ВУЗ: Новосибирский государственный технический университет
Категория: Учебное пособие
Дисциплина: Основы теории управления
Добавлен: 15.02.2019
Просмотров: 1440
Скачиваний: 4
W
b
a
k
p
( )
0
0
0
=
=
силения разомкнутой системы.
p
– статический коэффициент у
Следовательно, ошибка от закона регулирования в установившемся (статическом) режиме имеет
вид
)
(
1
1
)
(
.
.
∞
→
+
=
∞
→
t
V
k
t
p
c
y
ε
,
(3)
если
V t
(единичный ступенчатый сигнал), то
( )
= 1
ε
y c
p
k
. .
=
+
1
1
,
(4)
Выводы: 1. При виде передаточной функции разомкнутой системы
(2) (со свободным членом в
знаменателе) ошибку в установившемся режиме принципиально не возможно сделать
равной нулю – такие системы называются статическими.
W
p
2. С ростом коэффициента усиления ошибка от закона
регулирования уменьшается, однако её устойчивость
также ”уменьшается”, а может и оказаться неустойчивой
при
(рис.87), где
– коэффициент усиления
разомкнутой системы, при котором замкнутая система
находится на границе устойчивости.
k k
кp
>
k
кp
k
p
3. При проектировании обычно задается величина ошибки
системы в установившемся режиме, по ней из уравнения
(4) определяется необходимый
1
1
.
.
−
=
c
y
p
k
ε
.
(5)
Re
ω=0
ω=+∞
Рис.87
Im
-1,j0
k
1
k
кp
k
2
4. Ошибка от закона регулирования равна 0 только при
k
p
= ∞
. Такие системы называются
астатическими.
1.2. Пусть
W p
B p
pA p
p
( )
( )
( )
=
.
(6)
Такую функцию можно получить последовательным подключением к статической системе с ПФ (2)
идеального интегрирующего звена
1
p
. Подставляя (6) в (1) получим
E p
B p
pA p
V p
pA p
pA p
B p
V p
y
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
=
+
1
1
.
(7)
В установившемся режиме при
t
→ ∞
;
p
= 0
, тогда из (7)
ε
y аст
.
.
= 0
.
(8)
Выводы:
1. Системы с передаточной функцией вида (6) имеют
ε
y а
. .
= 0
и называются астатическими
или следящими.
2. Для расчета необходимого коэффициента усиления в разомкнутом состоянии для
следящих систем вводят режим постоянной заводки, т.е. когда входной сигнал
изменяется с постоянной скоростью (рис.88).
50
Ω =
=
dV t
dt
const
( )
– скорость изменения
входного сигнала (скорость постоянной
заводки).
t
Рис.88
x(t)
V(t)
g(t
)
x(t
)
ε
ск
При этом возникает скоростная ошибка
ε
ск
в установившемся режиме.
В изображении по Лапласу
Ω( )
( )
p
pV p
=
.
(9)
Подставляя (9) в (7), получим
E
p
pA p
pA p
B p
p
p
A p
pA p
B p
p
y ск
.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
=
+
⋅
=
+
Ω
Ω
.
(10)
В установившемся режиме постоянной заводки при
t
→ ∞
;
p
= 0
, получим
ε
ск
p
a
b
k
=
=
0
0
Ω
Ω
.
(11)
Для определения
при заданной
k
p
ε
ск
выбирают максимально допустимую для данной системы
скорость заводки
(по техническим условиям).
Ω
1.3. Встает вопрос: Можно ли в САУ сделать
ε
ск
= 0
?
Если в структуру последовательно добавить ещё одно интегрирующее звено, то ПФ разомкнутой
системы получит вид:
W p
B p
p A p
p
( )
( )
( )
=
2
.
(12)
Проделав аналогичные предыдущему случаю преобразования, получим
ε
ск
= 0
, однако в ней будет
присутствовать ошибка по ускорению. Такие системы называются астатическими с астатизмом второго
порядка.
В принципе, можно избавиться и от ошибки по ускорению, включив третье интегрирующее звено –
астатическая система с астатизмом 3-го порядка.
Однако,
отметим,
что
построение замкнутых систем с
астатизмом выше 2-го порядка
достаточно затруднительно, т.к. при
n
= 2
(порядок астатизма) САУ уже
структурно неустойчива и не может
быть реализована без включения
дополнительных
корректирующих
устройств (рис.89)
Re
ω=
∞
ω=0
ω=0
ω=0
ω=0
Рис.89
Im
k
p
стат
ичес
ка я
си
ст
ем
а
p
3
1
p
2
1
p
1
-1,j0
51
2. Ошибка по возмущающему воздействию.
E
p
W
W
F p
F
p
( )
( )
=
+
3
1
,
(1)
f t
( )
– возмущающая единичная ступенчатая функция
f t
( )
= 1
.
2.1. Если
W
B p
A p
p
=
( )
( )
– статическая система,
(2)
W
d p
d
p
d
c p
c
p
c
Д p
C p
з
s
s
s
s
k
k
k
k
=
+
+
+
+
+
+
=
−
−
−
−
1
1
0
1
1
0
Κ
Κ
( )
( )
– передаточная функция объекта.
(3)
В установившемся режиме при
t
p
→ ∞
=
,
чим
0
, полу
W
b
a
k
k k k
p
p
=
=
=
0
0
1 2
3
– коэффициент усиления разомкнутой системы,
W
d
c
k
з
=
=
0
0
з
– коэффициент усиления (передачи) объекта.
Тогда ошибка от возмущения единичного ступенчатого скачка определится выражением
ε
F
з
p
k
k
=
+
1
.
(4)
Таким образом, ошибка от возмущения при
f t
( )
= 1
зависит от общего коэффициента усиления
разомкнутой системы и коэффициента усиления (передачи) объекта. Уменьшить
ε
F
можно
увеличением общего
, но не за счет
, а увеличения
или
.
k
p
k
з
k
1
k
2
При
f t
f
const
( )
=
=
0
Рассмотрим три случая.
2.2. Регулятор и объект регулирования статические.
W
p
W W
k
W
p
ег
ег
ег
р .
р .
р .
( )
( )
=
=
⋅ ′
1
2
,
(5)
где коэффициент усиления (передачи)
W
′ p
ег
р .
( )
в установившемся режиме равен 1.
W p
k W p
з
з
з
( )
( )
=
⋅ ′
,
(6)
где коэффициент усиления (передачи)
W
′ p
з
( )
в установившемся режиме также равен 1.
Подставим (5) и (6) в выражение ошибки (1), получим
E p
k W
k k W W
F p
F
з
з
ег
з
ег
з
( )
( )
р .
р .
=
′
+
′
′
1
.
(7)
По теореме о начальном и конечном значении изображения по Лапласу имеем:
1.
lim ( ) lim
( )
t
p
t
pE
→∞
→
=
p
ε
0
– теорема о конечном значении по Лапласу.
2.
lim ( ) lim
( )
t
p
t
pE
→
→∞
=
0
p
ε
– теорема о начальном значении по Лапласу.
Так как
, то изображение по Лапласу от
будет
f t
f
const
( )
=
=
0
f
0
F p
f
p
( )
=
0
.
(8)
Подставляя (8) в (7) и воспользовавшись 2.1, получим
ε
F
з
з
ег
з
ег
з
p
з
p
k W
k k W W
f
k
k
f
( )
р
р
∞ =
′
+
′
′
⋅
=
+
=
1
1
0
0
0
,
(9)
52
где
k
k k
k k k
p
ег
з
=
=
р
1
силения разомкнутой системы,
2
3
– коэффициент у
– установившаяся ошибка разомкнутой системы при действии возмущения
,
k f
з
0
f
0
ε
F
( )
∞
– установившаяся ошибка замкнутой системы от возмущения
.
f
0
Вывод: В замкнутой системе, как это следует из (9) установившаяся ошибка по возмущению
ε
F
в
раз меньше, чем в разомкнутой системе. Т.е. за счет контура обратной связи происходит
поддержание выходного параметра на заданном уровне тем точнее, чем больше
.
1
+ k
p
k
p
2.3. Регулятор статический, объект астатический с астатизмом 1-го порядка. Регулятор как и
прежде имеет ПФ (5), а объект
W p
k W p
p
з
з
з
( )
( )
=
′
.
(10)
Подставляем (5) и (10) в выражение ошибки (1), получим
E
p
k W p
p
k k W
p W p
p
F p
k W p
p k k W
p W p
F p
F
з
з
ег
з
ег
з
з
з
ег
з
ег
з
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
р
р
р
р
=
′
+
′
′
=
′
+
′
′
1
.
(11)
Подставляя (8) в (11) и воспользовавшись 2.1, получим:
ε
F
з
з
ег
з
ег
з
p
ег
k W p
p k k W W
f
f
k
( )
( )
р
р
р
∞ =
′
+
′
′
=
=
0
0
0
.
(12)
Вывод:
Если регулятор статический, а объект регулирования астатический с астатизмом 1-го порядка,
то установившаяся ошибка замкнутой системы обратно пропорциональна коэффициенту
усиления (передачи) регулятора
k
k
ег
р
k
=
1 2
.
2.4. Регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, объект – статический.
Передаточная функция регулятора
W
p
k W
p
p
ег
ег
ег
р
р
р
( )
( )
=
′
.
(13)
ПФ объекта имеет, как и ранее, вид (6). Подставляем (13) и (6) в (1)
E
p
k W p
k k W
p W p
p
F p
pk W p
p k k W
p W p
F p
F
з
з
ег
з
ег
з
з
з
ег
з
ег
з
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
р
р
р
р
=
′
+
′
′
=
′
+
′
′
1
.
(14)
Подставляя (8) в (14) и учитывая (2.1), получим
ε
F
з
з
ег з
ег
з
p
pk W p
p k k W W
f
( )
( )
р
р
0
0
0
0
=
′
+
′
′
=
=
.
(15)
Вывод:
Если регулятор астатический с астатизмом 1-го порядка, то установившаяся ошибка по
возмущению
отсутствует
f
const
0
=
ε
F
= 0
.
53
Коэффициенты ошибок
Рассматриваемый метод может применяться как для управляющего
g t
( )
, так и для возмущающего
f t
( )
воздействий.
Не снижая общности рассуждений, рассмотрим случай, когда имеется только управляющее
воздействие
g t
( )
, т.е.
f t
( )
= 0
.
Ошибка по управлению:
E p
W p
G p
W p G p
y
p
y
( )
( )
( )
( ) ( )
=
+
=
1
1
.
(1)
Если входное воздействие
g t
( )
имеет произвольную форму, но имеет конечное число
производных
m
dg t
dt
d g t
dt
d g t
dt
m
m
( )
,
( )
,
,
( )
2
2
Κ
,
(2)
то передаточную функцию (1) можно разложить в ряд Тейлора по степеням комплексной величины
p
:
E p
C
C p
C
p
C
p
C
m
p G p
y
m
m
( )
!
!
!
( )
=
+
+
+
+
+
0
1
2
2
3
3
2
3
Κ
.
(3)
Переходя в выражении (3) к оригиналу, получаем формулу для определения установившейся
ошибки по управлению.
ε
( )
( )
( )
!
( )
!
( )
!
( )
t
C g t
C
dg t
dt
C d g t
dt
C d g t
dt
C
m
d g t
dt
m
m
m
=
+
+
+
+
+
0
1
2
2
2
3
3
3
2
3
Κ
.
(4)
Коэффициенты
[
]
C
W p
y
p
0
0
=
=
( )
,
C
dW p
dp
y
p
1
0
=
=
( )
,
C
, ... ,
d W p
dp
y
p
2
2
2
0
=
=
( )
C
d W p
dp
m
m
y
m
p
=
=
( )
0
называются коэффициентами ошибок и определяются по общему разложению функции
W p
y
( )
в
ряд Тейлора по степеням
p
:
− коэффициент
только в статических системах
C
0
0
≠
− в астатических системах с астатизмом 1-го порядка
C
0
0
=
− в астатических системах с астатизмом 2-го порядка
C
C
0
1
0
=
=
и т.д.
Пример:
Определить коэффициенты ошибок по управляющему воздействию, если ПФ разомкнутой системы
имеет вид
W p
k
p
T p
T p
p
p
( )
(
)(
=
+
+
1
1
1
2
)
.
(1)
Передаточная функция по ошибке:
p
p
y
k
p
p
T
T
p
T
T
p
p
T
T
p
T
T
W
p
W
+
+
+
+
+
+
+
=
+
=
2
2
1
3
2
1
2
2
1
3
2
1
)
(
)
(
1
1
)
(
.
(2)
Определим коэффициенты ряда Тейлора
[
]
C
W p
y
p
0
0
0
=
=
=
( )
,
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
,
1
1
)
(
2
3
)
(
2
3
)
(
0
2
2
1
2
2
1
2
1
2
2
1
0
1
p
p
p
y
k
ь
знаменател
числитель
p
T
T
p
T
T
ь
знаменател
p
T
T
p
T
T
dp
p
dW
C
=
+
+
+
−
⋅
+
+
=
=
=
=
C
d W p
dp
T
T
k
k
y
p
p
p
2
2
2
0
1
2
2
2
1
=
=
+
−
=
( )
,
54