Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 03.06.2024

Просмотров: 209

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

7

 

 

 

 

 

но числу способов отобрать один шар из 8 и один шар из 12, так

как союз и, то общее число благоприятных исходов равно произ-

ведению

m = C1

C1

=

8!

12!

=8 12 = 96 .

Поэтому искомая

 

8

12

 

7! 1! 11! 1!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

вероятность равна p = mn = 19096 = 9548 .

 

 

 

 

Пример 6. Из колоды карт наудачу вынуто две. Найти вероят-

ность того, что они обе бубновой масти. Колода содержит 36 карт.

Решение. По классическому определению вероятности имеем

p(A) = m

, где m

=C 2

=

9!

= 9 8

=36,

n = C 2

= 36 35 = 630.

n

 

 

9

 

 

 

 

36

 

2

 

 

 

 

 

 

7! 2! 2

 

 

 

 

Тогда p(A) =

36

=

2 .

 

 

 

 

 

 

 

630

 

35

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Геометрическая вероятность

 

 

О. 1. Геометрической вероятностью события А называется

отношение меры области благоприятных исходов к мере области

всевозможных исходов.

 

 

 

 

 

 

 

В

частности,

 

для

плоскости

согласно

определению

p(A) = Sбл , где Sбл

− площадь области благоприятных исходов,

Sвс

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sвс − площадь области всевозможных исходов.

 

 

 

Пример 7. (Задача о встрече) Два студента условились встре-

титься в определённом месте между 12 и 13 часами. Пришедший

первым ждёт второго в течение 15 ми-

 

 

 

 

нут, после чего уходит. Найти вероят-

 

 

 

 

ность того, что встреча состоится, ес-

1300

 

 

 

ли каждый студент наудачу выбирает

 

 

 

 

момент своего прихода (в промежутке

 

 

 

 

от 12 до 13 часов).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Решение. Обозначим событие А

1215

 

 

 

– студенты встретятся, тогда противо-

 

 

 

положное событие

А − студенты не

 

 

 

 

встретятся. Отложим по оси Ох время

1200

 

1215

1300

прихода первого студента, по оси Оу

 

 

 

 

 

время прихода второго студента.

То-

 

 

Рис. 1.

 

гда точка области

с

координатами

 

 

 

 

 

 

 

8

(x; y) однозначно определяет время прихода обоих студентов.

Студенты встретятся, если выполнено условие x - y ≤ 14 . Постро-

им

две

прямые

линии

x − y =

1

y = x −

1

и

 

 

 

 

 

4

 

4

 

x − y = −14 y = x + 14 . Область, заключённая между этими ли-

ниями внутри квадрата, составляет область благоприятных исходов события А Рис. 1. Для события Аобласть благоприятных исходов согласно Рис. 1 состоит из двух прямоугольных треуголь-

ников с катетами, равными 6045 = 34 , общей площадью, равной

S = 2 34 34 =169 . Область всевозможных исходов равна площади

квадрата со стороной 1. Следовательно, площадь всевозможных исходов равна Sвс =1 1 =1. Тогда вероятность события A равна

9

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p(

 

)=

16

=

 

 

.

Поэтому

искомая

вероятность

равна

A

16

1

 

 

 

9

 

 

7

 

 

 

 

p(A)=1− p(

 

)=1−

=

 

.

 

 

 

A

 

 

 

16

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Теоремы сложения Т.1. Для несовместных событий вероятность появления сум-

мы событий равна сумме вероятностей. То есть p(A + B)= p(A)+ p(B).

Доказательство. Пусть опыт имеет n исходов, событию А благоприятствует k из них, а событию В − благоприятствует m. Тогда сумме событий А+В благоприятствуют m+k. Тогда

p(A + B)= mn+ k = mn + kn = p(A)+ p(B).

Пример 8. Вероятности получить на экзамене 5, 4, 3 соответственно равны 0,2; 0,3; 0,3. Найти вероятность успешной сдачи экзамена.

Решение. Обозначим события: А – студент успешно сдал экзамен; В; С; К – студент сдал экзамен на 5; 4; 3 соответственно. По условию p(A)= p(B +C + K ). В силу несовместности событий

9

В; С; К и по условию p(B)= 0,2; p(C )= p(K )= 0,3 по теореме имеем p(A)= p(B +C + K )= p(B)+ p(C)+ p(K )=0,2 +0,3 +0,3 =0,8.

Т. 2. Для любых событий вероятность появления суммы этих событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления. То есть p(A+B)= p(A)+ p(B)− p(A B).

 

Доказательство. Представим сумму событий А+В в виде сум-

мы

несовместных

событий A + B = A + B

 

,

а событие В в

A

следующем виде B = B A + B

 

. Так как в обоих случаях собы-

A

тия

несовместны,

то,

применяя первую

теорему,

имеем

p(A + B)= p(A)+ p(B

 

);

 

p(B)= p(A B)+ p(B

 

), из

второго

A

A

равенства получаем

p(B

 

)= p(B)− p(A B). Подставляя в пер-

A

вое, получаем окончательно p(A+ B)= p(A)+ p(B)− p(A B).

6. Теоремы умножения О. 1. Два события называются независимыми, если вероят-

ность появления одного из них не зависит от того, произошло или не произошло второе событие.

О. 2. Несколько событий называются независимыми в совокупности, если любая комбинация из них независима.

О. 3. События называются зависимыми, если появление или не появление одного из них, изменяет вероятность появления другого.

О. 4. Вероятность события В, вычисленная в предположении осуществления события А, называется условной вероятностью события В и обозначается pA (B).

Пример 9. Из урны, содержащей 2 белых и 3 чёрных шара, наудачу последовательно извлекают два шара. Найти вероятность того, что второй извлечённый шар белый, если известно, что первый извлечённый шар чёрный.

Решение. Обозначим события А – первый извлечённый шар чёрный, В − второй извлечённый шар белый. Для нахождения искомой вероятности используем классическое определение

pA (B)= mn , где m- число благоприятных исходов, равное числу оставшихся после первого извлечения белых шаров, то есть m=2, а

10

n- число всевозможных оставшихся шаров, то есть n=4. Тогда искомая вероятность равна pA (B)= 24 = 12 .

Т. 1. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло.

То есть p(A B)= p(A) pA (B)= p(B) pB (A).

Доказательство. Пусть число всевозможных исходов опыта равно n. Из них событию А благоприятствует m из них. Совместному появлению событий А и В благоприятствует k. Тогда

pA (B)= mk , так как число всевозможных исходов для этого ус-

ловного события равно m приятных исходов равно k появления события А).

(событие А произошло), число благо- (событие В происходит при условии Для других вероятностей имеем

p(A B)= k

,

p(A)= m

. Подставляя в формулу, имеем

n

 

n

 

kn = mn mk = kn тождество.

Следствие 1. Если появление события А не зависит от события В, то появление события В не зависит от события А.

Доказательство. Если появление события А не зависит от события В, то можно записать p(A)= pB (A). Используя две

записи теоремы умножения, имеем, p(A) pA (B)= p(B) pB (A) подставив указанное условие, получим p(A) pA (B)= p(B) p(A), разделив обе части на p(A), получим pA (B)= p(B), то есть

вероятность появления события В не зависит от события А. Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых

событий равна произведению вероятности этих событий. Доказательство. Применяя первое следствие к теореме

умножения, получаем p(A B)= p(A) p(B).

Пример 10. Известно, что 85% готовой продукции цеха является стандартной. Вероятность того, что стандартная деталь отличного качества, равна 0,51. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделие окажется отличного качества.

Решение. Пусть А− событие, означающее, что взятое наудачу изделие стандартное, В− событие, означающее, что изделие от-

Смотрите также файлы