Файл: Дойч. Структура Реальности.doc

Должен признать, что для меня такая теория непостижима. Однако фундаментальные открытия всегда трудно понять до того, как они про­изойдут. Естественно, трудно оценить теорию Пенроуза, прежде чем он сформулирует ее полностью. Если теория со свойствами, на которые он надеется, в конце концов, вытеснит квантовую теорию, или теорию общей относительности, или и ту, и другую через экспериментальные проверки или предоставив более глубокий уровень объяснений, то каж­дый разумный человек захочет ее принять. И тогда мы отправимся в путешествие постижения нового мировоззрения, к принятию кото­рого будет вынуждать нас объяснительная структура этой теории. Ве­роятно, это мировоззрение будет весьма отличным от представленного мной в этой книге. Однако, даже если все это пришло, чтобы уйти, я все равно не могу понять, каким образом можно удовлетворить пер­воначальную мотивацию теории, которая объясняет нашу способность понимать новые математические доказательства. Все равно останется тот факт, что сейчас, да и во всей истории великие математики об­ладали различной противоречивой интуицией относительно обоснован­ности различных методов доказательства. Поэтому, даже если истин­но то, что абсолютная физико-математическая реальность поставляет свои истины прямо в наш мозг для создания математической интуи­ции, математики не всегда способны отличить эту интуицию от другой, ошибочной интуиции и от других, ошибочных идей. К сожалению, нет ни колокольчика, который звонит, ни фонарика, который вспыхивает, когда мы понимаем действительно обоснованное доказательство. Порой мы можем ощутить такую вспышку, в момент «эврики», —и, тем не менее, ошибиться. И даже если бы теория предсказала, чтосуществует некий, не замеченный ранее физический индикатор, сопровождающий истинную интуицию (сейчас это становится в высшей степени невоз­можным), мы бы определенно нашли его полезным, но это все равно не было бы равносильно доказательству того, что этот индикатор работа­ет. Ничто не способно доказать, что однажды еще лучшая физическая Теория не вытеснит теорию Пенроуза и не откроет, что предложенный индикатор все-таки не был надежным и что существует лучший инди­катор. Таким образом, даже если мы сделаем все возможные скидки предложению Пенроуза, если мы вообразим, что оно истинно, и взглянем на мир с его позиций, это все равно не поможет нам объяснить подозрительную определенность знания, которое мы приобретаем, за­нимаясь математикой.

Я отразил лишь общий смысл аргументов Пенроуза и его оппонен­тов. Читатель поймет, что, в сущности, я на стороне его оппонентов. Однако даже если признать, что геделианское доказательство Пенроуза не доказывает то, что намеревается доказать, и кажется невероятным, что предложенная им новая физическая теория объясняет то, что на­меревается объяснить, Пенроуз, тем не менее, прав, что любое миро­воззрение, основанное на существующей концепции научного рациона­лизма, создает задачу для принятых основ математики (или, как вы­разил бы это Пенроуз, наоборот). Это древняя задача, которую поднял Платон, задача, которая, как показывает Пенроуз, обостряется в све­те как теоремы Геделя, так и принципа Тьюринга. Эта задача заклю­чается в следующем: откуда исходит математическая определенность в реальности, состоящей из физики и понимаемой с помощью научных методов? В то время как большинство математиков и специалистов по вычислительной технике принимают определенность математической интуиции как нечто, само собой разумеющееся, они не воспринимают проблему примирения этого факта с научным мировоззрением всерь­ез. Пенроуз серьезно относится к этой проблеме и предлагает решение. Его предложение представляет постижимый мир в определенном аспек­те, отвергает сверхъестественное, признает важность творчества для математики, приписывает объективную реальность как физическому миру, так и абстрактным категориям и включает объединение основ математики и физики. Во всех этих отношениях я на его стороне.

Поскольку попытки Брауэра, Гильберта, Пенроуза и всех осталь­ных решить сложную задачу Платона, видимо, потерпели неудачу, стоит снова взглянуть на мнимое ниспровержение Платоном идеи о том, что математическую истину можно получить с помощью на­учных методов.

Прежде всего, Платон говорит нам, что, поскольку мы имеем до­ступ только (скажем) к несовершенным кругам, значит, через них мы не сможем получить знание о совершенных кругах. А почему нет? Точ­но так же можно было бы сказать, что мы не можем открыть законы движения планет, потому что у нас нет доступа к реальным планетам, а есть доступ только к их изображениям. (Инквизиция это и говори­ла, и я объяснил, почему она ошибалась). Также можно было бы ска­зать, что невозможно построить точные станки, потому что первый такой станок пришлось бы строить с помощью неточных станков. Ог­лянувшись назад, можно увидеть, что такая критика вызвана очень грубым изображением принципа действия науки (подобным индукти­визму), который вряд ли можно считать удивительным, поскольку Пла­тон жил до того, что мы могли бы признать как науку. Если, скажем, единственный способ узнать что-либо о кругах из опыта заключается в том, чтобы исследовать тысячи физических кругов, а потом, из со­бранных данных, попытаться сделать какой-то вывод об их абстракт­ных евклидовых двойниках, то Платон уловил суть. Но если мы созда­дим гипотезу, что реальные круги точно определенным образом похожи на абстрактные, и окажемся правы, то мы определенно можем узнать что-либо об абстрактных кругах, глядя на реальные. В геометрии Ев­клида часто используют рисунки для точного определения геометри­ческой задачи или ее решения. В таком методе описания существует возможность ошибки, если несовершенство кругов на рисунке оставит впечатление, вводящее в заблуждение, —например, если кажется, что два круга касаются друг друга, хотя на самом деле этого не происхо­дит. Но, поняв отношение между реальными и совершенными кругами, можно аккуратно исключить все подобные ошибки. А не понимая этого отношения, практически невозможно понять геометрию Евклида.

Надежность знания о совершенномкруге, которое можно получить изизображениякруга, полностью зависит от точности гипотезы о том, что эти круги похожи должным образом. Такая гипотеза в отношении физического объекта (рисунка) эквивалентна физической теории, и ее невозможно знать определенно. Но этот факт (как утверждал Платон) не мешает изучению совершенных кругов из опыта; он делает невоз­можной определенность. Он не должен расстраивать никого, кто ищет не определенность, а объяснения.

Геометрию Евклида можно абстрактно сформулировать без рисун­ков. Но использование цифр, букв и математических символов в симво­лическом доказательстве способно породить ничуть не большую опре­деленность, чем рисунок по той же самой причине. Символы —это тоже физические объекты, —скажем, чернильные пятна на бумаге, —ко­торые обозначают абстрактные объекты. И опять мы полностью пола­гаемся на гипотезу, что физическое поведение символов соответствует поведению обозначаемых ими абстракций. Следовательно, надежность того, что мы узнаем, манипулируя этими символами, полностью зависит от точности наших теорий об их физическом поведении и о пове­дении наших рук, глаз и т.д., с помощью которых мы манипулируем этими символами и наблюдаем за ними. Обманчивые чернила, из-за которых случайный символ изменил свой внешний вид, когда мы не видели этого, —возможно, под дистанционным управлением какого-то шутника, обладающего практической реализацией высоких техноло­гий, —вскоре введут нас в заблуждение относительно того, что мы «определенно» знаем.

Теперь давайте повторно исследуем еще одно допущение Платона: допущение о том, что у нас нет доступа к совершенству физического мира. Возможно, он прав в том, что мы не найдем совершенной чести или справедливости, и он конечно прав в том, что мы не найдем законы физики или множество всех натуральных чисел. Но мы можем найти совершенную руку в бридже или совершенный ход в данной шахматной позиции. Это все равно, что сказать, что мы можем найти физические объекты или процессы, которые полностью обладают свойствами точно определенных абстракций. Мы можем научиться игре в шахматы как с помощью реальных шахмат, так и с помощью совершенной формы шахмат. Тот факт, что коня срубили, не делает мат, который является результатом этого, менее окончательным.

Поскольку все это имеет место, совершенный евклидов круг мож­носделать доступным для наших чувств. Платон не осознавал этого, потому что он не знал о существовании виртуальной реальности. Не со­ставит особого труда запрограммировать в генераторы виртуальной ре­альности, о которых я размышлял в главе 5,правила геометрии Евкли­да, так что пользователь сможет получить впечатление взаимодействия с совершенным кругом. Не имея толщины, круг был бы невидимым, по­ка мы также не модифицировали бы законы оптики, для этого мы могли бы освещать его, чтобы пользователь знал, где он находится. (Пуристы, возможно, предпочли бы обойтись без этого декорирования). Мы мог­ли бы сделать этот круг твердым и непроницаемым, и пользователь мог бы проверить его свойства с помощью твердых, непроницаемых инструментов, а также средств измерения. Виртуальные штангенцир­кули имели бы совершенную кромку толщиной с лезвие ножа, так что они могли бы точно измерить нулевую толщину. Пользователю можно было бы позволить «нарисовать» еще круги или другие геометричес­кие фигуры в соответствии с правилами геометрии Евклида. Разме­ры инструментов и самого пользователя можно было бы регулировать по желанию, чтобы обеспечить проверку предсказаний геометричес­ких теорем в любом масштабе, сколь угодно малом. В каждом случае переданный круг мог бы реагировать точно так же, как круг, опре­деленный в аксиомах Евклида. Таким образом, на основе современной науки мы должны сделать вывод, что в этом отношении Платон мыс­лил наоборот. Мыможемвоспринять совершенные круги в физической реальности (т.е. в виртуальной реальности); но мы никогда не воспри­мем их в области Форм, поскольку, если и можно сказать, что такая область существует, мы никак ее не воспринимаем.

Идея Платона о том, что физическая реальность состоит из не­совершенных копий абстракций, сегодня случайно кажется чрезмерно асимметричной позицией. Как и Платон, мы все еще изучаем абстрак­ции ради их самих. Однако в науке после Галилео и в теории вирту­альной реальности мы также рассматриваем абстракции как средст­во понимания реальных или искусственных физическихкатегорий, и в этом контексте мы считаем само собой разумеющимся, что абстрак­ции почти всегда являютсяприближениямиистинной физической ситу­ации. Таким образом, несмотря на то, что Платон считал земные кру­ги, нарисованные на песке, приближениями истинных математических кругов, современный физик посчитал бы математический круг плохим приближением истинной формы планетарных орбит, атомов и других физических объектов.

При условии, что всегда будет существовать возможность выхо­да из строя генератора виртуальной реальности или его пользователя, можно ли действительно говорить о достижении совершенной передачи евклидова круга в виртуальной реальности в соответствии с нормами математической определенности? Можно. Никто не претендует на то, что сама математика свободна от неопределенности такогорода. Ма­тематики могут ошибиться в вычислении, исказить аксиомы, сделать опечатки при изложении своей собственной работы и т. д. Мы претенду­ем на то, что,за исключением грубых ошибок,их выводы безошибочны. Точно так же генератор виртуальной реальности, работая должным об­разом в соответствии со своими техническими характеристиками, в со­вершенстве передал бы совершенный евклидов круг.

Подобным образом мы могли бы возразить, что мы никогда не мо­жем точно сказать, как поведет себя генератор виртуальной реальности под управлением данной программы, потому что это зависит от функ­ционирования машины и, в конечном счете, от законов физики. Поскольку нам не дано с полной уверенностью знать законы физики, мы не можем точно знать, что машина действительно передает геометрию Евклида. И опять, никто не отрицает, что непредвиденные физические явления —станут ли они следствием неизвестных законов физики, или просто заболевания мозга или обманчивых чернил —могут сбить ма­тематика с правильного пути. Но если законы физики находятся в со­ответствующих отношениях, как мы и полагаем, то генератор вирту­альной реальности в совершенстве может сделать свою работу, даже несмотря на то, что мы не можем определенно знать, что он это дела­ет. Здесь следует проявить внимательность, чтобы не перепутать два вопроса:можем ли мы знать,что машина виртуальной реальности пе­редает совершенный круг; идействительноли она передает его. Мы не можем точно знать это, но это ни на йоту не уменьшает совершен­ство круга, который фактически передает машина. Я вернусь к этому важному различию —между совершенным знанием (определенностью) относительно какой-либо категории, и «совершенством» самой катего­рии —очень скоро.

Допустим, что мы намеренно модифицируем программу, передаю­щую геометрию Евклида, так, что генератор виртуальной реальности по-прежнему будет передавать круги достаточно хорошо, но менее, чем совершенно. Разве мы не смогли бы сделать какой-либовывод о совер­шенных кругах, ощущая эту несовершенную передачу? Это полностью зависело бы от того, знали бы мы, в каких отношениях была изменена программа или нет. Если бы мы это знали, мы могли бы с определен­ностью решить (за исключением грубых ошибок и т.д.), какие аспекты ощущений, полученных нами внутри машины, представляли совершен­ные круги точно, а какие неточно. И в этом случае знание, которое мы приобрели там, было бы так же надежно, как и любое знание, которое мы приобрели бы, используя правильную программу.

Представляякруги, мы осуществляем передачу в виртуальной ре­альности почти такого же рода в своем мозге. Причина того, почему этот способ мышления о кругах не бесполезен, состоит в том, что мы можем создать точные теории о том, какими свойствами совершенных кругов обладают воображаемые нами круги, а какими нет.

Используя совершенную передачу в виртуальной реальности, мы могли бы получить впечатление о шести идентичных кругах, которые касаются кромки седьмого идентичного им круга в плоскости, не пере­крывая друг друга. Это впечатление при подобных обстоятельствах бы­ло бы эквивалентно точному доказательству возможности такой ситу­ации, потому что геометрические свойства переданных форм были бы абсолютно идентичны геометрическим свойствам абстрактных форм. Но такой вид «практического» взаимодействия с совершенными форма­ми не способен дать всестороннеезнание геометрии Евклида. Большая часть интересных теорем относится не к одной геометрической фор­ме, а к бесконечным классам геометрических форм. Например, сумма углов любого треугольника Евклида равна 180°.Мы можем измерить отдельные треугольники с совершенной точностью в виртуальной ре­альности, но даже в виртуальной реальности мы не можем измерить все треугольники, и поэтому мы не можем проверить теорему.

Как же мы можем ее проверить? Мы доказываем ее. Традицион­но доказательство определяют как последовательность утверждений, удовлетворяющих самоочевидным правилам вывода, но чему физичес­ки эквивалентен процессдоказательства? Чтобы доказать утверждение о бесконечно большом количестве треугольников сразу, мы исследуем определенные физические объекты (в данном случае символы), которые обладают общими свойствами с целым классом треугольников. Напри­мер, когда при надлежащих обстоятельствах мы наблюдаем символы «АВС=DEF» (т. е. «треугольник АВС конгруэнтен треугольникуDEF»), мы делаем вывод, что все треугольники из какого-то определен­ного конкретным образом класса всегда имеют ту же самую форму, что и соответствующие им треугольники из другого класса, определенного иначе. «Надлежащие обстоятельства», которые придают этому выводу статус доказательства, заключаются, говоря языком физики, в том, что символы появляются на странице под другими символами (некото­рые из которых представляют аксиомы геометрии Евклида), и порядок появления символов соответствует определенным правилам, а именно, правилам вывода.