Файл: ПРАКТИКУМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА.pdf

движения точки в сторону положительного отсчета криволинейной координаты. Касательное ускорение получилось положительным. Это означает, что касательное ускорение направленно в ту же сторону, что и скорость V , и точка совершает ускоренное движение

W1n = W12 − (W1τ)2 = 74,8 − 5,66 = 8,31 см/с2.

Нормальное ускорение направленно по нормали к траектории движения точки к центру кривизны этой траектории.

6. Определяем радиус кривизны траектории в момент времени t1 = 0,5 с

ρ1 = V12 ; ρ1 = 30,58/8,3 = 3,68 см.

W1n

Радиус кривизны ρ1 откладываем от точки М1 по нормали к траектории. При этом находим положение центра кривизны траектории – точку С.

(см. прил. 4, рис. К1).

2. Кинематика плоского движения твердого тела

При изучении этого раздела надо уметь определять линейную скорость и полное ускорение точек твердого тела, совершающего вращение вокруг неподвижной оси (вращательное движение), с помощью угловых параметров вращения тела: угловой скорости ω и углового ускорения ε.

Угловая скорость ω изображается круглой стрелкой вокруг оси и показывает направление вращения тела. При ускоренном вращении круглые стрелки угловой скорости ω и углового ускорения ε совпадают по направлению, а при замедленном – направлены противоположно.

Траекторией движения точки является окружность, радиус которой (r) равен кратчайшему расстоянию от заданной точки до оси вращения тела (далее радиус вращения).

Модуль вектора линейной скорости определяется по формуле

V = ω r.

Вектор V направлен по касательной к траектории или перпендикулярно радиусу вращения в направлении угловой скорости ω тела. Полное ускорение точки

39

W = W n + W τ,

где W n – нормальное ускорение точки;

W τ – касательное ускорение точки. Модуль нормального ускорения точки

W n = ω2r ;

Вектор W n направлен от заданной точки по нормали к центру кривизны траектории (в данном случае по радиусу вращения) к оси вращения.

Модуль касательного ускорения точки

W τ = ε r.

Вектор касательного ускорения точки W τ направлен перпендикулярно вектору нормального ускорения W n в сторону круглой стрелки углово-

го ускорения ε, т. е. вектор касательного ускорения W τ направлен по касательной к траектории или перпендикулярно радиусу вращения в ту же сторону, что и вектор скорости V точки при ускоренном вращении, а при замедленном – в противоположную.

Модуль полного ускорения точки

Плоскопараллельным движением (плоским) называется такое движение твердого тела, при котором все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости, называемой плоскостью движения. При таком движении все точки, лежащие на линиях, перпендикулярных к плоскостям их движения, перемещаются по одинаковым траекториям и имеют одинаковые скорости и ускорения, т. к. эти линии при движении тела остаются параллельными самим себе.

Поэтому задача на изучение плоскопараллельного движения сводится к изучению плоского сечения (плоской фигуры), параллельного некоторой неподвижной плоскости.

Движение плоской фигуры в ее плоскости в каждый момент времени можно рассматривать состоящим из двух движений: поступательного движения плоской фигуры вместе с произвольной точкой, принятой за полюс, и вращательного вокруг полюса.

40

Планом скоростей называется диаграмма, на которой от некоторого центра в выбранном масштабе для данного момента времени отложены скорости точек плоской фигуры. При построении плана используется теорема о скоростях точек тела при плоскопараллельном движении

VB = VA +VBA ,

где VB – искомая скорость;

VA – известная скорость точки А, выбираемой за полюс;

VBA – вращательная скорость точки В при повороте вокруг полюса А. Вектор вращательной скорости VBA направляется перпендикулярно отрезку АВ, соединяющему данную точку В с полюсом А, в сторону вра-

щения. Модуль вращательной скорости

VBA = ωAB ,

где ω – мгновенная угловая скорость вращения плоской фигуры. Аналогично определяются скорости других точек.

Подробное построение плана скоростей приведено далее в примере. Мгновенным центром скоростей называется точка Cv плоской фигуры,

скорость которой в данный момент времени равна нулю, т. е. VCV = 0.

Если такая точка определена, то скорость любой точки плоской фигуры в данный момент времени равна вращательной скорости данной точки при вращении вокруг мгновенного центра скоростей

VA / VB=ACV / BCV,;

VB / VD=BCV / DCV,;

VA / VD=ACV / DCV;

Таким образом, скорости всех точек плоской фигуры перпендикулярны отрезкам, соединяющим их с мгновенным центром скоростей, пропорциональны этим отрезкам и направлены в сторону угловой скорости вращения ω.

Рассмотрим некоторые случаи определения положения мгновенного центра скоростей.

41

1) Если известны линии действия векторов скоростей двух точек плоской фигуры, то мгновенный центр скоростей Cv находится на пересечении перпендикуляров, восстановленных к скоростям этих точек (рис. 2.6).

VA

A B

VB

ω CV

Рис. 2.6

2)Следует иметь в виду, что если перпендикуляры, восстановленные

кскоростям двух точек, не пересекаются, то Cv фигуры в данный момент времени расположен в бесконечности и она совершает мгновеннопоступательное движение, т. е. ω = 0, а скорости всех точек геометриче-

ски равны (VA = VB = VD = ...).

3) Тело катится без скольжения по неподвижной плоскости или поверхности. В этом случае мгновенный центр скоростей находится в точке касания тела с неподвижной плоскостью

точек плоской фигуры ускорение какой-либо её точки определяется формулой

WB = WA + WBA ,

где WB – искомое ускорение;

WA – известное ускорение точки А, принятой за плюс; WBA – ускорение точки В при вращении вокруг плюса А.

определяют по составляющим

Так как WBA = WBAn + WBAτ ,

42

тогда

WB = WA +WBAn +WBAτ ,

где WBAn – нормальное ускорение точки В при вращении вокруг плюса А; WBAτ – касательное ускорение точки В при вращении вокруг плюса А;

Воспользуемся другим способом определения ускорений точек при плоском движении твердого тела с помощью мгновенного центра ускорений.

Мгновенным центром ускорений называется точка Cw плоской фигуры, ускорение которой в данном положении равно нулю WCW = 0 .

Если положение мгновенного центра ускорений известно, то ускорение любой точки плоской фигуры в данный момент времени определяется как ускорение этой точки при вращении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений, т. е.

WB = WBCw

или

WB = WBCwn + WBCwτ ,

где WB – искомое ускорение;

WBCwn – нормальное ускорение точки В при вращении фигуры вокруг мгновенного центра ускорений Cw;

WBCwτ – касательное ускорение точки В при вращении фигуры вокруг

мгновенного центра ускорений Cw

WBCwn = ω2BCW

Вектор WBCwn направлен от точки В вдоль отрезка BCw к мгновенному

центру ускорений Cw

WBCwτ = εBCW

Вектор WBCwτ направлен перпендикулярно отрезку BCw в сторону круглой стрелки углового ускорения ε

43

Ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра ускорений

WA / WB=ACW / BCW;

WB / WD=BCW / DCW;

WA / WD=ACW / DCW.

Для поиска положения мгновенного центра ускорений определяется угол между вектором полного ускорения точки плоской фигуры и отрезком, соединяющим данную точку с мгновенным центром ускорений Cw, по формуле

ε

tgα = ω2

и расстояние от данной точки до мгновенного центра ускорений

ACW = WA ω4 + ε2 .

Методика определения положения мгновенного центра ускорений подробно рассматривается далее в примере.

Задача К2

Кинематический анализ плоского движения

Цель задачи: аналитическое и графическое исследование кинематики плоского движения.

Постановка задачи Дана схема плоского механизма (рис. К2.0, а, б, в – К2.9 а, б, в), раз-

меры его звеньев и расстояния между опорами (табл. К2 а). В табл. К2 а даны угол φ, определяющий положение ведущего звена О1А, его угловая скорость ωO1 A и угловое ускорение εO1 A ─ общие для всей учебной груп-

пы. Угол φ отсчитывается от указанного на схеме направления против хода часовой стрелки, т.к. он имеет положительное значение. Знак “плюс” (+) или “минус” (–) перед численным значением ωO1 A означает, что звено О1А

вращается против хода часовой стрелки или по ходу часовой стрелки соответственно.

Знак “плюс” (+) или “минус” (–) перед численным значением εO1 A оз-

начает, что угловое ускорение звена О1А направлено против хода часовой стрелки или по ходу часовой стрелки соответственно.

Вариант задания выдается преподавателем.

44