Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 115

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

- 11 -

Контрольная работа № 5

В эту контрольную работу включены задачи на применение производной соответствующие вопросы изложены в литературе: [3, гл.III,

§3-9; 2, гл. V, § 1-12; 4, гл. VI, § 7; 5, гл. VII, § 2, п. 3-6; 6, ч II, гл. VI,

§3-8].

При решении задач № 1-30 необходимо знать, что наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [a;b] находятся в критических точках или на границе отрезка.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 13 x3 − 52 x2 − 6x + 9 на отрезке [0;8].

Решение. Найдём критические точки. Для этого находим производную и приравниваем её к нулю. f ′(x) = x2 − 5x + 6;x2 − 5x + 6 = 0.

Корни этого уравнения x1 = − 1; x2 =

6. Отрезку [0;8] принадлежит

только x2 =

6 . Найдём значения данной функции при x2 = 6 и на кон-

цах отрезка, затем сравним их:

 

f (0) = 9;

f( 6) =

 

1

63 −

 

5

62 − 6

6 + 9 = − 45;

 

 

6

 

1

 

 

5

 

3

 

1

 

 

f (8) =

83

−

82

− 6 8 +

9 = − 28

.

 

 

 

3

6

 

 

 

 

3

 

Итак, наибольшее значение заданная функция принимает в точке x = 0 , наименьшее значение в точке x = 6 .

При решении задач № 31-60 труднее всего записать выражение оптимизируемой функции по указанным свойствам. Полезно воспользоваться литературой: [2, гл. V, § 7 задачи №1 и №2 с. 168-169; 3, гл. III, § 6, с. 356-359; 4, гл.VI, § 7, п.5, с. 261-262; 6, гл. VI, § 8 с. 941-943].

Пример. Закрытый бак имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания r и высота h бака, чтобы расход материала на его изготовление был наименьшим.

Решение. Для решения задачи требуется найти размеры r и h цилиндра, при которых оптимизируемая функция S (полная поверхность цилиндра) принимает наименьшее значение (см. рис. 2).

S = Sбок + 2Sосн = 2π rh + 2π r 2 .

(1)

- 12 -

S - функция двух переменных r и h. Выразим S как функцию одно-

го переменного r .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Так как r и h связаны между собой равенст-

 

 

 

вом V = π

r 2h , где V - заданный объём ци-

 

 

 

линдра, следовательно h =

V

.

 

 

 

 

π r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим это выражение в (1), полу-

 

 

 

чим

S = 2π

r

 

V

 

+

2π r 2

или

 

 

 

 

r 2

 

 

 

2V

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

S(r) =

+ 2π

r 2 ,

т.

е.

оптимизируемая

 

 

 

 

 

 

r

 

 

функция S(r)

выражена как функция одного аргумента r . Задача сво-

дится к исследованию функции S(r)

на экстремум (минимум). Так как

функция S(r)

определена на открытом промежутке (0;∞

) , то она может

достигать экстремума только в критических точках этого промежутка.

Найдём производную

′

 

и приравняем её к нулю

 

 

 

 

 

 

 

Sr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′

= −

2V

+ 4π

r

2

 

=

 

2(2 r3 −

 

V )

 

 

 

′

0 2π

r

3

− V =

0 r

=

3

V

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sr

r

2

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

, Sr =

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S(r)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Покажем, что в этой точке

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

′′

 

достигает минимума. Найдём Srr :

 

S

′′

= (S

′

(r))

′

 

 

=

 

−

2V

+ 4π

 

 

′

 

=

4V

+ 4π ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

r

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rr

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 V

 

 

 

 

 

 

4V

 

 

 

 

 

 

 

 

4V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S

′′

 

 

=

 

 

 

 

 

 

+

4π =

 

 

+ 4π =

8π + 4π = 12π > 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

следовательно: S(r) имеет минимум при r = 3 V

 

. Определим высоту

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

V

2π

 

 

 

3 4V .

 

 

 

 

цилиндра h =

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

 

 

 

r 2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

− 2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

3 2

3 π

−

3

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

π

3

 

 

 

 

 

 

π

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 13 -

Если в условии задачи сказано, например, что сопротивление балки прямоугольного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины x этого сечения на квадрат его высоты h, то можно выразить сопротивление на изгиб F как функцию ширины x и высоты h сечения

F = kxh2 , где k-коэффициент пропорциональности. Для того, чтобы выразить F как функцию одной переменной, нужно найти связь между x и h. Пусть балка вырезана из круглого

бревна радиусом R (см. рис. 3), тогда

 

x 2

 

 

h

2

 

 

 

+

 

 

 

= R2 x2 + h2 = 4R2

 

 

 

2

 

 

2

 

h2 = 4R2 − x2 F =

kxh2 =

= kx(4R2 − x2 ).

 

Дальше исследуем F (x)

на экстремум

как и в предыдущем примере. Пример. Пусть по условию задачи

из полосы жести шириной a нужно изготовить открытый желоб наибольшей вместимостью V .

Решение. Так как V = S l , где l -длина полосы; S -площадь поперечного сечения, и l постоянна, то задача сводится к определению наибольшего значения поперечного сечения жёлоба.

2. Если сечение жёлоба имеет форму дуги кругового сегмента (рис.4), то площадь поперечного

 

 

 

 

 

 

сечения

 

S =

 

r 2

(ϕ − sinϕ )

функция

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

двух переменных r и ϕ . Выразим S

 

 

 

 

 

 

как

 

функцию

 

только

ϕ .

Так как

 

 

 

 

 

 

ширина полосы, т. е. длина дуги

 

 

 

 

 

 

сегмента,

равна a , то r и ϕ

связаны

 

 

 

 

 

 

соотношением r ϕ = a

r =

a

. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ϕ

 

a

2

(ϕ + sinϕ )

 

 

 

a

2

 

1

 

sinϕ

 

 

 

S =

 

или

S =

 

 

 

−

. Задача сводится к оты-

 

2

 

 

 

 

2

 

 

2ϕ

 

 

 

2

 

ϕ

ϕ

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

сканию максимума функции S аргумента ϕ .

3. Если сечение жёлоба имеет вид равнобочной трапеции и ширина

 

 

 

 

- 14 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дна жёлоба равна b, то площадь

 

 

 

 

 

 

поперечного сечения S =

x +

b

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

(рис. 5). Выразим S как функцию от

 

 

 

 

 

 

α . Боковая сторона трапеции равна

 

 

 

 

 

 

 

a −

b

, высота h =

 

a − b

cosα ,

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

выразим x через α :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = b +

2m = b +

2 a − b sinα

=

.

 

 

 

 

 

 

b +

(a −

b) sinα .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Тогда площадь поперечного сечения S равна

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

1

(b + (a −

b) sinα

+ b)

a − b

cosα =

1

(a −

b)bcosα

+

1

(a − b)2 sin2α .

2

 

2

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

Нужно найти максимум функции S аргумента α .

В задачах геометрического содержания следует использовать известные свойства линей и поверхностей.

 

 

 

Пример. В данный шар вписать конус

 

наибольшего объёма.

 

 

 

 

 

 

Решение. Так как шар задан, то известен

 

его радиус R (рис. 6). Объём конуса:

 

V =

1

π

r 2h, где r - радиус основания конуса,

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

h- высота.. Из рис. 6 видно, что

 

h =

R +

 

R2 −

r 2 , тогда

 

 

 

V =

1

π

r

2

 

R +

R

2

− r

2

 

 

3

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V - функция одного переменного r , и задача сводится к отысканию

максимума функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пример. В прямоугольной системе

 

координат через точку

M (− 2;3)

проведена прямая с положительным угловым коэффициентом,

которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые прямой на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

 

 

 

- 15 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение.

Обозначим

длины

 

 

 

искомых отрезков a и b (рис. 7), тогда

 

 

 

уравнение прямой в отрезках имеет вид

 

 

 

 

x

+

 

y

=

1.

Площадь

 

треугольника

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

S =

 

1

ab . Найдём связь между a и b из

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

условия, что прямая проходит через

 

 

 

точку

M (−

2;3) :

 

− 2

+

3

= 1

a =

2b

 

 

 

 

 

 

 

3 − b

 

b2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

b

 

S(b) =

 

. Задача сводится к отысканию минимума этой функции.

b −

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В задачах № 61-90 требуется провести полное исследование указанных функций и построить их графики. Эти вопросы хорошо освеще-

ны в литературе: [2, гл. VI § 11, пример 1-6; 3, гл. VII, § 9, № 387 (1-7); 4, гл. VI, § 7, п. 6, пример 1-2; 5, гл. VII, § 2, п. 6. № 1082-1083; 6, гл. VI, § 7, № 918 (1-5)]. При исследовании целесообразно придерживаться следующей схемы, состоящей из трёх разделов, в которых устанавливаются:

1. Основные свойства функции: а) область определения функции; б) точки разрыва функции;

в) поведение функции на границах области определения: в окрестностях точек разрыва и на бесконечности; вертикальные и наклонные (в частности горизонтальные) асимптоты; г) нули функции (точки пересечения с осями координат);

д) симметрия графика (чётность или нечётность функции), периодичность.

2.Интервалы возрастания и убывания функции, точки экстремума.

3.Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.

 

Пример. Исследовать функцию y =

 

 

x2

и построить её график.

 

1

+ x

 

 

 

x =

Решение. 1. Функция определена и непрерывна при всех x , кроме

− 1, где она терпит разрыв. То есть область определения

(− ∞

;− 1) ( − 1;∞ ) . Исследуем поведение функции в окрестности точки

разрыва:

Смотрите также файлы