ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 311
Скачиваний: 0
II.КИНЕМАТИКА
1.Кинематика точки
Кинематика – раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движения материальных точек и тел с геометрической точки зрения вне зависимости от действующих на них сил.
При этом задаются математическим методом способы задания движения точек и тел и определяются по заданному закону движения все основные кинематические характеристики, такие как траектория точки, скорость и ускорение точки, угловые скорости и угловые ускорения тел.
При движении тела все его точки в общем случае совершают различное движение. Поэтому изучению движения тела предшествует изучение движения точки.
Непрерывную линию, которую описывает в пространстве точка при своем движении, называют траекторией точки. По виду траектории движение точки делится на прямолинейное и криволинейное.
Способы задания движения точки
1. Векторный способ Положение точки М в любой момент времени определяется заданием
радиус-вектора точки |
r |
, начало которого помещается в |
|
|
|
|
|
||||||||||
некотором неподвижном центре, а конец совмещается |
|
|
|
|
|
||||||||||||
с движущейся точкой. С течением времени вектор |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
изменяется и по модулю, и по направлению (рис. 2.1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
r |
= |
r |
(t). |
|
Рис. 2.1 |
||||||||||
2. Координатный способ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
При рассмотрении движения в прямоугольной декартовой системе |
|||||||||||||||||
координат указанный способ заключается |
|
|
|
|
|
||||||||||||
в задании координат x ,y, z точки как из- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
вестной функции времени (рис. 2.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x=x (t), y=y (t), z=z(t). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Связь между координатным и век- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
торным способами задания |
движения |
|
|
|
|
|
|||||||||||
осуществляется уравнением (см. рис. 2.2) |
Рис. 2.2 |
||||||||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= хi |
+ у j + z k . |
|
||||||
33
Например, радиус-вектор задан уравнением |
||||
|
r = 10ti + 3t2 j +2sinptk |
|||
Это означает, что точка движется относительно координатных осей |
||||
согласно уравнениям |
|
|
|
|
|
x = 10t, y |
= 3t2, z = 2sinpt. |
||
Из примера видно, что если движение точки задано в координатной |
||||
форме, то при необходимости всегда можно перейти к векторному способу |
||||
задания движения. |
|
|
|
|
3. Естественный способ |
|
|
||
При естественном способе задания движения известна траектория |
||||
|
|
точки, выбирается начало положи- |
||
|
|
тельного и отрицательного отсчета |
||
|
|
криволинейной координаты и за- |
||
|
|
дается закон движения точки по |
||
Рис. 2.3 |
|
траектории S = S(t) (рис. 2.3). |
||
|
|
|
||
Определение скорости и ускорения точки |
||||
1. Векторный способ |
|
|
||
|
V = d r /dt – вектор скорости точки в данный |
|||
|
момент времени; |
|
||
|
W = d2 r /dt2 |
– вектор ускорения точки в |
||
|
данный момент времени. |
|||
|
Вектор скорости V направлен по касательной |
|||
Рис. 2.4 |
к траектории в данной точке в сторону движения. |
|||
Вектор ускорения |
W направлен в сторону вогнуто- |
|||
|
||||
сти траектории (рис 2.4). |
|
|
||
2. Координатный способ
а) V = Vx2 + Vy2 + Vz2 – скорость точки.
Vx= dx/dt , Vy= dy/dt , Vz= dz/dt ,
где Vx ,Vy ,Vz – проекции скорости на оси координат. Направление вектора определяется по направляющим косинусам
34
|
|
cosα = Vx/V ; cos β = Vy/V ; cosγ = Vz/V, |
|
||
где α, β, γ – углы, которые составляет вектор скорости точки с положи- |
|||||
тельными направлениями осей OX,OY, OZ соответственно. |
|
||||
б) W = |
W 2 + W 2 + W 2 – ускорение точки. |
|
|||
|
|
x |
y |
z |
|
Wx=d2x/dt2 ;Wy= d2y/dt2 ;Wz=d2z/dt2, |
|
||||
где Wx; Wy; Wz – проекции ускорения точки на оси координат. |
|||||
Направления определим по формулам |
|
||||
cosα1= Wx/W; cos β1= Wy/W ; cosγ1= Wz/W, |
|
||||
где α1 ,β1, γ1 – углы, которые составляет вектор ускорения с |
положитель- |
||||
ными направлениями осей OX,OY, OZ соответственно. |
|
||||
3. |
Естественный |
способ |
|
||
(рис. 2.5). |
|
|
|
|
|
V= ds / dt – скорость точки; |
|
||||
W = W n + W τ |
– вектор ус- |
|
|||
корения точки; |
|
|
|
||
Wn=V2/ρ |
– нормальное ус- |
|
|||
корение точки; |
|
|
|
||
С – центр кривизны; |
|
|
|||
ρ = МС – радиус кривизны |
|
||||
траектории;
Wτ=dV/dt – касательное ус-
корение точки; |
Рис. 2.5 |
|
W= Wn2 + Wτ2 – модуль ускорения точки.
Задача К1
Кинематический анализ движения точки
Цель задачи: освоение методики аналитического исследования кинематики точки.
Постановка задачи Движение точки задано уравнениями в декартовых координатах:
х=f1(t), у =f2(t).
1.Требуется определить уравнение траектории, построить траекторию движения точки.
2.Найти положение точки в момент времени t1.
35
3.Вычислить скорость точки в момент времени t1. Изобразить вектор скорости на рисунке.
4.Вычислить ускорение точки в момент времени t1. Изобразить вектор ускорения на рисунке.
5.Вычислить касательное и нормальное ускорения, радиус кривизны траектории в момент времени t1. Изобразить векторы касательного и нормального ускорений на рисунке. Отметить центр кривизны траектории – точку С.
Данные для решения задачи приведены в табл. К1. Вариант задания выдается преподавателем.
|
|
|
Таблица К1 |
|
№ п/п |
х =f1(t) |
у =f2(t) |
t |
|
0 |
2 sin (3π/4)t |
2 cos (3π/2)t |
1 |
|
1 |
4t |
2t2 |
1 |
|
2 |
cos (π/4)t2 |
sin (π/4)t2 |
2 |
|
3 |
3sin πt |
2cos2 πt |
1 |
|
4 |
4 sin (π/2)t |
2 cos (π/2)t |
3 |
|
5 |
4t –2t2 |
1,5t2 – 3t |
1 |
|
6 |
2cos πt |
4sin πt+3 |
2 |
|
7 |
5 cos2 (π/4)t |
2 sin2 (π/4)t+1 |
1 |
|
8 |
2 cos (π/4)t |
3 cos (π/2)t |
2 |
|
9 |
5+3 cos (π/2)t |
4 sin (π/2)t |
1 |
|
Пример выполнения задачи К1
Даны уравнения движения точки в плоскости х у: х = 4cos(π/2)t у = 3sin(π/2)t; (x, y – в сантиметрах, t – в секундах).
Определить уравнение траектории. Построить траекторию, найти положение точки на траектории в момент времени t1= 1с. Вычислить скорость и ускорение, а также касательное, нормальное ускорения точки и радиус кривизны траектории для t1= l c. Изобразить векторы скорости и ускорения, а также касательного и нормального ускорений в заданный момент времени.
Решение 1.Для определения траектории движения точки из заданных уравнений
движения исключим время t.
36
Учитывая, что под знаком «синуса» и «косинуса» одинаковый угол, воспользуемся формулой
sin2α + cos2α = 1.
С этой целью из уравнений движения выразим в явном виде эти функ-
ции
cos (π/2) t = x/4; sin (π/2) t = y/3.
Возведем в квадрат левые и правые части уравнений, затем их сложим. Окончательно получим уравнение траектории
x2/16 +y2/9 =1,
которое является уравнением эллипса с полуосями 4 см; 3 см (прил. 4, рис. К1).
2. Найдем положение точки на траектории при t1 = 0,5 с.
Чтобы определить положение точки в какой-то момент времени, надо это время подставить в заданные уравнения движения.
При t1 = 0,5 с |
|
|
|
x1 |
= 4cos π/4 = 4cos 45° = 4 |
2 |
= 2 2 = 2,82 см; |
|
|
2 |
|
y1 |
= 3sin π/4 = 2,12 см. |
|
|
3. Определяем скорость точки по проекциям на координатные оси
Vx = dx /dt = –2πsin(π/2)t;
Vy=dy / dt =3(π/2) cos(π/2)t.
При t1 = 0,5 с
V1x= –2πsin45° = – π 2 = – 4,43 см/с;
V1y= 3(π/2) π22 = 3,32 см/с; V1= V12x + V12y = 5,53 см/с.
37
На рисунке V1x и V1y изображаем в масштабе μV = 1( смс/с ) c учетом
знака проекций, при этом скорость точки должна быть направлена по касательной к траектории движения точки (см. прил. 4, рис. К1).
4. Определяем ускорение точки по проекциям на координатные оси.
Wx =dVx /dt = d2x /dt2 = – π2cos(π/2)t; Wy=dVy / dt = d2y /dt2 = – 3π2/4sin(π/2)t.
При t1 = 0,5 с
W1 x =– π2sin45° =–3,142 22 = –6,9 см/с2;
W1y=- 3π2/4sin45°= –(3/4) 3,142 22 = –5,23 см/с2;
W1= W12x + W12y = 8,65 см/с2.
Изображаем Wx и Wy на рис. К1 прил. 4 в масштабе
μW = 2( см/с2 ).
с
При определении векторов V и W графическим способом надо проекции этих векторов на оси х и у откладывать из точки М в определенном масштабе, а затем на этих проекциях как на составляющих строить прямоугольники, диагонали которых и будут определять эти векторы (см. прил. 4, рис. К1).
5. Определяем касательное и нормальное ускорения. Касательное ускорение находим по формуле
W τ= dV /dt = VxWx + VyWу . V
При t1 = 0,5 с
W1τ = (–4,43·(–6,9)+3,23·(–5,23))/5,53 = 2,38 см/с2.
Касательное ускорение направлено как и скорость по касательной к траектории. Касательная ось направляется по касательной к траектории
38