Файл: Е.Н. Грибанов Высшая математика. Контрольные работы №4, 5, 6 и методические указания к ним для студентов-заочников инженерно-технических специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

-34 -

42.Кусок проволоки длиной l согнуть в виде прямоугольника так, чтобы площадь последнего была наибольшей.

43.Требуется устроить прямоугольную площадку так, чтобы с трёх сторон она была огорожена проволочной сеткой, а четвертой стороной примыкала к длинной каменной стене. Какова наилучшая (в смысле площади) форма площадки, если имеется l погонных метров сетки?

44.Из квадратного листа картона со стороной a требуется сделать открытую прямоугольную коробку наибольшей вместимости, вырезав по углам квадраты и загнув выступы получившейся крестообразной фигуры.

45.Открытый жестяной бак с квадратным основанием должен вмещать V литров. При каких размерах на изготовление бака потребуется наименьшее количество жести?

46.В шар радиусом R вписать цилиндр наибольшего объёма.

47.В шар радиусом R вписать цилиндр с наибольшей боковой поверхностью.

48.В шар радиусом R вписать конус наибольшего объёма.

49.В сегмент параболы y2 = 2 p x , отсекаемый прямой x = 2a , вписать прямоугольник наибольшей площади.

50. На кривой y = 1 найти точку, в которой касательная составляет 1+ x2

с осью OX наибольший по абсолютной величине угол.

51. Сопротивление балки прямоугольного поперечного сечения на сжатие пропорционально площади этого сечения. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , чтобы её сопротивление на сжатие было наибольшим?

52. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак данного объёма V , причём стоимость квадратного метра материала, из которого изготовляется дно бака, равна p1 р., а стоимость квадратного метра мате-

риала, идущего на стенки, равна p2 р. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут наименьшими?

53. В прямоугольной системе координат через точку (1;2) проведена прямая с отрицательным угловым коэффициентом, которая вместе с осями координат образует треугольник. Каковы должны быть отрезки, отсекаемые на осях координат, чтобы площадь треугольника была наименьшей?

54. Из полосы жести шириной 11 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапе-

- 35 -

ции. Дно желоба равно 7 см. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

55.Сопротивление балки прямоугольного сечения на изгиб пропорционально произведению ширины этого сечения на квадрат его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанного из круглого бревна диаметром d , чтобы её сопротивление на изгиб было наибольшим?

56.В прямоугольной системе координат через точку(1;4) проведена

прямая, пересекающаяся с положительными полуосями координат. Написать уравнение прямой, если сумма отрезков, отсекаемых ею на осях координат, принимает наименьшее значение.

57.Полотняный шатер объёмом V имеет форму прямого кругового конуса. Каково должно быть отношение высоты конуса к радиусу основания, чтобы на шатер ушло наименьшее количество полотна?

58.Из полосы жести шириной 30 см требуется сделать открытый сверху желоб, поперечное сечение которого имеет форму равнобочной трапеции. Дно желоба должно иметь ширину 10 см. Каков должен быть угол, образуемый стенками желоба с дном, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?

59.Стрела прогиба балки прямоугольного поперечного сечения обратно пропорциональна произведению ширины этого сечения на куб его высоты. Каковы должны быть размеры сечения балки, вырезанной из круглого бревна диаметром d , с наименьшей стрелой прогиба (наибольшей жесткости)?

60.Найти отношение радиуса цилиндра к его высоте, при котором цилиндр имеет при данном объёме V наименьшую полную поверхность. 61-90. Провести полное исследование данных функций и начертить их графики.

61. а) y =

 

x4 −

3

, б)

y =

 

x

 

 

62.

а)y =

x

2

+

1

, б)

y =

x

3

e

−

x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

x 2

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

3

 

 

 

 

 

 

− ln(x + 1) .

 

а) y =

 

 

 

x

 

 

, б)

y =

 

ln x

 

 

 

63.

а) y =

 

 

 

 

 

, б) y = x

64.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 −

1

 

x

 

 

 

3 −

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln(x2 +

1).

 

 

4x −

 

12

 

 

 

 

 

−

66.

а) y =

x

x +

3, б)

y =

65.

а) y =

 

, б)

y =

x e

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x −

2)2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 36 -

67.

а) y =

8

 

 

 

, б)

y =

 

 

 

x2

.

 

 

 

 

 

 

x2 −

4

 

e x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

69.

а) y =

(x2 −

1)3 , б)

y =

x −

 

2ln x .

71. а) y =

 

x2

 

, б)

y =

x + arctgx .

 

x −

2

73.

а) y =

x2 +

 

2x −

3, б)

 

y =

 

e x

 

.

 

 

x + 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

75.

а) y =

 

x3 −

 

x2 , б)

y =

 

 

 

 

1

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x −

1

 

 

 

 

77.

а)y =

6x2 −

 

x 4

, б)

y =

ln x

.

 

 

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) y =

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

79.

 

x −

1

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y =

 

(2 + x2 ) e− x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

81. а) y =

 

 

16

 

 

 

 

, .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 (x − 4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y = 2 x −

 

arcsin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

83.

а) y =

 

x4

 

 

 

, б)

y =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

.

 

(1+

x)3

 

(1+

x)2

85.а) y = x3 (x − 5) ,. б) y = x arctgx

а) y =

 

x4

+ x3 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

.

87.

 

 

 

π

 

π

 

 

 

 

б) y =

sin2x − x на

−

 

 

;

 

 

.

2

2

 

 

 

 

 

 

 

68. а) y =

x2

 

, б) y =

1

 

.

x2 − 1

e x −

 

 

 

1

70. а) y =

x3

+ x2 , б)

3

 

 

72.а)y = (x − 1)2 , б)

x2 + 1

 

а) y =

x3 +

x4

,

74.

 

 

4

 

 

б) y = ln(x2 − 2x

76. а)y =

(x − 1)2( x + 2)

78. а) y =

4x

, б)

4 + x2

y = 2x + ctgx.

y = x3 e x .

+ 2).

, б) y = 2x . x2

e 2

y = x e3x .

80.

а) y =

 

x2 −

x − 6

, б)

y =

 

 

3x

.

 

x −

2

 

 

 

e x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

82.

а) y =

(x2 − 1)3 , б) y =

ln x

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

84.

а) y =

3x5 −

5x3 , б)

y =

 

x3

.

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

x

 

 

 

e x

 

86.

а) y =

 

x +

, б)

y =

+

arctgx .

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

88.

а) y =

 

2x2 − 1

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

4

 

 

на [0;π ].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) y =

 

2x +

ctgx

 

 

 

- 37 -

 

 

 

 

89. а) y =

x4

− 2x2 , б) y = ln(x2 − 1).

90. а) y =

3 −

x2

, б) y = x + sin x .

4

x +

2

 

 

 

 

Контрольная работа № 6

1-30. Найти область определения функции двух переменных. Сделать схематический чертёж.

1. z =

1− x2 − y2 .

3.

z =

x + arcsin x .

5.

z =

ln(x y) .

7. z =

4 − x2 − y2 .

9. z =

2x + arcsin y .

11.

z =

x ln y .

13. z =

16 − x2 − y2 .

15.

z =

arccos y − x .

17. z =

1

9 − x2 − y2 .

19. z =

x2 + y2 − 2 .

21. z =

y2 − arccos x .

23.

z =

y ln x .

25.

z =

x2 + y2 .

27.

z =

y + arcsin x .

29.

z =

x2 − y .

2.

z = ln(x2 − y).

4.

z =

y sin x .

6.

z =

ln y −

lncos x .

8.

z =

ln(x −

y) .

10.

z =

x sin y .

12.

z = ln(x ( y − 1)) .

14.

z = ln(x + y) .

16.

z =

x y .

18.

z = ln( y (x − 3)) .

20.

z =

ln(2x + y) .

22.

z =

x cos y .

 

z =

1

24.

2 − x2 − y2 .

26.

z =

ln(2 y − x2 ).

28.

z =

y cos x .

30.

z =

ln x − ln sin y .

31-60.Дана функция z =

f (x; y) . Показать, что она удовлетворяет данно-

му уравнению.

 

 

 

31. z = e xy , x2

∂ 2z

− y2 ∂ 2 y

= 0 .

∂ x2

 

 

∂ x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

- 38 -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

32.

z =

e

−

cos(ax+ y)

,

 

 

 

a

2 ∂

 

2z

 

 

=

 

 

∂

 

 

2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

x2

 

 

 

∂

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

33.

z =

ln(x2 +

 

y2 +

 

 

2 y +

1)

,

 

 

 

 

 

∂ 2z

 

 

+

 

 

 

∂ 2z

 

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

x2

 

 

 

 

∂

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34.

z =

sin2 ( y −

 

ax) ,

 

 

a2

∂

2z

 

=

 

 

 

 

 

 

∂

 

2z

.

 

 

 

 

 

 

∂

y2

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

35.

z =

y

 

,

 

 

x

2

 

∂ 2z

 

+

 

 

2xy

 

∂ 2 z

 

 

 

+

 

 

y

2

 

∂

2 z

= 0 .

x

 

 

 

 

 

∂ x2

 

 

 

∂ x∂

 

 

y

 

 

 

 

 

 

∂ y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36.

z =

y

 

 

y

 

,

 

 

x2 ∂ 2z

 

−

 

y2 ∂

2z

=

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

37.

z =

 

 

x

,

 

x

2 ∂ 2z

 

 

−

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

y

2

∂ z

 

=

 

0.

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

∂

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂ y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

38.

z =

ln(x2 −

 

y2),

 

 

 

 

 

 

∂ 2z

 

 

−

 

 

∂ 2z

 

 

 

=

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

x2

 

 

∂

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

∂

 

2z

 

 

 

 

 

 

∂

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

39.

z =

arctg

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

 

 

0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

∂

x2

 

 

∂

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

∂

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

∂

 

2z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e x ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40.

z =

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

 

 

0 .

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

41. z = x y ,

 

∂ 2z

 

 

=

 

 

 

 

 

∂ 2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

x∂

 

y

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y∂

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

42.

z =

e x (cos y +

x sin y) ,

 

 

 

 

 

 

∂

2z

=

 

 

 

 

∂

2 z

.

 

 

 

∂

x∂

 

 

 

 

y

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y∂

 

x

43.

z =

e2 x y2 ,

 

 

 

 

1

 

 

 

 

∂

2z

=

 

 

 

∂

2z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 y2 ∂

x2

 

 

 

∂

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

44.

z =

e x sin y,

 

∂ 2z

 

+

 

 

 

 

∂ 2z

 

 

=

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

∂

 

 

 

x2

 

 

 

 

∂

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Смотрите также файлы