Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

∑M0 (Fiин) – сумма моментов сил инерции относительно точки О

(главный момент сил инерции).

Приведение сил инерции твердого тела

В общем случае движения твердого тела силы инерции точек его образуют произвольную пространственную систему сил инерции, которую в результате приведения к некоторому центру О можно заменить одной

силой Rин/ , называемой главным вектором сил инерции, приложенной в центре О и парой сил с моментом Мин0 , который является главным момен-

том сил инерции.

Главный вектор сил инерции не зависит от центра приведения и для любого движения твердого тела равен по модулю произведению массы тела на ускорение его центра масс и направлен противоположно этому ускорению

R 'ин = −MW с,

где М – масса тела,

Wc – вектор ускорения центра масс.

Для определения главного момента сил инерции рассмотрим несколько частных случаев движения твердого тела.

1) Поступательное движение Если твердое тело движется поступательно, то ускорения его точек

геометрически равны. Силы инерции этих точек составляют систему параллельных сил, равных по величине, направленных в одну сторону. Такая

система сил приводится к равнодействующей Rин, которая геометрически равна главному вектору сил инерции

Rин = R 'ин

неподвижной оси, перпендикулярной к этой плоскости (рис. 3.7 а).

121

Если ось вращения не проходит через центр масс, то вследствие симметрии приведенные силы – главный вектор сил инерции и пара сил с моментом, равным главному моменту сил инерции, будут лежать в плоскости симметрии.

Если выбрать за центр приведения точку О плоскости симметрии, лежащую на оси вращения, то главный вектор сил инерции будет приложен к этой точке и направлен противоположно ускорению центра масс тела (рис. 3.7 б), который определяется по известной формуле

R 'ин = −MW с.

Модуль главного вектора определяется зависимостью

R 'ин = MWс.

z

ОC

Рис. 3.7

Главный момент сил инерции определим относительно оси z

Mинz = − Jzε,

где J z – момент инерции тела относительно оси вращения; ε – угловое ускорение тела.

Главный момент сил инерции Mzин направлен противоположно угловому ускорению.

Если ось вращения проходит через центр масс, то R 'ин= 0, т. к. Wc = 0

122

3) Плоскопараллельное движение твердого тела, имеющего плоскость материальной симметрии (рис. 3.8).

Выберем за центр приведения сил инерции центр масс. Тогда вследствие симметрии получим расположенные в плоскости симметрии главный вектор сил инерции, приложенный в центре масс, и пару

сил с моментом, равным главному моменту сил инерции. Главный вектор сил инерции найдем

по уже известной формуле

R 'ин = −MW с.

Главный момент сил инерции определим относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения тела, по формуле:

Mинс = − Jсε,

где Jс – момент инерции тела относительно названной оси.

Главный момент сил инерции направлен в сторону, противоположную угловому ускорению.

Задача Д4

Применение принципа Даламбера к определению реакций связей

В задаче 4 следует применить принцип Даламбера для определения натяжения нити на всех участках механической системы и ускорения центра масс тела или углового ускорения тела, указанного в табл. Д4.

Остальные данные (схемы и необходимые числовые значения) использовать из задачи Д2 (см. табл. Д2, рис. Д2.0…Д2.9). Считать силу F постоянной и равной 10 Н. Трением скольжения и качения пренебречь.

123

Пример выполнения задачи Д4

Определить: W1 – ускорение первого тела, а также натяжение нитей на всех участках.

Р е ш е н и е Для определения реакций связей воспользуемся принципом Далам-

бера.

Построим расчетную схему (рис. Д4), на которой покажем активные силы, реакции связей и приведенные силы инерции. На груз 1 действуют

сила F , сила тяжести P1, реакция поверхности N 1 и равнодействующая сил инерции Rин1 = −MW с, Вектор Rин1 направлен в противоположную сторону вектора W 1.

Рис. Д4

На ступенчатый блок 3 действуют сила тяжести P 3 , реакции X 0 , Y0 в

шарнире О, пара сил M и главный момент сил инерции Mин0 = − J0ε3; J0 – момент инерции ступенчатого блока относительно оси вращения, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости рисунка

J0 = m3ρ32.

124

Выразим угловое ускорение ступенчатого блока 3 через ускорение первого груза. Зависимость скоростей ω3 = v1 / r3 , продифференцируем эту

Главный момент сил инерции направлен в сторону, противоположную угловому ускорению ступенчатого блока.

На каток 2 действует сила тяжести P2 , реакция связи N 2 , сила тре-

ния FТР, главный вектор сил инерции R'ин2 = −m2W с и главный момент

сил инерции Mинc = Jсε2; Jс – момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно к плоскости движения.

Выразим Wс и ε 2 через W1 . Запишем формулы зависимости скоростей тел 1 и 2 (см. задачу Д2).

Дифференцируя эти зависимости по времени, получим:

Для определения реакций нитей рассмотрим динамическое равновесие отдельных тел, входящих в систему.

Для каждого тела составим расчетные схемы (рис. Д4 а, б, в).

125

Задача сводится к определению реакций нити T1, T 2 и ускорения

первого тела W 1. Для трех неизвестных величин надо составить три уравнения равновесия.

y

x

Подставив в уравнения (1), (2) и (3) значения приведенных сил инерции, получим:

126