ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 315
Скачиваний: 0
Рис. Д3.0 |
Рис. Д3.1 |
Рис. Д3.2 |
Рис. Д3.3 |
Рис. Д3.4 |
Рис. Д3.5 |
|
Рис. Д3.6 |
Рис. Д3.7 |
|
116
|
|
|
4 |
|
|
ϕ3 |
ϕ3 |
3 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
α |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Д3.8 |
|
|
|
Рис. Д3.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Пример выполнения задачи Д3 |
|
|
|
||||||
|
Дано: |
массы |
тел |
соответственно |
равны |
m1 = 6m; |
m2 = 2m; |
|||
m = m |
4 |
= m; |
r = r; α = 600 (рис. Д3). |
|
|
|
||||
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Закон движения тела 3 осуществляется по закону φ3 (t ) = 0,5t2 ; см. |
|||||||||
рис. Д3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Рис. Д3 |
|
|
|
|
Найти перемещение x1 призмы 1 по идеально гладкой плоскости. В |
|||||||||
начальный момент система находилась в покое. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
|
Изобразим все внешние силы, приложенные к материальной системе. |
|||||||||
Внешними силами являются: P1 – вес призмы, P2 – вес катка, P3 – вес бло- |
||||||||||
ка 3, |
P4 – вес блока 4, |
N |
– суммарная нормальная сила реакции горизон- |
|||||||
тальной плоскости. |
|
|
|
|
|
|
||||
117
Выберем направление осей координат, ось x направим по горизонтали вправо и запишем теорему о движении центра масс системы материаль-
ных точек в проекции на ось x. Mx&&с = ∑Fixe .
Так как внешние силы перпендикулярны к оси x, то ∑Fixe = 0. Тогда
M&x&c = 0 и x&c = C1 .
В начальный момент времени система находилась в покое, поэтому C1 = 0 и Mx&c = 0 . Отсюда следует, что xc = C2 → const , т. е. абсцисса центра масс системы независимо от перемещений отдельных масс, входящих в систему, остаётся постоянной.
При этом имеет место следующее равенство:
|
∑mi xi = 0 , |
|
где mi |
– масса i-й точки или тела системы; |
|
хi |
– абсолютное перемещение i-й точки или центра масс тела вдоль |
|
оси x. |
|
|
Система состоит из четырёх тел, поэтому |
|
|
|
m1 x1 + m2 x2 + m3 x3 + m4 x4 = 0 . |
(1) |
Будем считать, что абсолютное перемещение призмы |
х1 направле- |
|
но вправо, куда направлена ось x. Определим абсолютные перемещения других тел, выражая их через х1 х3 = х4 = х1, т. к. центры масс этих тел закреплены на призме.
При определении абсолютного перемещения центра масс тела 2 его движение представим как сложное, состоящее из движения вместе с призмой и качения без скольжения по наклонной плоскости призмы.
Абсолютное перемещение центра масс тела 2 представим в виде x2 = x2e + x2r ,
где х2e = х1 – перемещение центра масс тела вместе с призмой (переносное перемещение);
х2r – перемещение центра масс тела вдоль оси x за счёт качения его по призме (относительное перемещение).
Это перемещение
х2r = S2 cosα = φ32r3 cosα = 0,25t2r cos60o .
Тогда абсолютное перемещение
118
x2 = x1 + 0,25t2r cos 60° .
Подставляя все перемещения в равенство (1), получаем:
|
m |
|
x + m |
x + m |
x + m ( |
x + 0,25t2r cos 60°)= 0 . |
(2) |
||||||
|
1 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
||
Из равенства (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x = − |
m |
2 |
0,25t 2r cos 60° |
= − |
2m 0,25t 2r cos 60° |
= − |
0,5t 2r cos 60° |
= −0,025t 2r . |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
m1 |
+ m2 + m3 + m4 |
|
|
|
6m + 2m + m + m |
|
10 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
Знак “–“ говорит о том, что призма будет перемещаться не вправо, как предположили, а влево.
3. Принцип Даламбера
Для рассмотрения движения систем Даламбер предложил специальный принцип, получивший название принципа Даламбера.
Принцип Даламбера для материальной точки эквивалентен основному закону динамики. Уравнение движения материальной точки массой m относительно инерциальной системы отсчета под действием приложенных активных сил и реакций связей имеет вид
|
|
|
|
|
|
(3.40) |
|
|
|
= F + R, |
|||||
mW |
|||||||
где F – равнодействующая активных сил; R – равнодействующая реакций связей;
W – ускорение точки относительно инерциальной системы отсчета.
|
Представим (3.40) в виде |
F |
+ |
R |
− mW |
= 0, |
введем обозначение |
|||||||
|
ин = −mW |
– сила инерции материальной точки, тогда получим |
||||||||||||
F |
||||||||||||||
|
|
|
|
+ |
|
+ |
|
ин = 0. |
(3.41) |
|||||
|
|
|
F |
R |
F |
|||||||||
Таким образом, при движении материальной точки активные силы, реакции связей вместе с силой инерции точки образуют уравновешенную систему сил.
Уравнение (3.41) выражает принцип Даламбера для точки. Рассмотрим систему n материальных точек. К каждой точке системы
приложены равнодействующая активных сил и равнодействующая реакций связей. Применяя принцип Даламбера к каждой точке системы, получим:
|
i + |
|
ii + |
|
iин = 0 , |
(3.42) |
F |
R |
F |
где нижний индекс i = 1,2,..., n;
F iин = −miW i – сила инерции i -й точки.
119
Условие (3.42) можно представить в эквивалентной форме
{F |
i , |
|
i , |
|
iин} 0; i = 1,2,..., n. |
(3.43) |
R |
F |
n векторных условий (3.42) или (3.43) выражают принцип Даламбера для системы: при движении механической системы активные силы и реакция связей вместе с силами инерции составляют уравновешенную систему сил.
На основании принципа Даламбера для системы в форме (3.43) можно получить шесть уравнений равновесия для сил, действующих на точки системы, включая силы инерции, имеющие пространственное расположение.
Если просуммировать левые части уравнений (3.42) по всем точкам системы, то
∑ |
|
i + ∑ |
|
i + ∑ |
|
iин = 0, |
(3.44) |
F |
R |
F |
где ∑ F i – главный вектор активных сил;
∑Ri – главный вектор реакций связей;
∑F iин – главный вектор сил инерции.
Умножая векторно каждое из соотношений (3.42) слева на радиусвектор точки ri и суммируя по точкам системы, получаем:
∑ |
|
0 ( |
|
ie )+ ∑ |
|
0 ( |
|
i )+ ∑ |
|
0 ( |
|
iин)= 0. |
(3.45) |
M |
F |
M |
R |
M |
F |
Условия (3.44) и (3.45), если выразить их через проекции на координатные оси, дадут шесть условий равновесия, аналогичных условиям равновесия сил, приложенных к твердому телу, в статике.
Здесь ∑M0 (Fi ) – сумма моментов активных сил относительно точ-
ки О. (главный момент активных сил);
∑M0 (Ri ) – сумма моментов реакций связей относительно точки О
(главный момент реакций связей);
120