Файл: Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей.pdf

16

го, что в этих испытаниях событие А наступит ровно m раз, при-

ложение таблица 1).

Пример 15. Вероятность того, что станок-автомат произведёт стандартную деталь, равна р=0,9. Найти вероятность того, что из 900 изготовленных стандартными будут 804 детали.

Решение. По условию задачи имеем п=900; m=804;

12. Интегральная теорема Муавра-Лапласа Т. Если производится п независимых испытаний, в каждом из

которых событие А появляется с вероятностью р, для любого интервала [a;b) справедливо следующее соотношение:

ная табулированная функция (см. приложение таблица 2). Пример 16. Известно, что при контроле бракуется 10% дета-

лей. Для контроля отобрано 500 изделий. Найти вероятность того, что число годных деталей окажется в пределах от 460 до 475.

Решение. По условию задачи n=500; p=0,9; q=0,1; a=460; b=475. Подставляя в формулу, получаем

≈Ф(3,73)−Ф(1,49)≈ 0,499928 −0,4319 ≈ 0,068.

17

13.Формула Пуассона.

Значения вероятностей, получаемых по локальной теореме Муавра-Лапласа, приближаются к значениям, получаемым по формуле Бернулли, тем лучше, чем больше п и меньше p или q, однако это не имеет места, если наряду с увеличением п одна из величин p или q стремится к нулю. В этом случае вместо формулы Бернулли используют формулу Пуассона, которая имеет вид

pn (m)= amm! e−a , где a = np.

Пример 17. Вероятность появления события А в каждом из 250 независимых испытаний равна 0,008. Найти вероятность того, что событие А появится 3 раза.

Решение. Так как по условию задачи вероятность р=0,008 мала, а число испытаний п=250 велико, то используем формулу

О.1. Случайной называют величину, которая принимает в ре-

зультате испытания то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания

киспытанию и зависящее от случайных обстоятельств.

Вотличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно.

О. 2. Дискретной называют такую случайную величину, которая принимает конечное или бесконечное счётное множество значений.

Примером дискретной случайной величины могут являться: число дефектных деталей в партии, число заявок, число отказов элементов за определённое время и так далее.

О. 3. Непрерывной называют такую случайную величину, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Примером непрерывной случайной

18

величины могут являться время безотказной работы отдельных элементов системы, погрешность измерения физических величин.

Случайные величины обычно обозначаются заглавными буквами конца латинского алфавита – X, Y, Z,…., а их возможные значения – соответствующими малыми буквами – x, y, z,…

Для задания случайной величины недостаточно перечислить все её возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появляться те или иные значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, то есть нужно задать вероятности их появления.

О. 4. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение между возможными значениями случайной величины и соответствующими вероятностями.

О. 5. Две случайные величины называются независимыми, если распределение вероятности одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

О. 6. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, называется рядом распределения случайной величины.

Пример 18. Составить закон распределения числа появлений герба при трёх бросаниях монеты.

Решение. Случайная величина X - число появлений герба может принимать значения: 0; 1; 2; 3. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли, используя то, что вероятность

появления герба в одном испытании равна p = 12 .

Следовательно, ряд распределения имеет вид:

19

15. Функция распределения Функция распределения является наиболее общей формой

задания закона распределения случайной величины. Она используется как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин. Обычно обозначается F(x).

О.1. Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньше фиксированного действительного числа х, то есть F (x)= p{X < x}.

Вероятность того, что X < x , зависит от х, следовательно, F(x) является функцией от х. Поэтому F(x) называется функцией распределения. В литературе встречаются термины: «интегральная функция распределения» и «интегральный закон распределения».

Общие свойства функции распределения.

1.Функция распределения F(x) есть неотрицательная функция, заключённая между нулём и единицей: 0 ≤ F (x)≤1.

2.Функция распределения случайной величины есть

неубывающая функция, то есть из x2 > x1 следует

F (x2 )≥ F (x1).

3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности функция распределения равна единице, то есть F (−∞)= 0; F (+∞)=1.

Следует отметить, что в то время, как каждая случайная величина однозначно определяет функцию распределения, одну и ту же функцию распределения могут иметь различные случайные величины. Отсюда следует второе определение случайной величины.

О. 2. Случайной величиной называется переменная величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей.

Т. 1. Вероятность попадания случайной величины в интервал [α; β) равна разности значений на концах интервала:

p{α ≤ X < β}= F (β)− F (α).

Доказательство. Рассмотрим три события: А, состоящее в том, что X < β ; событие В, состоящее в том, что X <α ; событие

С, состоящее в том, что α ≤ X < β . Тогда p(A)= p{x <β}=F(β); p(B)= p{X <α}=F(α); p(C)= p{α ≤ X <β}.