Файл: В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса заочной формы обучения.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 107

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

25

Контрольная работа № 4

1-30. найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

1.

z =

1 − x2 − y2 .

16.

z =

xy.

 

 

2.

z = ln(x2 − y).

17.

z =

1

 

.

9 − x2

− y2

 

 

 

 

 

 

 

3.

z = x + arccosy.

18. z = ln(y(x − 3)).

 

4.

z =

y sin x.

19. z =

x2 + y2 − 2.

5.

z = ln(xy).

20.

z = ln(2x + y).

 

6.

z = ln y − ln(cosx).

21.

z = y2 − arccosx.

7.

z =

4 − x2 − y2 .

22.

z =

x cosy.

 

8.

z = ln(x − y).

23.

z =

y ln x.

 

9.

z = 2x + arcsiny.

24.

 

 

1

 

z =

2 − x2 − y2 .

10.z = x sin y.

11.z = x ln y.

12.z = ln(x(y −1)).

13.z = 16 − x2 − y2 .

14.z = ln(x + y).

15.z = arccosy − x.

25.z = x2 + y2 − 4.

26.z = ln(2y − x2 ).

27.z = y + arcsinx.

28.z = y cosx.

29.z = x2 − y .

30.z = ln x − ln(sin y).

31-60. Дана функция z=f(x;y). Показать, что она удовлетворяет данному уравнению

31.

z = exy ; x2 ∂2z

− y2

∂2z

= 0.

 

 

∂y2

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

32.

z = e−cos(ax+y);

a2

∂2z

 

=

∂2z .

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

33.

z = ln(x2 + y2 + 2y +1);

 

 

∂2z +

∂2z

= 0.

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

34.

z = sin2 (y − ax);

a2

∂2z

 

= ∂2z .

 

∂y2

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

35.

z = y

;

x2 ∂2z

+ 2xy

 

∂2z

 

 

+ y2

∂2z

 

= 0.

∂x∂y

∂y2

 

 

x

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36.

z = y

y

;

x2 ∂2z

− y

2 ∂2z

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

37.

z =

 

x ;

 

x2 ∂

2

z − ∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

y2

∂z

 

 

 

 

 

y

 

 

∂x2

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y

 

 

 

 

 

 

 

sin(x − y)

 

 

 

∂

 

 

 

∂z

 

 

 

 

∂2z

 

38.

z =

 

 

 

 

 

;

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

− x2

 

 

 

= 0.

 

x

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

2

 

 

 

 

∂

2

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

z = arctg x

;

 

 

z +

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

40.z = ex ;

41.z = xy ;

∂

2

∂z

 

2

∂2z

 

 

x

 

 

− y

 

 

= 0.

 

 

 

∂y2

∂x

 

∂x

 

 

 

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

42.

z = ex (cosy + xsin y);

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

=

 

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

43.

z = e2xy2;

 

 

2

 

 

∂2z = 4

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.

z = ex sin y;

∂2z

+

 

 

∂2z

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

∂

2

 

 

 

 

 

 

∂

2

z

 

 

 

 

45.

z = e(x+2)y

;

 

x + 2

 

 

 

 

 

z −

 

 

 

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

46.

z = x3 + xy2 − 5xy3 + y5;

 

 

 

∂2z

=

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

∂y∂x

47.

z = 4y2

x;

 

 

 

2

 

∂

2

z

 

+ ∂

2

z = 0.

 

 

 

8 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

48.

z = exy

2

 

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

 

 

 

∂2z

 

 

 

 

;

 

2(y2x +1)

 

 

=

∂x2 .

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

49.

z = ln(x + y2 );

2y

 

∂2z

=

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

50.

z = x

;

 

∂2z

=

∂2z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

∂x∂y

 

∂y∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

27

51.

z = esin(x+2y);

4

∂2z

=

∂2z

.

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

52.

z = cos2 (y + 3x);

 

∂2z

 

=

 

∂2z

.

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

53.

z = 2x3 5y

+1;

 

∂2z

=

 

∂2z .

 

 

 

 

 

 

∂x∂y

 

 

 

∂y∂x

 

 

 

54.

z = e3y cosx;

9 ∂2z +

 

∂2z

 

= 0.

 

 

 

 

 

 

∂y2

 

 

 

 

 

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

55.

z = x3y2 − 3xy3 − xy +1;

 

 

∂2z

 

=

∂2z

.

 

 

∂x∂y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂y∂x

56.z = 3axy − x3 − y3;

57.z = x3y + ln y − x;

y ∂2z = ∂2z . x ∂x2 ∂y2

∂2z = ∂2z . ∂x∂y ∂y∂x

58.

z = ey cos5x;

25

∂2z

+

∂2z

= 0.

 

 

 

∂x2

 

 

 

 

∂y2

 

59.

z = axy; x2

∂2z =

∂2z

.

 

 

 

 

 

 

y2

∂x2

∂y2

 

60.

z = ln(xy +1);

 

∂2z

 

=

∂2z

.

 

∂x∂y

 

∂y∂x

 

 

 

 

 

 

 

 

61-90. Дана функция z=f(x,y) и две точки A(x0 , y0 ) и B(x1 , y1 ). Требу-

ется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функции в точ-

ке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхности z=f(x,y) в точке C(x0 , y0 , z0 ).

61.

z = x2

+ 3xy + y2 ,

A(3,1),

B(3,05;1,02).

62.

z = xy + y2 − 2x, A(2,1),

B(2,03;0,96).

63.

z = x2

+ y2 − x + y,

A(− 2,2),

B(− 2,02;2,05).

64.

z = 2x2 + 2xy − y2 ,

A(1,3),

B(0,95;2,94).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

65.

z = x2 + 3xy − y2 ,

A(1,3),

B(0,96;2,95).

66.

z = xy + 2x − y,

A(2,2),

B(1,93;2,05).

67.

z = 3y2 − 9xy + y,

A(1,3),

B(1,07;2,94).

68.

z = xy + x − y,

A(1,5;2,3),

B(1,43;2,35).

69.

z = y2 − xy − x2 ,

A(− 4,5),

B(− 3,92;5,06).

70.

z = x2 + y2 − x − y,

A(1,−3),

B(1,08;−2,94).

71.

z = x2 + 2x + y2 ,

A(1,2), B(1,03;1,97).

72.

z = 2x2 − 9xy − y,

A(1,1),

 

B(0,98;1,03).

73.

z = 3y2 + xy − x − y,

A(2,1),

B(1,96;0,99).

74.

z = xy + y2 − x,

A(3,2),

B(3,03;1,92).

75.

z = 2x + 3y − y2 ,

A(1,2),

B(1,08;2,01).

76.

z = y − xy + x2 ,

A(1,3),

B(0,96;3,05).

77.

z = 2y2 − 3x2 − x + 2y,

A(− 2,1),

B(−1,93;0,92).

78.

z = 3y2 − 2xy + x2 ,

A(3,−1),

B(3,04;−0,93).

79.

z = 7x + 8y − xy,

A(5,3), B(4,98;3,03).

80.

z = x2 − y2 + 5xy,

A(− 3,−2),

B(− 3,02;−1,98).

81.

z = y2 − 3xy + x2 ,

A(−1,1),

 

B(− 0,96;1,04).

82.

z = x + y − 4y2 ,

A(2,−5),

B(2,01;−4,93).

83.

z = 2x2 + y2 − x − 2y,

A(− 2,3),

B(−1,97;2,94).

84.

z = 7x2 + y2 − 3x,

A(1,2),

B(1,01;2,03).

85.

z = x + y − 8xy,

A(3,2),

B(3,04;1,98).

86.

z = 4xy + y2 − 2x2 ,

A(5,2),

 

B(5,07;2,04).

87.

z = 8x2 + 7y2 − 5y,

A(1,2),

 

B(0,95;2,05).

88.

z = 3x + 4y − y2 ,

A(−1,−1),

B(− 0,93;−1,04).

89.

z = x2 − y2 + xy,

A(3,−1), B(3,01;−1,08).

90.

z = 3y − 5xy − y2 ,

A(2,−1), B(1,92;−1,03).

 

91-120. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y)

в замкнутой области. Сделать чертёж.

91.

z = x2 + y2 − xy − 4x

 

в

 

треугольнике, ограниченном прямыми

 

x = 0, y = 0, 2x + 3y −12 = 0.

 

29

92.

z = x2 + 3y2 + x − y

 

в

треугольнике,

 

 

ограниченном

прямыми

 

x =1, y =1, x + y =1 .

 

 

 

 

 

 

93.

z = x3 + y3 − 3xy

в

прямоугольнике,

 

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, x = 2, y = 0, y = 3 .

 

 

 

 

 

94.

z = x2 − 2y2 + 4xy − 6x −1

в

треугольнике,

ограниченном

прямыми

95.

x = 0, y = 0, x + y = 3.

 

 

 

 

 

 

z = xy − 2x − y

в

 

прямоугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, x = 3, y = 0, y = 4 .

 

 

 

 

 

96.

z = 0,5x2 − xy

в области, ограниченной параболой y = x2

и прямой

 

y = 3 .

 

 

 

 

 

 

 

3

 

97.

 

в

 

квадрате,

ограниченном

прямыми

z = 2x + y − xy

 

 

 

x = 0, x = 4, y = 0, y = 4.

 

 

 

 

 

98.

z = x2 + y2 − xy + x + y

в

треугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, y = 0, x + y = −3 .

 

 

 

 

 

 

99.

z = x2 + 2xy − 4x + 8y

в

прямоугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, x =1, y = 0, y = 2 .

 

 

 

 

 

100.

z = x3 + 8y3 − 6xy +1

в

прямоугольнике,

ограниченном

прямыми

 

x = 0, x = 2, y = −1, y =1.

 

 

 

 

 

101.

z = 2x2 + y2 − 3xy + y

в

треугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 5, y = 0,

y = 2x .

 

 

 

 

 

 

 

102.

z = 5x2 − y2 − 2x

в

треугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 3, y = x, y = −x .

 

 

 

 

 

 

 

103.

z = x2 + y2 − x − 4y

в

треугольнике,

 

 

ограниченном

прямыми

 

y = 2x, y = 0,

y =10 − 2x .

 

 

 

 

 

104.

z = xy − y2 + x − 3y

в

треугольнике,

 

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, y = 3 − x, y = x − 5 .

 

 

 

 

 

105.

z = x2 + y2 + 3xy − x + y

в

треугольнике,

 

ограниченном

прямыми

 

x = 0, y = 0,

y = 0,5x + 2 .

 

 

 

 

 

106.

z = x2 + y2 − xy − 5y + 3

в

трапеции,

 

 

ограниченной

прямыми

 

x = 0, y = 0, y = 5, y = 8 − x .

 

 

 

 

Смотрите также файлы