, что точка движется по сферической поверхности радиусом R = 5 . В общем случае уравнение связи может быть представлено в виде функции

127

По виду уравнения (3.46) связи классифицируются:

1) на стационарные и нестационарные.

Стационарными связями называются такие связи, уравнения которых не содержат времени в явном виде.

Нестационарные – связи, уравнения которых содержат время в явном

виде.

В приведенном выше примере связь стационарная. Для тела, лежащего на полу движущегося лифта, пол является нестационарной связью.

2) На голономные (геометрические) и неголономные (кинематиче-

ские).

Голономными связями называются такие связи, уравнения которых записаны в виде, не содержащем производных от координат по времени. Такие связи налагают ограничения только на координаты точек системы

f (x, y, z,t) = 0 .

Неголономные – такие связи, которые накладывают ограничение на скорости перемещения точек системы. Уравнения неголономных связей неинтегрируемы и называются неголономными, или неинтегрируемыми.

Пример. Для колеса, катящегося по поверхности без проскальзывания, выполняется условие, заданное в табл. 3.2 (п. 3).

Vc = ω CCv = ω R или x&c = ϕ& R .

Это уравнение содержит скорости, но его можно проинтегрировать и получить уравнение, содержащее только координаты в виде

xc = ϕ R

или уравнение

xx& + yy& + zz& = 0 .

Это уравнение можно записать следующим образом: xdx + ydy + zdz = 0

ипосле интегрирования имеем

x2 + y2 + z2 = C .

128

Эти примеры иллюстрируют голономные связи.

Следующий пример уравнения связи

x&2 + y&2 + z&2 = C .

Это уравнение означает, что точка движется с постоянной скоростью, его проинтегрировать нельзя, поэтому рассматриваемая связь неголономная.

3) На удерживающие (двусторонние) и неудерживающие (односторонние).

Удерживающие – связи, препятствующие перемещению тела (точек) в двух противоположенных направлениях. Уравнения удерживающих связей записываются в виде равенств.

Неудерживающие – связи, препятствующие перемещению тела (точек) в некотором направлении и допускающие перемещение в противоположенном направлении. Уравнения неудерживающих связей записываются в виде неравенств.

Пример: x2 + y2 + z2 < 25 – точка может двигаться внутри сферы.

4) На идеальные и неидеальные (табл. 3.2, 3.3).

Идеальными называются связи, если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Условия идеальности связей записываются так:

∑ Riδsi cosαi = 0 ,

где Ri – модуль реакции соответствующей связи;

δsi – возможное перемещение;

αi – угол между направлением реакции связи и возможным перемещением точки приложения реакции.

Понятие возможных перемещений будет дано ниже.

129

Таблица 3.2

Примеры идеальных связей

1. Идеально гладкая поверхность

δA(N ) = 0 ( α = 90° )

2. Колесо катится без проскальзы-

вания не по твер- δA(N ) = − Nfkδφ ≠ 0 дой поверхности

130

Итак, каждой связи можно дать четыре характеристики, относя её к голономной или неголономной, стационарной или нестационарной, удерживающей или неудерживающей, идеальной или неидеальной.

2. Возможные перемещения Понятие возможных перемещений лучше всего проиллюстрировать

на примере стационарной голономной связи, которая наложена на одну материальную точку.

Пусть материальная точка лежит на поверхности. Такая связь позволяет точке перемещаться вдоль этой поверхности. Любое из этих бесконечно малых перемещений называется возможным перемещением.

Возможным перемещением системы называется любое бесконечно малое её перемещение, которое допускает связи, наложенные на систему, без их нарушения или разрушения.

Примеры

Ввиду малости возможные перемещения точек отсчитываются не по дуге траектории, а по отрезку прямой, направленной по касательной к ней из данного положения, так же как и вектор скорости (перемещение точки А

δSА на рис. 3.9, 3.10).

Любой системе можно сообщить бесконечное множество перемещений. Однако для любой из них можно указать некоторое число независимых между собой возможных перемещений, с помощью которых получаются все другие возможные перемещения.

Пример. Для точки, лежащей на плоскости, любое возможное перемещение можно получить через dx и dy .

Число независимых возможных перемещений механической системы с голономными связями равно числу степеней свободы этой системы. На

131

рис. 3.10 показаны разные возможные перемещения δφ, δSА , δSВ, но они взаимозависимы, т. к. система имеет только одну степень свободы.

3. Элементарная работа силы на возможном перемещении Работа сил на возможном перемещении определяется точно так же,

как и работа сил на действительном перемещении. Отличаются они только обозначением. Элементарная работа силы на действительном перемещении обозначается символом dA , а элементарная работа силы на возможном перемещении – δA.

δAi = Fi δSi cosαi ,

где δSi – возможное перемещение точки приложения силыFi ; αi – угол между направлением силы Fi и перемещением δSi .

Принцип возможных перемещений. Пусть механическая система находится в равновесии. Силы, действующие на каждую её точку, уравновешиваются

Fi + Ri = 0,

где Fi – равнодействующая активных сил; Ri – равнодействующая реак-

ций связей. Дадим системе любое возможное перемещение и вычислим работу всех сил на этом перемещении. Так как силы, приложенные к каждой точке, уравновешиваются, то сумма работ этих сил на перемещении δSi будет равна нулю, учитывая, что Fi = −Ri , получим:

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю

Уравнение работ (3.47) называют общим уравнением статики, оно выражает принцип возможных перемещений.

При равновесии механической системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных (задаваемых) сил на любом возможном перемещении системы равна нулю.

4. Общее уравнение динамики

По принципу Даламбера механическую систему, движущуюся под действием сил, можно рассматривать как неподвижную, если ко всем точкам системы приложить их силы инерции. Затем можно воспользоваться принципом возможных перемещений.

132