Файл: Дойч. Структура Реальности.doc

Затем Платон указал задачу. Принимая во внимание все это Зем­ное несовершенство (и он мог бы добавить, наш несовершенный сен­сорный доступ даже к Земным кругам), как вообще мы можем знать то, что мы знаем о реальных, совершенных кругах? Очевидно, что мы обладаем знанием о них, но каким образом? Где Евклид приобрел зна­ние геометрии, которое выразил в своих знаменитых аксиомах, когда у него не было ни истинных кругов, ни точек, ни прямых? Откуда ис­ходит эта определенность математического доказательства, если никто не способен ощутить те абстрактные категории, на которые оно ссы­лается? Ответ Платона заключался в том, что мы получаем все это знание не из этого мира теней и иллюзий. Мы получаем его непосред­ственно из самого мира Форм. Мы обладаем совершенным врожденным знанием того мира, которое, как он считал, забывается при рождении, а затем скрывается под слоями ошибок, вызванных тем, что мы доверяем своим чувствам. Но реальность можно вспомнить, усердно применяя «разум», впоследствии дающий абсолютную определенность, которую никогда не может дать ощущение.

Интересно, кто-нибудь когда-нибудь верил в эту весьма сомни­тельную фантазию (включая самого Платона, который все-таки был очень компетентным философом, считавшим, что публике стоит гово­рить благородную ложь)? Тем не менее, поставленная им задача — как мы можем обладать знанием, не говоря уж об определенности, абстрактных категорий —достаточно реальна, а некоторые элемен­ты предложенного им решения с тех пор стали частью общепринятой теории познания. В частности, фактически все математики до сегод­няшнего дня без критики принимают основную идею того, что мате­матическое и научное знание проистекают изразличных источников и что «особый» источник математического знания дает емуабсолют­ную определенность.Сейчас этот источник математики называютма­тематической интуицией,однако он играет ту же самую роль, что и «воспоминания» Платона об области Форм.

Математики много и мучительно спорили о том, открытия каких в точности видов совершенно надежного знания можно ожидать от на­шей математической интуиции. Другими словами, они согласны, что математическая интуиция —источник абсолютной определенности, но не могут прийти к соглашению относительно того, что она им говорит! Очевидно, что это повод для бесконечных, неразрешимых споров.

Большая часть таких споров неизбежно касалась обоснованности или необоснованности различных методов доказательства. Одно из раз­ногласий было связано с так называемыми «мнимыми» числами. Новые Теоремы об обычных, «вещественных» числах доказывали, обращаясь на промежуточных этапах доказательства к свойствам мнимых чисел. Например, таким образом были доказаны первые теоремы о распределе­нии простых чисел. Однако некоторые математики возражали против мнимых чисел на том основании, что они не реальны. (Современная терминология все еще отражает это старое разногласие даже сейчас, когда мы считаем, что мнимые числа так же реальны, как и «вещест­венные»). Я полагаю, что учителя в школе говорили этим математикам, что нельзяизвлекать квадратный корень из минус одного, и, поэтому они не понимали, почему кто-либо другой может это сделать. Нет со­мнения в том, что они называли этот злостный порыв «математической интуицией». Однако другие математики обладали другой интуицией. Они понимали, что такое мнимые числа, и как они согласуются с ве­щественными. Почему, думали они, человеку не следует определять новые абстрактные категории, имеющие свойства, которые он предпо­читает? Безусловно единственным законным основанием запретить это была бы логическая несовместимость требуемых свойств. (Это, по су­ществу, современное мнение, выработанное всеобщими усилиями, ма­тематик Джон Хортон Конуэй грубо назвал «Движением Освобождения «Математиков»). Однако общеизвестно, что никто недоказали то, что обычная арифметика натуральных чисел является самосогласованной.

Подобным разногласиям подверглась и обоснованность использо­вания бесконечных чисел, а также множеств, содержащих бесконечно много элементов, и бесконечно малых величин, используемых при ис­числении. Дэвид Гильберт, великий немецкий математик, предоставив­ший большую часть инфраструктуры как общей теории относительнос­ти, так и квантовой теории, заметил, что «математическая литература переполнена бессмыслицами и нелепостями, проистекающими из бес­конечности». Некоторые математики, как мы увидим, вовсе отрицали обоснованность рассуждения о бесконечных категориях. Легкий доступ к чистой математике в девятнадцатом веке мало что сделал для разре­шения этих разногласий. Напротив, он только усугубил их и породил новые. По мере своего усложнения математическое рассуждение неиз­бежно удалялось от повседневной интуиции, что возымело два важных противоположных следствия. Во-первых, математики стали более пе­дантичными в отношении доказательств, которые, прежде чем быть принятыми, подвергались все более суровым проверкам на соответ­ствие нормам точности. Но во-вторых, изобрели более мощные методы доказательства, которые не всегда можно было обосновать с помощью существующих методов. И из-за этого часто возникали сомнения, был ли какой-то частный метод доказательства, несмотря на свою самооче­видность, абсолютно безошибочным.

Таким образом, к 1900году наступил кризис основ математики, который заключался в том, что этих основ не было. Но что же про­изошло с законами чистой логики? Их перестали считать способными разрешить все математические споры? Удивителен тот факт, что те­перь математические споры в сущности и велись о «законах чистой логики». Первым эти законы привел в систему Аристотель еще в 4веке до н.э., тем самым заложив то, что сегодня называюттеорией доказа­тельства.Он допустил, что доказательство должно состоять из после­довательности утверждений, которая начинается с каких-либо посылок и определений, а заканчивается желаемым выводом. Чтобы последова­тельность утверждений была обоснованным доказательством, каждое утверждение, кроме начальных посылок, должно следовать из преды­дущих в соответствии с одним из постоянного набора законов, называ­емыхсиллогизмами.Типичным был следующий силлогизм

Все люди смертны.

Сократ — человек.

[Следовательно] Сократ смертен.

Другими словами, это правило гласило, что если в доказательстве появляется утверждение вида «все А имеют свойство В» (как в данном случае «все люди смертны») и другое утверждение вида «индивидуум Х есть А» (как в данном случае «Сократ —человек»), то впоследствии в доказательстве обоснованно появление утверждения «Xимеет свой­ство В» («Сократ смертен»), и это утверждение, в частности, является обоснованным выводом. Силлогизмы выражают то, что мы назвали быправилами вывода,то есть правилами, определяющими этапы, которые допустимы при доказательстве, такими, что истина посылок переходит к выводам. Кроме того, эти правила можно применить, чтобы опреде­лить, обосновано ли данное доказательство.

Аристотель заявил, что все обоснованные доказательства можно выразить в виде силлогизмов. Но он не доказал это! А проблема теории Доказательства заключалась в том, что очень небольшое количество со­временных математических доказательств выражались в виде чистой последовательности силлогизмов; более того, большинство из них не­возможно было привести к такому виду. Тем не менее, большинство Математиков не могли заставить себя следовать букве закона Аристо­теля, так как некоторые новые доказательства казались так же само­очевидно обоснованными, как и рассуждение Аристотеля. Математики перешли на новый этап развития. Новые инструменты, такие, как сим­волическая логика и теория множеств, позволили математикам уста­новить новую связь между математическими структурами. Благодаря этому появились новые самоочевидные истины, независимые от клас­сических правил вывода, и, таким образом, классические правила ока­зались самоочевидно неадекватными. Но какие же из новых методов доказательства были действительно безошибочными? Как нужно было изменить правила вывода, чтобы они обрели законченность, на кото­рую ошибочно претендовал Аристотель? Как можно было вернуть абсо­лютный авторитет старых правил, если математики не могли прийти к соглашению относительно того, что является самоочевидным, а что бессмысленным?

Тем временем математики продолжали строить свои абстрактные небесные замки. Для практических целей многие такие строения каза­лись достаточно надежными. Некоторые из них стали необходимы для науки и техники, а большинство образовало красивую и плодотворную структуру. Тем не менее, никто не мог гарантировать, что вся эта структура, или какая-то существенная ее часть, не имела в своей осно­ве логического противоречия, которое буквально лишило бы ее всякого смысла. В 1902году Бертран Рассел доказал несостоятельность схе­мы строгого определения теории множеств, которую только что пред­ложил немецкий логик Готлоб Фреге. Это не значило, что эта схема непременно была необоснованной для использования множеств в дока­зательствах. На самом деле совсем немногие математики всерьез счи­тали, что хоть какой-то из обычных способов использования множеств, арифметики или других ключевых разделов математики может быть необоснованным. В результатах Рассела поражало то, что математики верили, что их предмет являетсяpar excellenceсредством получения абсолютной определенности через доказательство математических тео­рем. Сама возможность разногласий относительно обоснованности раз­личных методов доказательства подрывала всю суть (как считалось) предмета.

Поэтому многие математики чувствовали, что подведение под те­орию доказательства, а тем самым и под саму математику, надежной основы было насущным делом, не терпящим отлагательства. Они хотели объединиться после своих опрометчивых выпадов, чтобы раз и навсегда определить, какие виды доказательства являются абсолютно надежны­ми, а какие нет. Все, что оказалось вне зоны надежности, можно было бы отбросить, а все, что попадало в эту зону, стало бы единственной основой всей будущей математики.

В этой связи голландский математик Лейтзен Эгберт Ян Брауэр пропагандировал чрезвычайно консервативную стратегию теории дока­зательства, известную как интуиционизм,которая и по сей день имеет своих сторонников. Интуиционисты пытаются толковать «интуицию» самым ограниченным постижимым образом, оставляя лишь то, что они считают ее неоспоримыми самоочевидными аспектами. Затем они под­нимают таким образом определенную математическую интуицию на уровень даже более высокий, чем позволял себе Платон: они считают ее более веской, чем даже чистая логика. Таким образом, они считают саму логику ненадежной, за исключением тех случаев, когда ее до­казывает прямая математическая интуиция. Например, интуиционисты отрицают, что можно иметь прямую интуицию какой-либо беско­нечной категории. Следовательно, они отрицают существование любых бесконечных множеств, например, множества всех натуральных чисел. Высказывание о том, что «существует бесконечно много натуральных чисел», они сочли бы самоочевидно ложным. А высказывание о том, что «существует больше сред Кантгоуту, чем физически возможных сред», —абсолютно бессмысленным.

Исторически интуиционизм, равно как и индуктивизм, сыграл цен­ную освободительную роль. Он осмелился подвергнуть сомнению по­лученные определенности —некоторые из которых действительно ока­зались ложными. Но как позитивная теория о том, что является или не является обоснованным математическим доказательством, он и гроша ломаного не стоит. В действительности интуиционизм —это точное выражение солипсизма в математике. В обоих случаях наблюдается Чрезмерная реакция на мысль о том, что мы не можем бытьувере­ныв том, что нам известно о более отдаленном мире. В обоих случаях предложенное решение состоит в том, чтобы уйти во внутренний мир, который мы, предположительно, можем познать напрямую, и следова­тельно (?),можем быть уверены, что познали истину. В обоих случаях решение заключается в отрицании существования —или, по крайней Мере, в отказе от объяснения —того, что находится вовне. И в обо­их случаях этот отказ также делает невозможным объяснение большей Части того, что находится внутри предпочитаемой области. Например, если действительно ложно то (как утверждают интуиционисты), что существует бесконечно много натуральных чисел, то можно сделать вывод, что может существовать только конечное множество таких чи­сел. А сколько их может быть? И потом, сколько бы их не было, почему нельзя создать интуицию следующего натурального числа, превышаю­щего последнее? Интуиционисты оправдались бы в этом случае, ска­зав, что приведенный мной аргумент допускает обоснованность обыч­ной логики. В частности, он содержит процесс вывода: из факта, что не существует бесконечно много натуральных чисел, делается вывод, что должно существовать какое-то конкретное количество натураль­ных чисел. Применяемое в данном случае правило вывода называетсязаконом исключенного третьего.Этот закон гласит, что для любого вы­сказывания Х (например, «существует бесконечно много натуральных чисел»), не существует третьей возможности кроме истинности Х и ис­тинности отрицания Х («существует конечное множество натуральных чисел»). Интуиционисты хладнокровно отрицают закон исключенного третьего.

Поскольку в разуме большинства людей сам закон исключенно­го третьего подкреплен мощной интуицией, его отрицание естественно вызывает у неинтуиционистов сомнение в том, так ли уж самоочевид­на надежность интуиции интуиционистов. Или, если мы сочтем, что закон исключенного третьего исходит из логическойинтуиции, он при­водит нас к пересмотру вопроса о том, действительно ли математи­ческая интуиция превосходит логику. В любом случае может ли это превосходство бытьсамоочевидным?

Но все это направлено на критику интуиционизма извне. Это не опровержение: интуиционизм невозможно опровергнуть вообще. Если кто-либо настаивает, что для него очевидно самосогласованное выска­зывание, как если бы он настаивал на том, что существует только он один, доказать его неправоту невозможно. Однако, как и в случае с со­липсизмом, воистину роковая ошибка интуиционизма открывается не тогда, когда на него нападают, а тогда, когда его всерьез принима­ют, на его же собственной основе, в качестве объяснения своего соб­ственного, произвольно усеченного мира. Интуиционисты верят в ре­альность конечного множества натуральных чисел 1, 2, 3. ... ,и даже10949769651859.Но интуитивный аргумент, что поскольку за каждым из этих чисел следует еще одно, значит, они образуют бесконечную последовательность, Интуиционисты считают не более чем самообма­ном или искусственностью и буквально несостоятельным. Но усиливая связь между своей версией абстрактных «натуральных чисел» и ин­туицией, что первоначально эти числа должны были быть формализо­ваны, интуиционисты также сами отрицают обычную объяснительную структуру, через которую понимают натуральные числа. Это вызывает проблему для каждого, кто предпочитает объяснения необъясненным усложнениям. Вместо того чтобы решить эту проблему, предоставив для натуральных чисел альтернативную или более глубокую объяс­нительную структуру, интуиционизм делает то же самое, что делала Инквизиция и что делали солипсисты: он еще дальше уходит от объ­яснений. Он вводит дальнейшие необъясненные усложнения (в данном случае отрицание закона исключенного третьего), единственная цель которых состоит в том, чтобы позволить интуиционистам вести себя так, как если бы объяснения их противников были истинными, но не делая из этого никаких выводов относительно реальности.

Точно так же как солипсизм начинается с мотивации упрощения пугающе разнообразного и неопределенного мира, но при серьезном к нему отношении оказывается реализмом в сочетаниис нескольки­ми ненужными усложнениями, так и интуиционизм оканчивается тем, что становится одной из самых контринтуитивных доктрин, которые когда-либо всерьез пропагандировали.