ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1441
Скачиваний: 4
Подставляя (10) и (11) в (9), получим
h t
P
P
td
Q
td
( )
( )
( )
sin
( )
cos
=
+
−
∞
∞
∫
∫
0
2
1
0
0
π
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
.
(12)
Подставим в (12) – t, тогда т.к. при
t
h t
<
− =
0
( ) 0
, получим
0
0
2
1
0
0
=
−
+
∞
∞
∫
∫
P
P
td
Q
td
( )
( )
sin
( )
cos
π
ω
ω
ω ω
ω
ω
ω ω
.
(13)
Сложим (12) и (13) почленно, получим
h t
P
Q
td
( )
( )
( )
cos
=
+
∞
∫
0
2
0
π
ω
ω
ω ω
.
(14)
Вычтем из (12) уравнение (13), получим
h t
P
td
( )
( )
sin
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
ω ω
.
(15)
Выражения (14) и (15) дают связь переходной функции с частотной характеристикой системы.
Причём для определения переходной функции необходимо иметь либо мнимую
Q( )
ω
, формула (14),
либо вещественную
P( )
ω
формула (15), частотные характеристики.
Обе формулы (14) и (15), как уже было сказано, справедливы только для устойчивых систем.
Обычно для расчетов ПП используется вещественно-частотная характеристика замкнутой системы,
т.к. в литературе для неё построено большее количество таблиц, графиков, номограмм.
Свойства вещественно-частотных характеристик
и соответствующих им переходных функций
1. Линейность
P
t
Рис.97
0
P ( )
2
ω
P ( )
1
ω
P( )=
ω P ( )+P ( )
1
2
ω
ω
Если ВЧХ
P( )
ω
может быть представлена суммой
(рис.97), то переходная функция
будет
также
равна
сумме
,
где
P
i
i
k
( )
(
ω
=
=
∑
1
P
)
ω
h t
(
t
( )
)
h t
h
i
i
k
( )
=
=
∑
1
h t
P
i
i
( )
( )
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
td
ω
sin
ω
.
2. Изменение масштаба по оси ординат
Умножим левую и правую части уравнения (15) на постоянную величину A, получим
Ah t
A P
td
( )
( )
sin
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
ω ω
.
(16)
Если изменить масштаб ВЧХ по оси ординат в A раз, то масштаб по оси ординат переходной
функции изменится во столько же раз.
3. Изменение масштаба по оси абсцисс
Произведем замену в формуле (15) переменных
=
=
,
,
1
1
A
t
t
A
ω
ω
h
t
A
P A
A
A
t
A
Ad
P A
t d
1
1
1
1
1
1
1
1
1 1
1
0
0
2
2
=
=
∞
∞
∫
∫
π
ω
ω
ω
ω
π
ω
ω
ω
ω
(
)
sin
(
)
sin
.
(17)
Опустим индекс 1 у
ω
1
и в уравнении (17), получим
t
1
60
h
t
A
P A
td
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
ω ω
(
)
sin
.
(18)
Если масштаб по оси абсцисс ВЧХ увеличить в A раз, то масштаб по оси абсцисс переходной
функции уменьшится в A раз. Из этого свойства следует (рис.98)
P
h
t
Рис.98
0
P
1
(ω)
P
2
(ω)
h (t)
1
h (t)
2
ω
Если из двух сходных по форме частотных характеристик одна больше растянута по оси абсцисс
ω
,
то им соответствуют подобные кривые переходных процессов, но время ПП будет тем меньше, чем
больше растянута
P( )
ω
по оси абсцисс.
Физика: Чем больше полоса пропускания частот САУ, тем меньше её инерционность и затухание
сигнала.
4. Теорема о начальном значении вещественно-частотной характеристики.
lim ( ) lim ( )
ω
ω
→
→∞
=
0
P
h
t
t
.
(19)
Начальное значение ВЧХ
P(
)
ω
= 0
равно конечному значению переходной функции
h t
(
)
= ∞
.
5. Теорема о конечном значении вещественно-частотной характеристики.
lim ( ) lim ( )
ω
ω
→∞
→
=
P
h
t
0
t
.
(20)
Конечное значение ВЧХ
P(
)
ω
→ ∞
равно начальному значению переходной функции
h t
(
)
= 0
.
6. Если ВЧХ при
ω
i
≠ 0
имеет разрыв 2-го рода (в точке разрыва ВЧХ обращается в бесконечность), то
характеристическое уравнение системы имеет пару чисто мнимых корней
λ
ω
1 2
,
= ± j
i
. Если все
остальные корни левые, то система, как известно, находится на границе устойчивости и при приложении
ко входу
g t
( )
= 1
на выходе получаются гармонические колебания с частотой
ω
i
(рис.99).
P
h
t
Рис.99
ω
i
ω
Из свойства 6 следует:
6.1. Если ВЧХ имеет резко выраженный экстремум, то переходная характеристика будет резко
колебательной.
6.2. Если ВЧХ – монотонно убывающая функция, то переходная характеристика носит
апериодический характер.
Примеры: По виду ВЧХ построить качественную картину переходной функции.
61
P
P
ω
ω
1.
2.
P
ω
3.
P
h
ω
t
4.
ω=0
разрыв
Рис.100
Если ВЧХ имеет разрыв при
ω
= 0
, то система находится на границе апериодической
неустойчивости (т.е. есть хотя бы один корень
λ
i
= 0
).
62
Построение переходной характеристики по ВЧХ замкнутой системы
Связь переходной функции с ВЧХ замкнутой системы осуществляется по уравнению (15)
h t
P
td
( )
( )
sin
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
ω ω
.
(15)
Если
P( )
ω
имеет сложную зависимость, то аналитическое решение уравнения (15) затруднительно.
Пример:
X(p)
G(p)
a
0
p
3
+ a
1
p
2
+ a
2
p+1
k
W
p
Имеем систему
k
p
a
p
a
p
a
k
W
W
W
p
p
Ќ
+
+
+
+
=
+
=
1
1
2
2
1
3
0
,
W j
k
k
a
j a
a
P
jQ
з
(
)
(
)
(
)
( )
( )
ω
ω
ω
ω
ω
ω
=
+ −
+
−
=
+
1
1
2
2
0
3
,
P
k
k a
k a
a
a
( )
(
)
(
)
(
ω
ω
ω
ω
ω
=
+ −
+ −
+
−
1
1
1
2
1
2 2
2
0
3 2
)
– ВЧХ замкнутой системы.
Брать интеграл от
P( )
ω
очень сложно, поэтому наибольшее распространение получил графический
метод нахождения
по графику соответствующей ВЧХ замкнутой системы.
h t
( )
Рассмотрим метод трапеций, разработанный профессором В.В. Солодовниковым, применительно к
ВЧХ замкнутой системы.
По этому методу ВЧХ заменяют ломаной (рис.101), так, чтобы:
1. Алгебраическая сумма площадей всех трапеций должна равняться площади, ограниченной ВЧХ
и осями координат.
2. Все трапеции должны лежать большим основанием на оси частот и одной боковой стороной на
оси ординат.
По принципу суперпозиций
h t
h t
i
i
( )
( )
=
=
∑
1
, где
h t
P
td
i
i
( )
( )
sin
=
∞
∫
2
0
π
ω
ω
ω ω
.
P
P
x
ω
ω
t
x(t)
x (t)
2
x (t)
1
x (t)
3
ω
d1
ω
d1
ω
П1
ω
П1
ω
d2
ω
d2
ω
П2
ω
П2
ω
d3
ω
d3
ω
П3
ω
П3
P (0)
1
P (0)
2
P (0)
3
1
1
2
2
3
3
Рис.101
Построение отдельных составляющих
h t
i
( )
легко осуществляется с помощью таблиц, называемых
h( )
τ
-функций, которые рассчитаны для нормированной единичной трапеции вида (рис.102).
63
ω
d
–полоса равномерного пропускания
частот.
ω
П
= 1
–полоса пропускания частот.
Единичная
трапеция
характеризуется
одним коэффициентом
χ
ω
ω
=
d
П
.
Для единичной трапеции в литературе
построены таблицы
h( )
τ
-функций (табл.1). (По
вертикали располагается табличное время t
табл
)
Таблица 1
Коэффициент наклона %
τ
0,0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
τ
0,0
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,000
0,0
0,5
0,138
0,165
0,176
0,184
0,192
0,199
0,207
0,215
0,223
0,231
0,240
0,248
0,255
0,259
0,267
0,275
0,282
0,290
0,297
0,304
0,314
0,5
1,0
0,310
0,325
0,340
0,356
0,371
0,386
0,402
0,417
0,432
0,447
0,461
0,476
0,490
0,505
0,519
0,534
0,547
0,561
0,575
0,590
0,602
1,0
1,5
0,449
0,469
0,494
0,516
0,538
0,560
0,594
0,603
0,617
0,646
0,665
0,685
0,706
0,722
0,740
0,758
0,776
0,794
0,813
0,832
0,844
1,5
2,0
0,571
0,597
0,628
0,655
0,682
0,709
0,732
0,761
0,785
0,810
0,831
0,856
0,878
0,899
0,919
0,938
0,957
0,974
0,991
1,008
1,022
2,0
2,5
0,674
0,707
0,739
0,771
0,802
0,833
0,862
0,891
0,917
0,943
0,967
0,985
1,010
1,030
1,050
1,067
1,084
1,090
1,105
1,120
1,133
2,5
3,0
0,755
0,792
0,828
0,863
0,895
0,928
0,958
0,986
1,013
1,038
1,061
1,081
1,100
1,116
1,131
1,143
1,154
1,162
1,169
1,175
1,177
3,0
3,5
0,815
0,853
0,892
0,928
0,963
0,994
1,024
1,050
1,074
1,095
1,115
1,132
1,145
1,158
1,165
1,170
1,174
1,174
1,175
1,176
1,175
3,5
4,0
0,850
0,898
0,937
0,974
1,008
1,039
1,066
1,090
1,110
1,127
1,141
1,151
1,158
1,162
1,163
1,161
1,156
1,150
1,141
1,132
1,119
4,0
4,5
0,883
0,923
0,960
0,998
1,029
1,057
1,084
1,104
1,120
1,129
1,138
1,141
1,141
1,138
1,132
1,127
1,111
1,099
1,085
1,071
1,053
4,5
5,0
0,895
0,939
0,977
1,012
1,042
1,067
1,087
1,102
1,112
1,117
1,117
1,114
1,107
1,097
1,084
1,069
1,053
1,036
1,019
1,003
0,987
5,0
5,5
0,900
0,940
0,986
1,015
1,042
1,063
1,079
1,088
1,092
1,096
1,090
1,076
1,064
1,050
1,032
1,016
0,994
0,979
0,962
0,951
0,932
5,5
6,0
0,903
0,945
0,981
1,013
1,037
1,054
1,065
1,070
1,068
1,062
1,051
1,036
1,020
1,001
0,984
0,956
0,949
0,934
0,922
0,914
0,907
6,0
6,5
0,904
0,943
0,980
1,009
1,029
1,043
1,050
1,049
1,043
1,033
1,018
1,001
0,982
0,965
0,948
0,936
0,920
0,910
0,906
0,904
0,905
6,5
7,0
0,904
0,945
0,978
1,006
1,024
1,034
1,037
1,033
1,023
1,009
0,992
0,975
0,957
0,941
0,927
0,917
0,911
0,909
0,911
0,917
0,926
7,0
7,5
0,907
0,945
0,980
1,005
1,021
1,027
1,027
1,020
1,005
0,989
0,974
0,956
0,944
0,931
0,922
0,919
0,920
0,927
0,934
0,946
0,962
7,5
8,0
0,911
0,951
0,983
1,007
1,020
1,024
1,021
1,011
0,998
0,982
0,966
0,952
0,941
0,934
0,932
0,936
0,944
0,955
0,970
0,986
1,002
8,0
8,5
0,918
0,956
0,989
1,010
1,021
1,024
1,018
1,007
0,993
0,978
0,964
0,954
0,948
0,948
0,951
0,958
0,974
0,990
1,006
1,023
1,041
8,5
9,0
0,925
0,966
0,996
1,016
1,025
1,025
1,017
1,006
0,992
0,978
0,968
0,962
0,961
0,967
0,976
0,990
1,006
1,023
1,038
1,051
1,060
9,0
9,5
0,932
0,972
1,004
1,020
1,028
1,026
1,018
1,006
0,993
0,982
0,975
0,972
0,977
0,987
1,000
1,015
1,033
1,048
1,059
1,065
1,066
9,5
10,0
0,939
0,980
1,009
1,025
1,030
1,027
1,018
1,005
0,994
0,985
0,982
0,984
0,993
1,006
1,020
1,036
1,049
1,059
1,063
1,062
1,056
10,0
10,5
0,946
0,985
1,013
1,028
1,031
1,026
1,016
1,004
0,994
0,989
0,988
0,994
1,005
1,019
1,033
1,046
1,054
1,058
1,055
1,048
1,033
10,5
11,0
0,947
0,988
1,015
1,028
1,030
1,024
1,013
1,002
0,993
0,990
0,993
1,001
1,014
1,027
1,039
1,047
1,048
1,044
1,034
1,021
1,005
11,0
11,5
0,949
0,988
1,016
1,027
1,028
1,021
1,010
0,998
0,991
0,991
0,996
1,006
1,017
1,029
1,037
1,039
1,034
1,024
1,010
0,994
0,997
11,5
12,0
0,950
0,990
1,015
1,025
1,024
1,015
1,004
0,994
0,988
0,990
0,997
1,007
1,018
1,026
1,029
1,025
1,015
1,000
0,984
0,970
0,958
12,0
12,5
0,950
0,989
1,013
1,022
1,019
1,010
0,998
0,990
0,986
0,989
0,997
1,007
1,015
1,019
1,017
1,010
0,995
0,980
0,965
0,955
0,950
12,5
13,0
0,950
0,989
1,012
1,019
1,015
1,004
0,993
0,986
0,984
0,989
0,997
1,006
1,012
1,012
1,005
0,993
0,980
0,965
0,955
0,952
0,955
13,0
13,5
0,950
0,990
1,011
1,016
1,011
1,000
0,990
0,983
0,984
0,989
0,998
1,005
1,008
1,004
0,995
0,982
0,968
0,958
0,954
0,958
0,970
13,5
14,0
0,951
0,990
1,010
1,015
1,008
0,997
0,987
0,983
0,985
0,991
0,999
1,005
1,005
0,998
0,987
0,975
0,965
0,961
0,965
0,976
0,991
14,0
14,5
0,954
0,990
1,011
1,014
1,008
0,996
0,986
0,984
0,987
0,994
1,002
1,005
1,003
0,994
0,983
0,970
0,969
0,971
0,981
0,997
1,010
14,5
15,0
0,956
0,993
1,012
1,014
1,006
0,995
0,987
0,986
0,991
0,998
1,005
1,006
1,002
0,994
0,983
0,977
0,978
0,987
1,001
1,018
1,032
15,0
15,5
0,959
0,995
1,013
1,014
1,006
0,995
0,989
0,989
0,995
1,002
1,008
1,007
1,001
0,992
0,985
0,984
0,991
1,003
1,019
1,032
1,048
15,5
16,0
0,956
0,998
1,015
1,014
1,006
0,995
0,990
0,992
0,999
1,007
1,010
1,008
1,001
0,994
0,990
0,993
1,003
1,018
1,031
1,040
1,039
16,0
16,5
0,964
0,999
1,016
1,015
1,005
0,996
0,992
0,995
1,002
1,009
1,011
1,008
1,001
0,995
0,995
1,001
1,014
1,027
1,035
1,037
1,028
16,5
17,0
0,965
1,001
1,016
1,014
1,005
0,996
0,993
0,998
1,005
1,011
1,012
1,007
1,000
0,996
0,999
1,008
1,020
1,030
1,032
1,026
1,012
17,0
17,5
0,966
1,002
1,016
1,013
1,003
0,995
0,994
0,999
1,007
1,011
1,009
1,005
0,998
0,997
1,002
1,012
1,023
1,027
1,023
1,013
0,994
17,5
18,0
0,966
1,002
1,015
1,012
1,002
0,994
0,994
1,000
1,007
1,010
1,008
1,001
0,997
0,997
1,004
1,014
1,020
1,018
1,008
0,993
0,978
18,0
18,5
0,966
1,001
1,014
1,010
1,000
0,993
0,994
1,001
1,007
1,009
1,005
0,999
0,995
0,997
1,005
1,012
1,014
1,007
0,993
0,978
0,969
18,5
19,0
0,966
1,002
1,013
1,008
0,998
0,992
0,994
1,001
1,006
1,006
1,001
0,995
0,993
0,997
1,004
1,009
1,006
0,995
0,981
0,970
0,967
19,0
19,5
0,967
1,001
1,012
1,006
0,996
0,991
0,994
1,001
1,005
1,004
0,998
0,992
0,992
0,997
1,003
1,005
0,998
0,985
0,973
0,967
0,973
19,5
20,0
0,967
1,001
1,011
1,004
0,995
0,991
0,994
1,001
1,004
1,001
0,995
0,991
0,992
0,998
1,003
1,001
0,991
0,980
0,972
0,975
0,986
20,0
20,5
0,968
1,002
1,010
1,003
0,994
0,991
0,995
1,001
1,003
1,000
0,994
0,991
0,994
0,999
1,002
0,998
0,987
0,978
0,977
0,990
1,001
20,5
21,0
0,968
1,002
1,010
1,003
0,994
0,991
0,996
1,002
1,003
0,999
0,993
0,992
0,996
1,001
1,002
0,996
0,987
0,982
0,989
1,001
1,015
21,0
21,5
0,969
1,003
1,010
1,002
0,994
0,992
0,999
1,004
1,003
0,998
0,994
0,995
0,999
0,995
1,002
0,995
0,988
0,988
0,998
1,013
1,025
21,5
22,0
0,971
1,004
1,011
1,002
0,994
0,994
1,000
1,005
1,004
0,998
0,995
0,997
1,000
1,004
1,002
0,995
0,991
0,997
1,010
1,024
1,029
22,0
22,5
0,973
1,005
1,011
1,002
0,995
0,995
1,002
1,006
1,004
0,998
0,996
1,000
1,005
1,005
1,002
0,996
0,996
1,006
1,018
1,028
1,028
22,5
23,0
0,973
1,006
1,011
1,002
0,995
0,997
1,003
1,006
1,004
0,998
0,997
1,002
1,007
1,007
1,002
0,997
1,001
1,011
1,022
1,025
1,016
23,0
23,5
0,975
1,006
1,011
1,002
0,995
0,998
1,004
1,006
1,003
0,998
0,998
1,003
1,008
1,006
1,001
0,998
1,004
1,015
1,021
1,016
1,002
23,5
24,0
0,975
1,006
1,010
1,001
0,995
0,998
1,005
1,006
1,002
0,998
0,999
1,004
1,007
1,004
0,999
0,999
1,007
1,015
1,016
1,006
0,990
24,0
24,5
0,975
1,006
1,009
1,000
0,995
0,999
1,005
1,005
1,000
0,997
1,000
1,004
1,006
1,02
0,998
0,999
1,007
1,012
1,007
0,995
0,979
24,5
25,0
0,975
1,006
1,008
0,999
0,995
0,999
1,004
1,004
0,999
0,996
1,000
1,004
1,004
0,999
0,996
1,000
1,007
1,008
0,998
0,984
0,975
25,0
25,5
0,975
1,006
1,007
0,998
0,994
0,999
1,004
1,002
0,997
0,996
1,000
1,003
1,002
0,997
0,995
1,000
1,005
1,001
0,989
0,978
0,977
25,5
26,0
0,975
1,006
1,006
0,997
0,994
0,999
1,003
1,001
0,996
0,996
1,000
1,002
0,999
0,995
0,995
1,000
1,002
0,997
0,984
0,978
0,983
26,0
0,0
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1,00
P
Рис.102
P(0)=1
ω
d
ω
П
=1
ω
Если определена h-функция единичной трапеции, то затем по теоремам об изменении масштабов
по оси абсцисс и ординат легко перейти к реальным трапециям.
Итак алгоритм расчета по методу трапеций:
1. ВЧХ по указанным правилам разбивают на трапеции, в примере число трапеций равно 3,
i
= 3
.
64