ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1439
Скачиваний: 4
Калман рассматривал поведение линейной динамической системы
&
x
Ax Bu
=
+
и ставил задачу перевода системы из одной точки
в
другую
x T
( )
x
n
x
1
x(0)
x(T)
Рис.108
x( )
0
(рис.108).
Объект называется управляемым, если он может быть переведен из точки
x( )
0
в другую точку
x
за конечное время
t
T
∈[ , ]
0
при конечном
управлении .
u
T
( )
Критерий управляемости
Система будет управляемой, если специальная матрица управляемости имеет ранг, равный , где
– порядок характеристического уравнения системы
n
n
Матрица управляемости составляется следующим образом:
P
B AB A B
A B
n
=
−
[
]
2
1
Κ
.
Следовательно, для того, чтобы узнать управляема система или нет, необходимо по исходной
системе дифференциальных уравнений составить матрицу управляемости
P
и определить её ранг.
Если
x R
u R
n
m
∈
∈
,
, то
dim P n nm
= ×
, причем если
rang n
=
– то система полностью
управляема, а если
rang n
≠
– то неуправляема.
Пример: Рассмотрим условие управляемости для скалярной системы, описываемой уравнениями:
+
−
=
+
=
,
2
5
,
2
2
1
2
2
1
1
u
x
x
x
x
x
x
&
&
x R
u R
n
m
∈
∈
=
2
1
2
1
,
,
,
=
.
A
B
=
−
=
2
1
5
1
0
2
;
.
Составим матрицу управляемости:
[
]
P
B
AB
=
=
−
0
2
2
2
,
det P
= − ≠
4 0
, следовательно
rang
= 2
– система полностью управляема.
Одно из свойств неуправляемой системы состоит в следующем: Если САУ описывается системой
дифференциальных уравнений
&
x
Ax Bu
=
+
и существует такое невырожденное преобразование координат
~x Mx
=
, где
, что уравнение
объекта может быть представлено в виде
det M
≠ 0
,
~
~
~
,
~
~
~
~
~
~
2
22
2
1
2
12
1
11
1
x
A
x
u
B
x
A
x
A
x
=
+
+
=
&
&
то система является неуправляемой.
Действительно, поведение координаты
~x
2
не зависит ни от
~x
1
, ни от
, поэтому
u
~x
2
является
неуправляемой координатой.
Неуправляемая часть системы влияет на
процессы в управляемой части через матрицу
~
A
12
.
u
⌠
⌡
~
A
22
⌠
⌡
~ ( )
x
2
0
~x
2
~
A
12
~
B
1
~
A
11
~ ( )
x
1
0
~x
1
Рис.109
Если неуправляемая часть устойчива, то её
влияние на переменные
~x
1
будет сказываться до тех
пор, пока не закончатся переходные процессы по
~x
2
.
Если неуправляемая часть неустойчива, то она
приводит
к
неустойчивости
всей
системы.
Следовательно такую систему нужно переделать
конструктивно.
Реализуемость
70
Это понятие возникло потому, что в реальных системах управляющие воздействия всегда
ограничены. Следовательно необходимо убедиться в том, что поставленные требования к системе будут
реализованы.
Рассматривается реализуемость равновесного состояния и реализуемость заданного (желаемого)
движения.
1. Реализуемость равновесного состояния
САУ описывается уравнением:
&
x
Ax Bu
=
+
,
x R
u R
n
m
∈
∈
,
,
dim A n n
= ×
,
dim B n m
= ×
,
rangB
– полный.
m
=
Реализуемым будем называть такое равновесное состояние, при котором вычисленные значения
уравнений , не выходят из области ограничений, т.е.
u
u
∈
Ω
.
В статике
&
x
= 0
; Пусть матрица невырождена, т.е.
A
det A
≠ 0
.
0
0
0
1
=
+
⇒
= −
−
Ax
Bu
x
A Bu
.
(1)
Обозначим
D
A B
= −
−1
, причем
dim D n m
= ×
.
Пусть
rangD
, т.е. является полным. Разобьем последнее уравнение на две системы
m
=
=
=
,
,
2
0
2
1
0
1
u
D
x
u
D
x
(2)
где
.
x
R
x
R
n m
m
1
0
2
0
∈
∈
−
,
Переменные
можно выбирать таким образом, чтобы
x
2
0
rangD
m
2
=
, т.е.
det D
2
0
≠
, тогда из
второго уравнения (2) выразим управление
u D x
=
−
2
1
2
0
.
(3)
Для определения множества равновесных состояний подставим (3) в первое уравнение из (2)
x
D D x
1
0
1
2
1
2
0
=
−
.
(4)
Из (4) видно, что множество равновесных состояний – есть многообразие в пространстве состояний,
описываемое уравнением
S x
x
D D x
( )
=
−
=
−
1
0
1
2
1
2
0
0
.
(5)
Размерность многообразия
S R
m
∈
.
Вывод: С помощью
-мерного управления система
-го порядка не может быть переведена в
произвольную точку пространства состояний. Её можно перевести лишь на многообразие
размерности .
m
m
n
Пример: Определить состояние равновесия для системы
+
+
−
=
−
+
=
.
5
,
2
2
1
2
2
1
1
u
x
x
x
u
x
x
x
&
&
Уравнение статики при
&
x
= 0
0
5
,
0
2
0
2
0
1
0
2
0
1
=
+
+
−
=
−
+
u
x
x
u
x
x
→
=
→
−
+
u
x
x
2
1
0
2
0
+
+
+
=
x
x
x
x
1
0
2
0
1
0
2
0
5
2
0
,
x
2
0
x
1
0
S x
( )
= 0
-6
1
-1/6
Рис.110
,
0
6
1
,
0
6
0
1
0
2
0
2
0
1
=
+
=
+
x
x
x
x
S x
x
x
( )
=
+
=
2
0
1
0
1
6
0
.
lim ( )
t
x t
x
→∞
=
0
2. Реализуемость желаемых дифференциальных уравнений
71
Рассмотрим объект, описываемый дифференциальными уравнениями:
&
,
,
x
Ax Bu x R
u R
n
m
=
+
∈
∈
.
(1)
Зададим некоторое желаемое движение в виде дифференциального уравнения
&
( , )
x F x v
=
– желаемое дифференциальное уравнение
(2)
отражает требования, предъявляемые к системе, где – вектор входных воздействий на систему.
v
Встает вопрос. Как выбрать функцию ? Ответ дает условие реализуемости.
F
Реализуемыми называются такие желаемые дифференциальные уравнения
&
( , )
x F x v
=
, для
которых существует конечное управляющее воздействие, удовлетворяющее условию:
Ax Bu F x v
+
= ( , )
.
(3)
Но матрица B в данном выражении прямоугольная и поэтому разрешить это уравнение
относительно управления нельзя. Тогда поступают следующим образом:
u
Разбивают (3) на две группы уравнений, таких
=
+
=
+
,
,
2
2
2
1
1
1
F
u
B
x
A
F
u
B
x
A
где
A
A
A
B
B
B
F
F
F
=
=
=
1
2
1
2
1
2
,
,
(4)
причем, необходимо, чтобы матрица
была невырождена, т.е.
B
1
det B
1
0
≠
, следовательно матрица
будет квадратной и
dim
B
1
B
m
1
=
m
×
.
Тогда
u B
F
A x
=
−
−
1
1
1
1
(
(5)
)
– конечно.
Подставим во второе уравнение системы (4) выражение (5) и выразим
F
2
F
A x
B B
F
A x
2
2
2
1
1
1
1
=
+
−
−
(
)
.
(6)
Из выражения (6) видно, что
можно задавать произвольно, а
– строго фиксировано и
выбирается в соответствии с (6).
F
1
F
2
Вывод: Для объекта
n
-го порядка с
-мерным управляющим воздействием желаемое движение
должно выбираться в виде
m
F x v
F
F
F
A x
B B
F
A x
( , )
(
)
=
=
+
−
−
1
2
1
2
2
1
1
1
1
.
(7)
Произвольно можно задавать динамику для
переменных состояния, причем она создается в виде
.
m
&
( , )
x
F x v
1
1
=
Пример:
1. Объект описывается системой:
−
−
−
=
+
−
=
.
2
,
2
3
2
1
2
2
1
u
x
x
x
u
x
x
&
&
Проверим реализуемость условия:
−
+
−
=
=
+
+
=
=
.
2
,
2
1
2
2
2
1
1
1
v
x
x
F
x
v
x
x
F
x
&
&
Приравняем первые уравнения между собой и определим :
u
−
+
=
+
+
3
2
2
1
2
x
u x
x
u
x
x
=
+
+
1
2
2
1
2
1
2
v
,
v
,
F
x
x
x
x
x
v
x
x
2
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
1
2
3
2
4
1
2
=
= − −
−
−
−
= −
−
−
&
v
.
Из последнего выражения видно, что желаемая функция
при заданной
не совпадает со
F
2
F
1
вторым выражением желаемой
&
x
2
, следовательно требуемое условие не реализуемо.
72